КАТЕГОРИЯ:


гранични точки на последователност

Определение 1. точка х се нарича безкрайна граница ред точка на последователността {хп}, ако има такива д - квартал на този етап има безкрайно много елементи на последователност {хп}.

Лема 1. Ако х- лимит точка на последователност к}, тогава тази последователност има последователност н к}, приближава до редица х.

Забележка. Обратното също притежава. Ако в последователност к} има последователност приближава до броя на х, на брой х ограничение точка на последователност к}. В действителност, в която и д - квартал на х има безкрайно много елементи на подпоследователност, и поради това е много последователност к}.

Лема 1 означава, че е възможно да се получи различно определение на граничните точки на последователност, която е еквивалентна на определението 1.

Определение 2. точка х и се нарича безкрайно лимит точка на последователността к}, ако тази последователност има последователност приближава до х.

Лема 2. Всеки конвергентна последователност има само едно ограничение точка, през която минава границата на тази последователност.

Забележка. Ако последователността клони, от Лема 2 има само една граница точка. Въпреки това, ако {хп} не е конвергентна, тогава тя може да има няколко точки на границата (и обикновено се ограничава безкрайно много точки). Покажи, например, че 1 + {(- 1) N} има два гранични пункта.

Всъщност, 1 + {(- 1) N} = 0,2,0,2,0,2, ... има две гранични точки 0 и 2, като последователност {0} = 0,0,0, ... и {2} = 2,2,2, ... Тази последователност е ограничение, съответно, цифрите 0 и 2. други гранични точки на тази последователност не е. Наистина, нека х бъде всяка точка на реалната ос, точките различни от 0 и 2. Ние вземат д> 0, така че

малки, за да е - квартали на точките 0, х и 2 не се припокриват. Е- квартали на точките 0 и 2, съдържат всички елементи на редицата, и така е - един квартал на х не може да съдържа безкраен брой елементи {1 + (- 1) п} и следователно не е ограничение точка на тази последователност.

Теорема. Във всяка ограничена последователност има най-малко една граница точка.

Забележка. Нито един от номерата, х, превъзходно Не е ли ограничение точка на последователност {хп}, т.е. - Най-високата граница точка на последователност {хп}.

Нека X- всяко число по-голямо от , Ние избираме д> 0 толкова малка, че

че XE> ,

тъй като

и 1 х Î {х}, правото на х 1 е краен брой елементи на последователност {хп}, или изобщо не, т.е. х не е ограничение точка на последователността {хп}.



Определение. Най-голямото ограничение точка на последователност {хп} се нарича горната граница на последователността и е означен , От коментарите, от това следва, че всеки ограничена последователност е горната граница.

По същия начин се въведе концепцията за по-ниска граница (по-ниска граница точки на последователност {хп}).

Така че сме доказали следния твърдение. Във всяка ограничена последователност има горна и долна граница.

Членка, без доказване на следната теорема.

Теорема. С цел да се последователност {хп} има конвергентна, ако и само ако тя е била ограничена и че горните и долните граници съвпада.

Резултатите от тази позиция води до следните основните теорема на Болцано-Вайерщрас.

Болцано-Вайерщрас теорема. конвергентна последователност от всяка ограничена последователност.

Доказателство. Тъй като последователност {хп} е ограничена, а след това тя има най-малко една граница точка х. След това от тази последователност има последователност, която се доближава до точката х (2 следва от определението за ограничение точка).

Забележка. Можете да изберете монотонно конвергентна последователност От всяка ограничена последователност.

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| гранични точки на последователност

; Дата: 01.07.2014; ; Прегледи: 603; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Edu Doc (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 11.45.9.22
Page генерирана за: 0.047 сек.