Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Функция за прехвърляне

Крайната цел на анализа на АТС е да се реши (ако е възможно) или да се изучи диференциалното уравнение на системата като цяло. Уравненията на отделните връзки, които са част от SAR, обикновено са известни, и възниква междинен проблем за получаване на диференциалното уравнение на система от известните точки за дистанционно управление на неговите връзки. В класическата форма на представяне на ДМ тази задача е свързана със значителни трудности. Използването на понятието трансферна функция значително го опростява.

Нека дадена система бъде описана чрез контрол на формата.

Въвеждайки обозначението p, където p се нарича оператор, или символ на диференциация, а сега се обръщаме към този символ като обикновен алгебричен номер, след поставянето на x out и x в скоби, получаваме диференциалното уравнение на тази система в операторна форма:

(a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 ) x out = (b m p m + b m-1 p m-1 +… + b 1 p + b 0) ) x in . (3.38)

Полином от p, стоящ на изходната стойност,

D (p) = a n p n + a n -1 p n -1 + ... + a 1 p + a 0 (3.39)

се нарича свой собствен оператор, а входният полином се нарича оператор на влияние

K (p) = b m p m + b m-1 p m-1 +… + b 1 p + b 0 . (3.40)

Трансферната функция е съотношението на оператора на експозицията към собствения му оператор:

W (p) = K (p) / D (p) = x out / x in . (3.41)

В бъдеще ще използваме операторската форма на писане на диференциални уравнения почти навсякъде.

Видове линкове и алгебра на трансферните функции.

Получаването на трансферната функция на ДАБ изисква познаване на правилата за намиране на трансферните функции на групи връзки, в които връзките са свързани помежду си по определен начин. Има три вида връзки.

1. Последователно, при което изходът на предишната връзка е вход за следващия (фиг. 3.12):

W 1 (p)
W 2 (p)
x in
х
x out


Ris.3.12. Връзка с последователна връзка.

Както може да се види от уравнение (3.41), трансферната функция на всяка система, от една страна, е съотношението на влияещия оператор към собствения му оператор, а от друга страна, съотношението на изходната стойност към входа. В този случай трансферната функция на връзката е

W c (p) = x out / x in = (x out / x) (x / x in ) = W 1 (p) W 2 (p). (3.42)

2. Паралелно, при което няколко връзки имат общ вход и се добавят изходните стойности на тези връзки (Фигура 3.13):

W 1 (p)
W 2 (p)
x in
х о = х 1 + х 2
x 1
x 2


3.13. Паралелни връзки за връзка.

Новата икона на тази верига е суматорът. Ако в един засенчен сектор се наблюдава суматор, това означава, че стойността, която влиза в този сектор, променя своя знак.

Както и преди, въз основа на концепцията за трансферна функция, получаваме:

W с (p) = x out / x in = x 1 / x + x 2 / x = W 1 (p) + W 2 (p). (3.43)

3. Контра-паралелна връзка или покритие на връзката чрез обратна връзка (фиг. 3.14).

W 1 (p)
W 2 (p)
х
x in
x в ± x
x out


Фиг. 3.14. Контра-паралелна връзка.

В зависимост от това дали сигналът за обратна връзка x се добавя към входа на входния сигнал x или се изважда от него, се различават положителни и отрицателни обратни връзки.

Както и преди, на базата на свойството на трансферната функция, можем да пишем

W 1 (p) = x out / (x в ± x); W2 (р) = х / х о ; W c = x out / x in . (3.44)

Премахвайки вътрешната x координата от първите две уравнения, получаваме трансферната функция за такова съединение:

W c (p) = W 1 (p) / [1 ± W 1 (p) W 2 (p)]. (3.45)

Трябва да се има предвид, че в последния израз плюс знакът съответства на отрицателна обратна връзка.

В случай, че дадена връзка има няколко входа (например обект на регулиране), се считат няколко преносни функции на тази връзка, съответстващи на всеки от входовете, например, ако уравнението на връзката има формата

D (p) y = K x (p) x + K z (p) z (3.46)

където K x (p) и K z (p) са оперативни действия съответно на входове x и z, тогава тази връзка има трансферни функции на входове x и z:

W x (p) = K x (p) / D (p); W z (p) = K z (p) / D (p). (3.47)

В бъдеще, за да се намалят вписванията в изразите на трансферните функции и съответните оператори, ще пропуснем аргумента „p”.

От съвместното разглеждане на изразите (3.46) и (3.47) следва, че

y = W x x + W z z, (3.48)

т.е. в общия случай, изходната стойност на всяка връзка с няколко входа е равна на сумата от продуктите на входните стойности и преносните функции над съответните входове.

Трансферната функция на SAR се смущава.

