Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Аварийни ситуации ВКонтакте
border=0

Линейна матрична алгебра. решение

Основни определения.

Определение. Матрица с размер mхn, където m е броят на редовете, n е броят на колоните, се нарича таблица с числа, подредени в определен ред. Тези числа се наричат ​​елементи на матрицата. Местоположението на всеки елемент е еднозначно определено от номера на реда и колоната в пресечната точка, на която се намира. Матричните елементи се обозначават с ij , където i е номерът на реда, а j е номерът на колоната.

А =

Основни операции върху матрици.

Матрицата може да се състои от един ред или една колона. Най-общо казано, матрицата може дори да се състои от един елемент.

Определение. Ако броят на колоните в матрицата е равен на броя на редовете (m = n), тогава матрицата се нарича квадратна .

Определение. Преглед на матрицата:

= E ,

наречена единична матрица .

Определение. Ако mn = a nm , тогава матрицата се нарича симетрична .

Пример . - симетрична матрица


Определение. Квадратен матричен изглед наречена диагонална матрица.

Добавянето и изваждането на матриците се свежда до съответните операции на техните елементи. Най-важната характеристика на тези операции е, че те се дефинират само за матрици с еднакъв размер . По този начин е възможно да се определят операциите по събиране и изваждане на матрици:
Определение. Сумата (разликата) на матриците е матрицата, чиито елементи са съответно сумата (разликата) на елементите на оригиналните матрици.

c ij = a ij ± b ij

С = А + В = В + А.

Операцията за умножаване (разделяне) на матрица от всякакъв размер с произволен брой се свежда до умножаване (разделяне) на всеки елемент от матрицата с този номер.

a (A + B) = aA ± aB
A (a ± b) = aA ± bA

Пример. Като се има предвид матрицата A = ; B = , намери 2A + V.
2А = , 2А + В = ,

Действието на умножението на матриците.

Определение: Матричен продукт е матрица, чиито елементи могат да бъдат изчислени по следните формули:

А * В = С;
,
От горната дефиниция може да се види, че операцията на умножаване на матриците се дефинира само за матрици, като броят на колоните на първия от тях е равен на броя редове на втория.

Свойства на операцията по умножаване на матрицата.

1) Матричното умножение не е комутативно , т.е. AB не е равен на VA, дори и двата вида работи да са дефинирани. Въпреки това, ако за всяка матрица е изпълнено отношението AB = BA, тогава такива матрици се наричат пермутационни матрици .
Най-характерният пример е идентичността на матрицата, която е пермутируема с всяка друга матрица със същия размер.
Пермутацията може да бъде само квадратна матрица от един и същ ред.

A * E = E * A = A

Очевидно, за всяка матрица се запазва следното свойство:
А * О = О; O * A = O,
където O е нулевата матрица.

2) Матричната операция за умножение е асоциативна, т.е. ако продуктите AB и (AB) C са дефинирани, тогава BC и A (BC) са дефинирани и равенството е изпълнено:
(AB) C = A (BC).

3) Матричната операция за умножение е разпределителна по отношение на добавянето, т.е. ако изразите са A (B + C) и (A + B) C, тогава съответно:

А (В + С) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC.

4) Ако продуктът AB е дефиниран, то за всяко число а, връзката е вярна:
a (AB) = (aA) B = A (aB).

5) Ако продуктът AB е дефиниран, тогава се дефинира продуктът B T A T и равнопоставеността се запазва:
(AB) T = B T A T , където
индексът T означава транспонираната матрица.

6) Отбележете също, че за всички квадратни матрици det (AB) = detA * detB.
Понятието дет (детерминант, детерминант) ще бъде обсъдено по-долу.

Определение. Матрицата В се нарича транспонирана матрица А и преходът от А към В чрез транспониране , ако елементите на всеки ред от матрицата А са записани в един и същ ред в колоните на матрицата Б.
А = ; B = A T = ;

с други думи, b ji = a ij .

Като следствие от предишното свойство (5), можем да запишем, че:
(ABC) T = C T B T A T ,
при условие, че е дефиниран произведението на ABC матриците.

Пример. Като се има предвид матрицата A = , B = , С = и число a = 2. Намерете А Т В + aС.


A t = ; A T B = * = = ;
aC = ; А Т В + aС = + = ,

Пример. Намерете произведението на матриците A = и В = ,
AB = * = ,
VA = * = 2 * 1 + 4 * 4 + 1 * 3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Намерете произведението на матриците A = , B =
AB = * = = ,





Вижте също:

Теория на графиките

Хармоничен анализ

Обратна матрица свойства

Решаване на произволни системи от линейни уравнения

Дискретна математика

Връщане към съдържанието: Висша математика

2019 @ ailback.ru