Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Интегриране на рационални функции

На интеграли от рационални функции са доста често срещани, в действителност, много от по-сложни интеграли намали до тях.

1. Определяне на рационална функция е израз на формата Къде на числителя и знаменателя - там са полиноми (полиноми), т.е. изразяване на формата

,

В някои учебници, тези функции се наричат ​​рационални функции или рационална фракция.

Определение 2. фракция се нарича правилно, ако най-високата мощност на полинома е в числителя е по-малко от най-високата степен на полинома в знаменателя, т.е. В противен случай неадекватно фракция.

Определение 3. Изстрелът се нарича несводима ако полиномите в числителя и знаменателя са без общи корени.

Интеграция на най-простите рационални фракции

Има 4 прости дроби. Интегралите на тях се изчисляват както следва

I. , Доказателство: ,

II. ,

Доказателство: ,

III. , IV. ,

тези две интеграли са сведени до първите две интеграли).

Ние показваме процедурата за изчисляване на интеграл от третия вид (същото се отнася до четвъртия тип неразделна, но води до по-сложни интеграли)

,

Пример.

Изчислете , като , Интегралът е неразделна на третия тип. Ние решаваме да го използвате по-горе процедура

,

С неразделна тип IV комплекс. След същата промяна на променлива ние получаваме

,

Един от интеграл се редуцира до масата и изчислява. За да се изчисли необходимото второ повторение формула

където ,

Пример 1. Изчисли ,

като , Използвайте рекурсивни формула

при :

,

По този начин, ,

Пример 2. Изчисли , Ние използваме най-рецидивираща формула, когато : но дефинирано по-горе, след това

,

след това

,

Пример 3. Оценява ,

,

като

,

както следва от Пример 1, получаваме

,

Правилата за интегриране на рационални функции

при изчисляване трябва да се ръководи от правилата.

1. За да се установи дали правото на подинтегрален или грешен изстрел. Ако ударът не е наред, за да го представи като сума от цялата част и подходяща фракция, с помощта на "ъгъла разделение", или от който и да е друг метод за избиране на неговия число част.

2. Определете дали правилното фракция от най-простите, ако е така, да пристъпи към неговата интеграция.

3. Ако топката не е много проста, представете си го като сума от частични фракции и след това се пристъпи към интеграция.

Забележка. Точен интеграция на рационални функции са на разположение, ако полинома в знаменателя представени като продукт на простите фактори, с други думи, знам всичките му корени.



Помислете за интеграл

,

Фракция грешна , Изберете цялата част, като се използва процедура "ъгъла разделение" на, напомнящ на разделението на номера

В резултат,

,

Забележка. Интегриране на цялата страна, изолирана от неправилни дроби, никаква трудност е, защото това води до интегралите на силови функции. Harder с интеграцията на подходящи фракции, ако те не са прости, както в примера по-горе.

Разпадане на подходяща фракция в частична

Знаем, че след представяне на правилното фракция като сумата на частичното

,

следната процедура се използва за определяне на коефициентите на разширение

1. част на дясната ръка на формулата може да бъде намален до общ знаменател, който трябва да съвпадне с знаменател на фракцията от лявата страна на формулата.

2. При това условие, на леви и десни фракции са равни, ако те са равни числители, които са полиноми.

3. Тъй като полиноми са равни, само когато същите коефициенти на същите правомощия на една променлива, ние получаваме система от уравнения за коефициентите на разширение. Известно е, че тази система има уникален разтвор.

4. След определяне на система от уравнения, получени от стойностите на коефициентите за разширителни интегрират частични фракции.

Пример 1.

, Имаме на интеграл от рационална функция, подходяща фракция, неизлечим и не е проста. след това

,

Имайте предвид, че първият фактор е знаменателя прост фракция, тъй като експресията в скоби в първа степен, Вторият фактор дава две частични фракции, тъй като степента на фактор втора.

След привеждане дясната ръка под общ знаменател, което съвпада с знаменателя на фракцията от лявата страна на уравнението, имаме

,

Тези фракции са равни с равни техните номератори

,

откъдето

, (*)

Резултатът е система от три уравнения с три неизвестни

който може да бъде решен чрез Cramer и Гаус.

От особен интерес е по-различен подход - добавяне на системата на допълнителни "екстра" уравнения, опростяване, получаващи решения. От (*) е идентичност, то е валидно за всяка стойност на променливата , Следователно, може да се използва за определени стойности на променливата. значение е избран така, че уравнението става малък брой неизвестни.