Обичайният тип структура АТС, работеща върху отклонението на регулираната стойност, е:

W o z = K z / D обект W o x = K x / D
W p y
Z
ш
-x


Фигура 3.15. Затворен ATS.

Обръщаме внимание на факта, че регулиращият ефект влиза в обекта с модифициран знак. Връзката между изхода на даден обект и неговия вход чрез регулатор се нарича основна обратна връзка (за разлика от възможната допълнителна обратна връзка в самия регулатор). В най-философския смисъл на регулиране, действието на регулатора е насочено към намаляване на отклонението на регулираното количество, поради което основната обратна връзка е винаги отрицателна. На фиг. 3.15:

W o z - прехвърляща функция на обекта чрез смущение;

W o x - прехвърлящата функция на обекта върху регулаторното въздействие;

W p y - преносната функция на регулатора върху отклонението на y.

Диференциалните уравнения на обекта и на контролера изглеждат така:


y = W o x x + W o z z

x = - W p y. (3.49)

Подменяйки x от второто уравнение в първото и завършвайки групирането, получаваме уравнението на CAP:

(1 + W o x W p y ) y = W o z z. (3.50)

Следователно, трансферната функция на САР върху смущенията

W c z = y / z = W o z / (1 + W o x W p y ). (3.51)

По подобен начин е възможно да се получи трансферната функция на контролната система за контролното действие:

W c u = W o x W p u / (1 + W o x W p y ), (3.52)

където W p u е предавателната функция на контролера за контролното действие.

3.4. Принудителни колебания и честотни характеристики на SAR.

При действителни условия на експлоатация, SAR често е изложен на периодични смущаващи сили, което е придружено от периодични промени в контролираните променливи и регулаторни действия. Такива са например колебанията на кораба по време на курса на морето, колебанията в честотата на въртене на витлото и други количества. В някои случаи амплитудите на трептенията на изходните стойности на системата могат да достигнат неприемливо големи стойности и това съответства на явлението резонанс. Ефектите на резонанса често са катастрофални за системата, която я тества, например преобръщане на кораба, унищожаването на двигателя. В системите за управление такива явления са възможни с промени в свойствата на елементите, причинени от износване, подмяна, реконфигурация, откази. След това има нужда или да се дефинират безопасни граници на работни условия, или правилна конфигурация на SAR. Тук тези въпроси ще бъдат разгледани в приложението към линейните системи.

Нека някоя система има следната структура:

x = A x sinωt
y = A y sin (ωt + φ)


Фигура 3.16. ATS в режим на принудителни вибрации.

Ако системата е засегната от периодично действие х с амплитуда А х и кръгова честота w, то след края на преходния процес ще бъдат установени осцилации от същата честота с амплитуда А у и изместени спрямо входящите осцилации от фазов ъгъл j. Параметрите на изходните колебания (амплитуда и фазово изместване) зависят от честотата на движещата сила. Задачата е да се определят параметрите на изходните колебания по известните параметри на трептенията на входа.

В съответствие с трансферната функция на SAR, показана на фигура 3.14, нейното диференциално уравнение има формата

(a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 ) y = (b m p m + b m-1 p m-1 +… + b 1 p + b 0 ) х. (3.53)

Ние заместваме в (3.53) изразите за x и y, дадени на фиг. 3.14:

(a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 ) A y sin (wt + j) =

= (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x sinwt. (3.54)

Ако разгледаме картината на колебания, изместена с една четвърт от периода, то в уравнението (3.54) функциите на синусите ще бъдат заменени с функции на косинусите:

(a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 ) A y cos (wt + j) =

= (b m p m + b m-1 p m-1 +… + b 1 p + b 0 ) A x coswt. (3.55)

Умножете уравнението (3.54) от i = и добавете резултата в (3.55):

(a n p n + a n -1 p n -1 + ... + a 1 p + a 0 ) A y [cos (wt + j) + isin (wt + j)] =

= (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x (coswt + isinwt). (3.56)

Прилагане на формулата на Ойлер

exp (± ibt) = cosbt ± isinbt,

имаме предвид уравнение (3.56)

(a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 ) A y exp [i (wt + j)] =

= (b m p m + b m-1 p m-1 +… + b 1 p + b 0 ) A x exp (iwt). (3.57)

Извършване на операцията по диференциация във времето, осигурена от оператора p = d / dt:

[a n (iw) n + a n-1 (iw) n-1 +… + a 1 iw + a 0 ] A y exp [i (wt + j)] =

= [b m ( iw) m + b m-1 ( iw) m-1 + ... + b 1 iw + b 0 ] A x exp (iwt). (3.58)

След прости преобразувания, свързани с редукцията от exp (iwt), получаваме

(3.59)

Дясната страна на израза (3.59) е подобна на изразяването на трансферната функция на CAP и може да бъде получена от нея чрез замяна на p = iw. По аналогия той се нарича комплексна предавателна функция W (iw) или амплитудно-фазова характеристика (AFC). Често се използва терминът честотна характеристика. Ясно е, че тази част е функция на сложния аргумент и може да бъде представена в тази форма:

W (iw) = M (w) + iN (w), (3.60)

където M (w) и N (w) са реалните и въображаемите честотни характеристики, съответно.

