Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Алгебра на Вейл

Ще разгледа и да разгледа операторите и ,

Оферта. , , ,
Доказателство.
                Първите две отношения са очевидни, ние доказваме третата:
,

Определение. Алгебрата на Уейл се нарича субалгебра с единица в алгебрата на всички линейни оператори генерирани от операторите ,

Всеки елемент на могат да бъдат представени като или как ,

Оферта. нека представени като след това
1)
2)
Доказателство.
                Във всяка алгебра ние поставяме след това , т.е. тази операция има същите свойства като диференциацията, ние ще я използваме. броене - полиномиална диференциация на променлива :

,
По същия начин, втората точка доказва.
Лекция 13 (26.11.2001)

Нека се върнем към разглеждане на алгебрата на Weil. Спомнете си, че ние разглеждахме пространството и линейни оператори , който притежаваше имота и където , Алгебрата на Вейл е ако след това след това и ,

Теорема. е проста.
Доказателство.
нека , , нека , след това ,
ако след това , т.е. степен на намалял. Продължавайки по-нататък тази операция, обикновено ще се отървем от нея , По-нататък по същия начин можем да се отървем от всички и, като се има предвид можем да се отървем от всички , В резултат на това получаваме, че дадена константа (не нула) принадлежи на нашия идеал. Следователно, тъй като константата е обратима, нашият идеал съвпада с цялата алгебра. Т.е. алгебра е проста.

Оферта. полиноми линейно независима в по различен начин ,
Доказателство.
                Наистина, ако , тогава ще действаме подобно на доказателството на предишната теорема, т.е. и така нататък В резултат на това получаваме, че ненулева константа трябва да бъде нула, което е невъзможно.

Разследването. Алгебрата на Вейл е безкрайно измерена.

Помислете за полето , над знаем следните органи:
1) над ;
2) над ;
3) над - кватернионно поле.
Сега ще докажем, че няма други тела (т.е. всички тела са изоморфни на някои от тях).

Лема. център е , т.е. всички матрици с еднакви реални числа диагонално.
Доказателство.
                нека - елемент на центъра. след това за всеки и , Т.е. получите системата върху елементите , Решавайки това, получаваме твърдението на леммата.

Определение. нека - асоциативна алгебра с единица над поле , елемент се нарича алгебричен, ако съществува полином такава , Минимален полином на алгебричен елемент се нарича най-малкият полином с най-високия коефициент такава ,

Упражнение. нека - алгебричен елемент от и - всички такива че , Докаже, че и където - минимален елемент полином ,

Теорема. нека след това ,
Доказателство.
                Вземете , където следователно , Ето защо, където , ако след това , Ето защо, , т.е. , ако след това това е невъзможно. следователно следователно всички и елементи са независими.

Теорема. е поле ако и само ако полином който не може да бъде намален.
Доказателство.
, нека т.е. където , след това и , т.е. има нулеви делители. следователно не поле.
                , нека несъвместими и - ненулев елемент. след това не се дели , т.е. , следователно , след това , т.е. всеки ненулев елемент е обратим. следователно област.

Определение. нека - алгебра и , Много наречен подалгебра, генерирана от елемент ,

Оферта. нека - домейн (асоциативна алгебра с единица и без нулеви делители) и , Тогава минималният полином за несъвместими и , По-специално е поле.
Доказателство.
                нека където , след това при но в няма делители на нула. Затова имам противоречие, който не може да бъде намален.
Ще разгледа такава , след това и , Чрез теоремата за хомоморфизма получаваме това - поле.

Оферта. нека - ограничено размерно тяло и , след това ,
Доказателство.
                нека - минимален полином от за , ако , след това следователно Противоречие. следователно - невъзможни за свързване , след това , (нека - сложен корен Тогава ще поставим , t.ch. и използвайте хомоморфизма).

Теорема. нека - поле, което е крайномерна алгебра , след това или ,
Доказателство.
                нека , тогава (по предходното изречение) , нека и - минимален полином за над след това който не може да бъде намален. следователно където и , т.е. , следователно ,

Теорема (Фробениус). нека - крайномерно некомутативно тяло над след това ,
Доказателство.
                защото некоммутативен , нека , след това следователно , е лявото векторно пространство по-горе , Помислете за оператора , е линеен оператор, тъй като и , Т.е. На нас ни е представено цялостно представяне на групата , , Разгледайте множествата:
след това ,
ако след това , т.е. защото в тогава няма делители на нула , т.е. , по същия начин , следователно ,

Лема 1. ,
Доказателство.
               нека след това следователно , но - подалгебра което е крайномерно разширение , И ние вече знаем, че в този случай ,

Лема 2. Нека , където , след това ,
Доказателство.
,

Лема 3. Нека след това и ,
Доказателство.
Според предишната лема , следователно , Но от друга страна (защото в няма делители на нула). Следователно, всички тези неравенства се превръщат в равенства и , По същия начин доказваме това ,

По лема 1 имаме и , Вземете след това , Минимален полином за над има степен 2. Следователно където , Освен това: (Тъй като ) и (Тъй като ). Ето защо, , Т.е. получаваме това , и ,
ако след това , т.е. това е невъзможно.
Ето защо, където , следователно , нека след това и , нека след това , и ,
В резултат на това получихме това , Т.е. имаме група от кватерниони (правилата за умножение са едни и същи).
Лекция 14 (3 декември 2001 г.)

