КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) П Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) P Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) oligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97182) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на състезателя (42831) строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт (2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596 ) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно (12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

I.1. Системи за обикновени диференциални уравнения. Основни понятия и определения




Обикновени диференциални уравнения

ЛЕКЦИЯ 4-5.


Най-общо, системата на обикновени диференциални уравнения могат да бъдат написани, както следва:

(1)

където функциите са определени в триизмерни домейн D променливи , Такива системи се наричат нормални системи за п първия ред диференциални уравнения с неизвестни функции

Броят на уравнения в системата (1), определя своята цел.

системи за вземане на решения (1) в интервала (А, В) е набор от функции , Непрекъснато диференцируема в (а, б) заедно с неговите производни и да се справят всеки уравнение на (1) за самоличност.

Проблемът на Коши за системи на диференциални уравнения от първи ред Той има следната формулировка. Намери разтвор система, която отговаря на първоначалните условия:

(2)

където - Като се има предвид номера;

теорема (Съществуването и уникалността на решения на проблема Коши). Ако функциите непрекъснато в един квартал на и имат непрекъснати частни производни След това винаги ще има интервал с център В което има уникално решение на (1), което отговаря на първоначалните условия.

Общото решение на системата (1) е колекция от функция В зависимост от N произволни константи и отговарящи на следните условия:

1) Функциите дефинирано в някоя област на промяната на променливи и имат непрекъснати частни производни

2) съвкупност от Е разтвор на система (1) за всички стойности ,

3) за всички първоначалните условия на (2) от областта Ако условията на теоремата на Коши е, че винаги има стойности на произволни константи Това ще бъде истинско равенство

Геометрично, общото решение е параметър семейството на самолетни криви.

Особено разтвор на (1) Тя се нарича разтвор, получен от общата сума за някои конкретни стойности на произволни константи.

Един от методите на разтвор на системата (1) е да се намали до една или повече по-високи за диференциални уравнения (метод елиминиране).

Всички по-горе се отнася за системи линейни диференциални уравнения, които имат формата

(3)

където функциите обикновено се приема да бъде непрекъснато в някои интервал Ако всичко , Системата се нарича хомогенна, в противен случай - нехомогенни. ако След това системата се нарича линейно с постоянни коефициенти.

Процесът на намиране на общ разтвор на системата се нарича интеграция. За това, направи характеристика уравнението

,

където Разширяване на детерминанта, ние получаваме алгебрични уравнение от степен за с реални коефициенти, които, според изявлението на фундаменталната теорема на алгебрата, има точно реални и комплексни корени, броене на множественост.



В този случай, в следните случаи.

1. Корените на характерната уравнението - реално и различно. Нека чрез Известно е, че всеки корен Тя съответства на определен тип решение

(4)

където коефициентите Ние сме решени от системата на линейни алгебрични уравнения

, (5)

Всички специално разтвори на формата (4) образуват основно система на решения. Общото решение на хомогенна система с постоянни коефициенти, получени от системата (3) , , Е следния набор от функции, които са линейна комбинация от решения на (4):

където произволни константи.

2. корени характерната уравнението - различно, но сред тях са сложни. Известно е, че в този случай всяка двойка сложни конюгат корени характерната уравнение съответства на двойка частични решения:

(6)

където ; коефициенти определя от система (5), съответно, за и , коефициенти Те обикновено са комплексни числа и съответните функции - Комплексни функции. Разделянето на реални и въображаеми части на функциите и И като се използва факта, че за линейни уравнения с реални коефициенти и въображаеми и реални части от разтвора са също решения, можете да получите няколко частни реални решения на хомогенна система.

3. Сред корените Има кратни на характерните уравнение. нека кратността на корена характерната уравнение. След това разтвор на (2) (при което , ( ), Съответстващ на това множествена корен, търси:

(7)

численост ние откриваме, както следва: заместител функция (7) и техните производни в системата за източник (3) с горните ограничения върху и И след това, след намаляване на , Се равнява на коефициентите на подобни правомощия В лявата и дясната страна на уравненията получени. В резултат на процедурата на всички номера винаги остава като свободни параметри, които се вземат при произволни константи.

Решенията на основната система, съответния прост (не множествена) корените на уравнението характеристика се определя по такъв начин, че то е било показано в точки 1 и 2.