Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Теория на категорията

Теорията на категориите е клон на математиката, който изучава свойствата на отношенията между математическите структури, независимо от вътрешната структура на структурите; абстрахира от множества и функции към диаграми, където обектите са свързани с морфизъм (със стрелки).

Теорията на категориите е от централно значение за съвременната математика и е намерила приложение в компютърните науки и теоретичната физика. Съвременното преподаване на алгебрична геометрия и хомологична алгебра се основава на категория теория. Концепциите на теорията на категориите се използват в езика за функционално програмиране на Haskell.

История на

Категорията на концепцията е въведена през 1945 година. Теорията на категориите дължи своя произход и първични стимули за развитие на алгебричната топология. По-нататъшни изследвания разкриват обединяващата и обединяваща роля на категорията на понятието и свързаната с нея концепция за функтор за много области на математиката.

Теоретично-категоричният анализ на основите на теорията на хомологията доведе до селекцията в средата на 50-те години на 20-ти век. така наречените абелови категории, в рамките на които е възможно да се извърши основната конструкция на хомологичната алгебра. През 60-те години на 20-ти век. определя се нарастващият интерес към неабеловите категории, причинени от проблемите на логиката, общата алгебра, топологията и алгебричната геометрия. Интензивното развитие на универсалната алгебра и аксиоматичната конструкция на теорията на хомотопиите инициираха различни изследователски направления: категорично изследване на разновидностите на универсалната алгебра, теорията на изоморфизма на директните разширения, теорията на свързаните функтори и теорията на двойствеността на функторите. По-нататъшното развитие установи значителна връзка между тези изследвания. Поради възникването на теорията на относителните категории, тя широко използва техниката на свързаните функтори и затворените категории, установена е двойственост между теорията на хомотопиите и теорията на универсалните алгебри, въз основа на интерпретацията на категоричните дефиниции на моноид и комонида в съответните функтори. Друг начин за въвеждане на допълнителни структури в категории е свързан със задачата в категориите топология и конструирането на категория снопове над топологична категория (т.нар. Топос).

дефиниция

категория

категория се състои от клас чиито елементи се наричат ​​обекти от категория и клас, чиито елементи се наричат ​​морфизъм на категория. Тези класове трябва да отговарят на следните условия:

  1. На всяка подредена двойка обекти A , B се дава клас ; ако, тогава А се нарича начало, или област на дефиниране на морфизма f , и В , края, или областта на стойностите на f .
  2. Всяка категория морфизъм принадлежи към един и само един клас.
  3. В клас дава се закон за частично умножение: морфизъм на продукта и . са дефинирани, ако и само ако B = C , и принадлежи към клас Hom ( A , D ) . Продуктът на f и g засяга.
  4. Закон за справедливата асоциативност: за всеки морфизъм, за който са дефинирани тези произведения.
  5. определен такой морфизм и DA , что Всеки клас Hom ( A , A ) има морфизъм и DA такъв за ; называются единичными, тождественными, или единицами. морфизъм и DA се наричат ​​единични, идентични или единици.
Забележка: клас от обекти обикновено не е набор в смисъл на аксиоматична теория на множествата. Категорията, в която обектите съставят набор, се нарича малка . Освен това по принцип е възможно (с лека корекция да се дефинира) да се разгледат категориите, в които морфизмът между всеки два обекта също формира клас или дори по-голяма структура.

Примери за категории

  • Комплект - категорията на комплектите. Обектите са множества, морфизмът е карта на множества, а умножението съвпада с последователното изпълнение на преобразуванията.
  • Нагоре е категория топологични пространства. Обектите са топологични пространства, морфизмът е непрекъснато преобразуване на топологични пространства, а умножението отново съвпада с последователното изпълнение на преобразуванията.
  • Група - категория на групата. Обектите са групи, морфизмът е целият хомоморфизъм на групите, а умножението съвпада с последователното изпълнение на хомоморфизма. По аналогия можете да въведете категорията пръстени и т.н.
  • Vect K е категорията на векторните пространства над полето K. Морфизъм - линейни преобразувания на векторни пространства.
  • Rel е категорията на двоичните отношения на множеството; класът на обектите от тази категория съвпада с класа обекти Set , а морфизмът на множеството A в множеството B е бинарните отношения на тези множества, т.е. всички възможни подмножества на декартовия продукт A x B ; умножението съвпада с умножението на двоичните отношения.
  • Моноидът е категория с един обект, напротив, всяка категория, състояща се от един обект, е моноидна.
  • За всяко частично подредено множество може да се изгради малка категория, чиито обекти са елементите на множеството, а между елементите x и y има един-единствен морфизъм, ако x <= y (разбира се, трябва да се разграничи тази категория от категорията частично подредени множества).