Нека След това идентичността води до уравнението

,

Само в уравнението остава A, определя неговата , От първото уравнение на системата трябва да бъде получен по-горе Тогава ние получаваме от втория ,

Що се отнася до решението да се повиши допълнително уравнение, третото уравнение на системата се оказа излишно. Ние го използвате, за да проверите резултата ,

сега

,

Пример 2. ,

Полинома в знаменателя трябва да бъде представена като продукт на простите фактори. Вземете един от корените на знаменателя, в този пример, , Ние разделяме полином

след това Където вторият фактор няма реални корени, тъй като това е дискриминантата , В резултат,

,

След привеждане дясната ръка под общ знаменател, имаме

,

откъдето

,

Тази идентичност води до системата от уравнения

Ние добавяме към тази система, допълнително уравнение, получено от идентичността, ако :

,

откъдето , Сега, от първото уравнение , От последното уравнение , Ние проверяваме резултатите чрез заместване на получените стойности на коефициентите в останалите второто уравнение

,

В резултат,

,

Първият интеграл е почти маса, а вторият е интеграл на третия тип, решаването използва процедурата, описана по-горе.

,

По този начин,

,

Пример 3. ,

,

Нито един от получените квадратни trinomials все още няма реални корени. По този начин,

,

След намаляване на фракции под общ знаменател стигаме до самоличността

или

,

Ние се равнява на коефициентите на подобни правомощия на полиноми в лявата и дясната страна на самоличността

Третото уравнение на системата с помощта на първото уравнение намалява до формата Когато имаме , Сега ние получаваме от последното уравнение , От първото уравнение имаме , Заместването на всичко това в второто уравнение, получаваме , Което означава, след това , По този начин,

,

Ние изчисляваме интегралите

,

В резултат,

,

Забележка. Разпадане на подходяща фракция в частично може да се направи с помощта на компютър.

Примери за индивидуални решения

Оценява интеграли

16. 17. 18. ,

19. 20. ,

Тригонометрични и експоненциални функции

1. Считаме интегралите където фракционна рационална функция на два аргумента и , С други думи, на числителя и знаменателя на тази фракция съдържа само положителни числа степен тези аргументи.

Промяна на променлива тези интеграли намаляване на интеграли и рационална функция, но аргументът, Това причинява задачата да задачата на предишния раздел.

Този преход може да бъде осъществено чрез така наречения универсален маска след това ,

Лесно е да се покаже, че

, ,

По този начин,

,

Каза смяна ни позволява да се намали тази неразделна съставна на рационална функция. Въпреки това, опитът показва, че тази смяна, често води до интеграли изчисление, което е много трудно и понякога невъзможно.

В някои случаи, с други възможни пермутации да се получи просто рационално функция. За разлика от универсалното, тези замествания, които понякога се наричат ​​специални, тъй като те са приложими само при определени условия.

1. Замяна се прилага при условие

,

т.е. подинтегрален е странно по отношение на ,

2. Подмяна се прилага при условие

,

3. Замяна се прилага при условие

,

Това условие е изпълнено, когато функцията или дори или странно по отношение на двете и ,

По този начин, използването на универсален заместващ подходящо, не работи, когато нито един от специалните замествания.

Пример 1. Изчисли ,

Това позволи на интеграл и универсални, и всички специални заместване, обаче, най-удобен за тях :

,

Пример 2. Изчисли , В този случай, не работи, нито един от конкретните замествания необходимо да се използват универсалното

,

В знаменателя на подинтегрален има реални корени, следователно, може да бъде представен като сума от две прости дроби

,

което означава, системата от уравнения

,

решение, което , По този начин,

,

Интегралите на формата се разглежда отделно. Най-общо казано, тези интеграли са специален случай на интеграла Следователно, приложимо към тях по-горе теория. Тя трябва да се използва като една мярка на степента е странно. ако странно, след замяната се извършва Ако странно Реализирана замяна ,

Интересен случай е, когато и дори. Теорията предлага, в този случай подмяна , Въпреки това, той е по-удобно да се използва една от формулите

,

Въвеждането на двойна ъгъл ви позволява да се намали общото ниво на подинтегрален, което, разбира се, опростява изчисляването на интеграла.

Пример 3.

,

Накрая, интеграли на формата , , преобразува чрез формулите

,

,

,

Примери за индивидуални решения

Оценява интеграли

21. 22. 23. ,

24. 25. 26. ,

27. 28. 29. ,

експоненциална функция

Ние изчисляваме интеграли на формата където функция рационален аргумент , В този клас, препоръчваме подмяна на след това ,

Пример.

Примери за индивидуални решения

30. 31. 32. ,

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| Интегриране на рационални функции

; Дата: 01.07.2014; ; Прегледи: 2084; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.24
Page генерирана за: 0.066 сек.