Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Теорема: Всяка целочислена правоъгълна матрица се свежда до диагонална форма чрез елементарни преобразувания на редове и колони.

Теорема. Всяка целочислена правоъгълна матрица се преобразува в диагонална форма чрез елементарни преобразувания на редове и колони. където ,
Доказателство. (чрез въвеждане на броя редове)
Основна индукция , Матрицата има формата , Ако е нула, то вече има желания вид. Ако не е нула, тогава без загуба на общности можем да приемем това е най-малкият ненулев елемент в абсолютна стойност (в противен случай пренаредите колоните). Можем също така да приемем това (в противен случай колоната се умножава по. \ t ), по същия начин ще направим всички елементи положителни. нека където , Отнемане от втората колона получите низ , ако 0, тогава най-малкият модул на ненулев елемент намалява, правейки тази операция няколко пъти, откриваме, че модулът вече не може да намалее, защото тя е по-голяма от нула. Ето защо, и получаваме низ , След като направихме това няколко пъти, завършихме с низ разменяме колоните, получаваме - диагонална матрица, и ,
Индуктивен преход. Нека изявлението на теоремата е вярно за редове, докажете го линии. Имаме матрица Означава с , Да предположим, че това води за така че какво следва не намалява. Пренареждане на линиите и колоните и, ако е необходимо, умножаване по , получаваме, че този минимум се достига до елемента , и , Тогава ще получим това ако ,

Лема. Всички елементи от първия ред и първата колона разделени на ,
Доказателство.
Вземете произволен елемент от първия ред , получаваме това където , ако след това се изважда от първата колона, умножена по на място номера следователно това е невъзможно. така и всички елементи от първия ред са разделени по , По същия начин доказваме за първата колона.

След като всички елементи на първия ред и първата колона са разделени по , след това изваждайки първия ред (умножен по желаното съотношение) от останалите, и изваждайки първата колона (умножена по желаното съотношение) от останалите, получаваме матрицата , и , Освен това, чрез индукционната хипотеза, можем да доведем матрицата до диагонална форма състояща се от линии. В резултат на това получаваме желаното разлагане.

Упражнение. Брой на равен на най-големия общ делител на всички елементи на матрицата.

например:
                Нека доведем до диагонал ум матрица , имаме това NODU на всички елементи , Ето защо, може да се получи (например, умножаване на първата колона с и добавя втори към нея): добре, тогава ще продължим според алгоритъма от доказателството на теоремата:
,

Теорема. нека - свободна абелева група и. \ t - неговата подгрупа, след това в има такава основа които съществуват такава - основание в ,
Доказателство.
                нека - основание в , нека - основание в след това
, Получаваме матрица на цяло число Нека го доведем до диагонален изглед , Когато проведохме елементарни трансформации, ние просто се преместихме на нова основа в и в така намерихме основата в такава ще бъде основата в ,

Припомнете дефиницията на крайно генерираната абелева група и докажете

Теорема. нека тогава е окончателно генерирана абелева група е пряка сума от свободна абелова група и първични циклични групи (циклични групи, чийто ред е равен на степента на простото число).
Доказателство.
                нека , т.е. генерирани от елементи , - свободна абелева група с база , Създайте хомоморфизъм според правилото , Очевидно е, че картографирането surjective. Ядрото му е подгрупа от , нека - основание в такава - основание в (тук и ). В резултат на това имаме това

тук определяме при ,
(по теоремата за факторизацията на факторите).
Помислете за отделно допълнение. следователно
, Общо казано групи може да не е първична, но в този случай те се разлагат допълнително в директна сума от първични циклични групи.

Разследването. Крайната абелева група е директна сума от първични циклични групи.
Доказателство.
                Всяка крайна абелева група е крайно генерирана. И оттогава Тъй като свободната абелева група е броена, тя не е в разложеното предложено в теоремата. Следователно остават само първичните циклични групи.

Пример.
                Вземете група ред , тогава са възможни следните опции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Следователно има 6 неизоморфни абелеви групи по ред ,

Определение. група няма усукване, ако не съдържа не единични елементи с краен ред.

Теорема. Абелова група, свободна от торсионна форма, е свободна.
Доказателство.
                По предишната теорема имаме това следователно тези термини липсват и - свободна абелева група.





Вижте също:

Дискретни подгрупи в алгебра

Пръстенът се нарича комутативен, асоциативен, анти-комутативен. Линг пръстен в алгебра

Евклидово пространство

Ляв съседен клас | Дясно съседен клас

Алгебрични групи

Връщане към съдържанието: Алгебра

2019 @ ailback.ru