Всички изброени по-горе категории допускат изоморфно вграждане в категорията на множествата. Категориите с това свойство се наричат ​​специфични. Не всяка категория е конкретна, например, категория, чиито обекти са всички топологични пространства, а морфизмът е клас от хомотопни изображения.

Комутативни диаграми

Стандартният начин за описване на твърдения за теория на категориите е комутативна диаграма. Комутативната диаграма е насочена графика с обекти във върховете, а стрелките са морфизъм или функтори и резултатът от състава на стрелките не зависи от избраната пътека. Например, аксиомите на теорията на категориите могат да бъдат написани с помощта на диаграми:

Категория с обекти X, Y, Z и морфизъм f , g .

двойственост

За категория можете да дефинирате двойна категория в която:

  • обектите съвпадат с обекти от първоначалната категория;
  • морфизъм, получен чрез "въртящи се стрелки":

Като цяло, за всяко твърдение за категория теория, можем да формулираме двойно твърдение, използвайки инверсия на стрелките, често двойното явление се обозначава с един и същ термин с префикса ко- (виж примерите по-долу).

Принципът на двойствеността е валиден: твърдението r е вярно в категорията теория, ако и само ако двойното твърдение r * е вярно в тази теория. Много концепции и резултати в математиката се оказаха двойни помежду си от гледна точка на понятията за теория на категориите: инжекционност и сюръбивност, разновидности и радикали в алгебрата и др.

Изоморфизъм, ендоморфизъм, автоморфизъм

morphism се нарича изоморфизъм, ако съществува такъв морфизъм и. Два обекта, между които има изоморфизъм, се наричат изоморфни . По-специално, идентичният морфизъм е изоморфизъм, следователно всеки обект е изоморфен на себе си.

Морфизмът, в който началото и краят съвпадат, се нарича ендоморфизъм . Много ендоморфизми "Моноид" е моноид по отношение на действието на състава с единичен елемент.

Ендоморфизмите, които са едновременно изоморфизъм, се наричат автоморфизми . Автоморфизмите на всеки обект образуват група на автоморфизъм по състав.

Мономорфизъм, епиморфизъм, биморфизъм

Мономорфизмът е морфизъм такава, че за всеки на следва това. Композиционният мономорфизъм е мономорфизъм.

Епиморфизмът е такъв морфизъм, че за всеки на следващата.

Биморфизмът е морфизъм, който е едновременно мономорфизъм и епиморфизъм. Всеки изоморфизъм е биморфизъм, но не всеки биморфизъм е изоморфизъм.

Мономорфизмът, епиморфизмът и биморфизмът са обобщения, съответно. Всеки изоморфизъм е мономорфизъм и епиморфизъм, обратното, общо казано, не е вярно за всички категории.

Начални и крайни обекти

Първоначален (първоначален, универсално отблъскващ) обект категория е обект, от който съществува уникален морфизъм в който и да е друг обект.

Ако съществуват начални обекти в категорията, те всички са изоморфни.

Двойно се дефинира терминален обект - такъв обект, в който съществува един уникален морфизъм от всеки друг обект.

Пример: В категорията Задаване началният обект е празен набор. , терминал - набор от един елемент.
Пример: В категорията Група първоначалният и крайният обект са еднакви - това е група от един елемент.

Продукт и сума от обекти

Продуктът на обекти А и В е обект с морфизъм и с морфизм такава, че за всеки обект С с морфизъм и има уникален морфизъм такава. morphism и наречени проекции .

объектов A и B . Определя се пряката сума или кодова книга А + В на обекти А и В. Съответстващ морфизъм и се наричат прикачени файлове . Въпреки името си, като цяло те не могат да бъдат мономорфизъм .

Ако продуктът и кодовата кутия съществуват, те са еднозначно определени до изоморфизъм.





Вижте също:

Хармоничен анализ

Определителят на матрицата | Детерминанта на матрицата

Линейна матрична алгебра. решение

Елементарни трансформации на система от линейни уравнения

Основна малка теорема

Връщане към съдържанието: Висша математика

2019 @ ailback.ru