Определение. нека - площ над полето и , елемент наречена алгебрична, ако такава , полином най-нисък процент с най-висок коефициент 1, такъв, че се нарича минимален анихилиращ полином за ,

ако - минимален полином за след това ,

Оферта. ако ненулева след това - поле. елемент е коренът на полето ,
Доказателство.
нека , , след това
,

Разследването. нека - произволни. Тогава има поле в която полином имаме корен.
тук наречена разширение на полето Това се записва като ,

Определение. нека и , поле наречено поле на разлагане за Ако:
1) по-горе полином декомпозирани на линейни фактори;
2) няма междинно поле ( ) не притежава този имот.

Теорема. нека и , След това:
1) поле на разлагане там;
2) ако и - поле за разлагане за след това и изоморфен като алгебра.
Доказателство.

                1) Съществуване (доказателство чрез индукция).
ако след това ,
А сега нека и за всички по-ниски степени, съществуването на полето на разлагане вече е доказано. Разширяваме за неприводими полиноми , - невъзможни. полето отново, и има полином има корен , След това в тази област където , и , По хипотезата за въвеждане има - поле за разлагане за , следователно ще бъде поле за разлагане за ,
2) Уникалност (също и чрез индукция).
ако , тогава полето на разлагане е уникално и равно ,
ако , нека , нека и - корени в полетата и съответно. след това , Без загуба на общности можем да приемем това и , след това и - полета на разлагане на полином над , Чрез въвеждане на полето и съвпадат

Спомнете си от първия семестър, че ако - поле, тогава или 0, или просто число. Ако характеристиката е нула, полето съдържа поле с рационални числа. Ако характеристиката е , полето съдържа полето на модула на приспаданията ,

Теорема. нека - завършеното поле и след това ,
Доказателство.
защото след това е векторно пространство над размерност , нека - основание в над , Ето защо, където , следователно ,

Оферта. нека - характеристики на полето , след това , ,
Доказателство.
Докажете първо за степента , Според бином на Нютон
,
Биноминален коефициент е , и и следователно , Т.е. на полето този коефициент е нула. следователно ,
В общия случай ( ) имаме:
,

Теорема. ако - поле на елементи и след това ,
Доказателство.
                нека , след това , но - група за умножение на поръчки следователно следователно ,
ако , твърдението е очевидно.

Теорема. нека където - просто, тогава има (и това е уникално) поле и елементи.
Доказателство.
                Помислете за полето и полином , нека - поле за разлагане за , нека и - корени след това , т.е. - също корен , Както е показано по-горе , т.е. - също корен , По същия начин проверяваме това и ще се корени също ,
ако след това следователно и , Всички корени образуват подполе. следователно съвпада с множеството на всички корени на полином , В полином Няма много корени, защото и - взаимно прости. следователно , Уникалността на полето следва от уникалността на полето на разлагане за полином. ,

Теорема. нека - поле и - окончателна подгрупа в , след това - цикличен.
Доказателство.
където - Силоу - подгрупа. Достатъчно е да докажем това цикличен. където - просто число. Нека елемент има максимална поръчка ( ). след това или , Помислете за полином , Всеки елемент има ред където , Ето защо, и , Т.е. всички елементи са корените на полином , Но просто следователно и реда на елемента съвпада с реда на цялата група. Следователно, групата циклично генериран елемент , Оттук и цялата група цикличен.

Разследването. - циклична група.

Разследването. нека - поле и , Тогава има един полином градуса такава ,
Доказателство.
където - минимален унищожаващ полином.

Теорема. Група автоморфизми където е циклична група на реда ,
Доказателство.
нека - автоморфизъм след това , , , т.е. ако , след това където - минимален анихилиращ полином за , , нека след това , за няма повече стойности. Затова няма повече automorphisms ,
Показваме автоморфизъм на реда , след това и , след това , т.е. е идентичният автоморфизъм. Ако поръчката е след това и след това на полето ще бъде справедлив елементи. Следователно, поръчката е и ,





Вижте също:

Хомоморфизъм | Мономорфизъм | Епиморфизъм | Изоморфизъм | Автоморфизъм в алгебрата

Евклидово пространство

Група G

Пръстенът се нарича комутативен, асоциативен, анти-комутативен. Линг пръстен в алгебра

Външни продуктови групи

Връщане към съдържанието: Алгебра

2019 @ ailback.ru