Съотношението A y / A x е модулът AFC и е функция от честотата:

И y / A x = R (w)

и се нарича амплитуден отговор (AFC). стадиален

Преместването j = j (w) също е функция на честотата и се нарича фазов честотен отговор (фазов отговор). Чрез изчисляване на R (w) и j (w) за честотния диапазон (0 ... ¥), можете да начертаете графика на AFC върху комплексната равнина в координатите M (w) и iN (w) (фиг. 3.17).

iN (w)
R (w)
j (w)
M (ω)

Ris.3.17. График AFH.

Очевидни са следните връзки:

М = Rcosj; N = Rsinj;

; j = arctg (N / M). (3.61)

Амплитудна честотна характеристика.

Най-голям интерес представлява честотната характеристика на всяка система, тъй като тя дава възможност да се определи амплитудата на осцилациите на изходното количество с известна амплитуда и честота на входната величина. На фиг. 3.18 показва възможни на практика типове честотна характеристика.

ω
R (ω)
ω cp
ω нарязани


Ris.3.18. Амплитудно-честотни характеристики.

При честотната характеристика на система 1 се вижда резонансен пик, съответстващ на най-високата амплитуда на принудителните колебания. Работата в зоната близо до резонансната честота може да бъде разрушителна и често като цяло неприемлива от правилата за работа на даден контролен обект. Честотният спектър от тип 2 няма резонансен пик и е по-предпочитан за механични системи. Вижда се също, че с нарастващата честота амплитудата на изходните колебания намалява. Физически това е лесно да се обясни: всяка система, поради нейните инерционни свойства, е по-лесно подложена на разклащане при ниски честоти, отколкото при високи честоти. Започвайки от определена честота, изходните колебания стават незначителни и тази честота се нарича гранична честота, а честотният диапазон под граничната честота се нарича честотна лента. В теорията на автоматичното управление честотата на прекъсване се приема така, че честотната характеристика е 10 пъти по-малка, отколкото при нулева честота. Свойството на системата за потискане на високочестотни колебания се нарича свойство на нискочестотен филтър.

Разгледайте метода за изчисляване на честотния спектър на примера на връзката на втория ред, диференциалното уравнение, което

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3.62)

При проблемите на принудителните колебания често се използва по-визуална форма на уравнението.

(p 2 + 2xw 0 p + w 0 2 ) y = kw 0 2 x, (3.63)

където се нарича естествената честота на трептенията в отсъствието на затихване, x = T 1 w 0/2 е коефициентът на затихване.

Функцията за прехвърляне изглежда така:

(3.64)

Чрез замяна на p = iw се получава характеристиката на амплитудната фаза

(3.65)

Използвайки правилото за разделяне на комплексните числа, получаваме израза за честотния отговор:

(3.66)

Определете резонансната честота, при която честотната характеристика има максимум. Това съответства на минималния знаменател на израза (3.66). Приравнявайки на нула производна на знаменателя по отношение на честотата w, имаме:

2 (w 0 2 - w 2 ) (- 2w) + 4x 2 w 0 2 * 2w = 0, (3.67)

където получаваме стойността на резонансната честота, която не е равна на нула:

w rez = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Нека анализираме този израз, за ​​който разглеждаме отделни случаи, които съответстват на различни стойности на коефициента на затихване.

1. x = 0. Резонансната честота е равна на нейната собствена честота и модулът за честотна характеристика отива в безкрайност. Това е случай на т.нар. Математически резонанс.

2. Тъй като честотата се изразява като положително число, и от (68) за този случай се получава нула или въображаемо число, което означава, че при такива стойности на коефициента на затихване честотният спектър няма резонансен пик (крива 2 на фиг. 3.18).

3. Честотният спектър има резонансен пик и с намаляване на коефициента на затихване, резонансната честота настъпва собствена и резонансният пик става по-висок и по-рязък.





Вижте също:

Устойчивост на дискретни системи.

Принципи на автоматичното управление.

Състав на системата за автоматично управление.

Автоколебанията в нелинейния SAR и физическата картина на тяхното възникване.

Връщане към съдържанието: АВТОМАТИЧНА ТЕОРИЯ ЗА РЕГУЛИРАНЕ

2019 @ ailback.ru