КАТЕГОРИИ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) П Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военно дело (14632) Висока технологиите (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къщи- (47672) журналистика и SMI- (912) Izobretatelstvo- (14524) на външните >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) История- (13644) Компютри- (11121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) култура (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23,702) Matematika- (16,968) инженерно (1700) медицина-(12,668) Management- (24,684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образование-(11,852) защита truda- (3308) Pedagogika- (5571) п Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) oligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97182) от промишлеността (8706) Psihologiya- (18,388) Religiya- (3217) с комуникацията (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) спортно-(42,831) Изграждане, (4793) Torgovlya- (5050) превозът (2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596 ) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Telephones- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно (12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Законите за машина аритметични на commutativity (комутативен) и Distributivity (разпределение) не винаги се спазват

Препоръки за намаляване на грешки при закръгляването:

1. В събиране и изваждане номера на последователност от стъпки, за да започнете с най-малките абсолютните стойности.

2. Избягвайте извади две съседни числа, преобразуване изрази.

3. Броят на аритметични операции за решаване на проблема трябва да бъдат сведени до минимум.

4. За да се намали изчисляването грешки закръгляне трябва да се извършват с висока битова дълбочина (doubleprecisionv Pascal).

При избора на числен метод за решаване на проблема, имайте предвид следното:

1. Точност на метода трябва да е с един порядък по-малко от фатални грешки. Увеличаването на грешката намалява точността на метода, намаляването - увеличава времето за решаване на проблема.

2. грешката от закръгляване трябва да бъде много по-малък (два порядъка) метод грешка и непоправима грешка.

Следните техники могат да бъдат използвани за оценка на грешката от решението на практика:

1. решаване на проблема на различните числени методи и сравнение на резултатите.

2. Леко променят първоначалните данни и повторно решаване на проблема. Резултатите се сравняват. Ако те се различават значително, проблемът или по метода на решение са нестабилни - изберете друг.


тема 3

Численото решаване на алгебрични и трансцедентални уравнения.

Решаването на уравнения - това е един от най-старите математически проблеми. Дори и в древна Гърция са били в състояние да реши линеен и квадратичен алгебрични уравнения. В епохата на Възраждането (XV век) Dzhirolamo Kardano и неговия ученик Luidzhi Ferrari получите точни решения за алгебрични полиноми от степен 3 и 4. По-късно, много усилия са изразходвани за да се получи точното решение на полиноми от степен 5 и по-висока. Но само през 20-те години на ХIХ век е доказано, че решаването на алгебрични полином на п-та степен

а п х п + N-1 х п-1 + ... + 0 = 0, където 0 на п ¹ на

Когато п ³ 5 не може да бъде изразена по отношение на коефициентите използвайки аритметични операции и операции за добив корен.

Известно е, че алгебрични полином на п-та степен е п корени, освен това, те могат да бъдат реално или комплекс (Гаус теорема).

Решение на трансцеденталните уравнения в явна форма може да бъде получена и в редки, най-простите случаи. Трансцендентална уравнения, свързани с алгебрични, тригонометрични, експоненциална функция на неизвестно х, са склонни да имат неопределен брой корени. Необходимостта за решаване на уравненията трансцедентни възникне, например, при изчисляване на стабилността на системи, пара-течност изчисления равновесие или подобни

А доста често срещана задача е само да се намери някои или всички решения на системата на п нелинейни алгебрични уравнения или трансцедентални в н неизвестни.



Ние първо разглежда методите за решаване на нелинейни уравнения с едно неизвестно.

непрекъсната функция е (х) Да предположим, че са дадени и е необходимо да се намери корените на уравнението

е (х) = 0 (3,1)

върху цялата реална ос или на интервал ,

всяка стойност задоволяващ Тя се нарича корена на уравнението (6.1), както и метода за намиране на тази стойност и разтвор на (3.1).

Методи за решаване на уравненията:

· Direct (Място формула за квадратно уравнение и кубичен за Cardano и други)

· Повтарящ - да реши всеки уравнение

Числовата решението на уравнението се състои от два етапа:

Етап 1. Клон корени.

Етап 2. Усъвършенстване на интерес корени с предварително определена точност ε.

3.1. Разделяне на нелинейни уравнения корени.

Клон корени - определянето на наличието, броят и намирането на всеки един от тях достатъчно малък интервал [а, б], към която принадлежи.

Първият етап се определя от броя на корените им вид. Решен интервал, в които са открити или определени приблизителни стойности на корените тези корени.

В инженерни изчисления, обикновено е необходимо да се определи само реални корени. Проблемът, решен чрез отделяне реални корени на графични и аналитични методи.

Аналитични методи, основани на функционален анализ.

За алгебрични полином на п-та степен (полином) с реални коефициенти на формата

P п (х) = а п х п + на n- 1 х п-1 + ... + 1 х + 0 = 0, (а п> 0) (3.2)

горната граница на положителни реални корени Тя се определя от формулата Lagrange (Maclaurin):

(3.3)

където: к ³ 1 - първото число на отрицателните коефициентите на полинома;

Б - максималният отрицателен коефициент по модул.

Долната граница на положителни реални корени може да се определи от спомагателната уравнение

(3.4)

Ако това уравнение е формула Lagrange горната граница е R 1, тогава

= (3.5)

Тогава всички положителни корените на полином лежи в интервала

≤x + ,

Интервал отрицателни реални корени на полинома се определя с помощта на следните допълнителни функции.

и ,

≤x - = = ,

Да разгледаме разделяне например корени, използвайки този аналитичен метод.

метод на Лагранж за определяне на границите на положителните и отрицателните корени на полинома.

8 3x - 5x 7 - 6x 3x - 9 = 0

к = 1, В = | - 9 | а п = 3

= 4

8 + х 7 + 6x 5 + 5x - 3 = 0


к = 8, В = 3, а п = 9

Следователно граница положителни корени 0,5 ≤ х + ≤ 4

3x 8 7 + 5x + 6x 3 х + - 9 = 0

=

8 - х 7 - 6x 5 - 5x - 3 = 0

к = 1, В = 6 с п = 9


Следователно, границите отрицателни корени -2 ≤ х - ≤ -0,6

формула на Лагранж ни позволява да се оцени обхвата, в който корените са реални, положителни или отрицателни. Ето защо, за да се определи местоположението на всеки корен е необходимо извършването на допълнителни изследвания.

Трансцендентни уравнения за не общ метод на интервал оценка, в която се намират корените. За тези уравнения са прогнозни стойности на функцията на единичните точки: на празнина, екстремум, интонацията и другата.

На практика е по-честа графичен метод за приблизителната оценка на реалните корени. За тези цели, се нанася върху изчислените стойности на неговите функции.

Графично, корените могат да бъдат разделени в 2 начина:

1. Парцел функция у = F (х), и определяне на координатите на пресичане с оста abstsiss- е приблизителните стойности на корените на уравнението.

Графика 3 корен. първият корен х * Аз, [а, Ь]
BX 2 * х 3 *
х
х 1 *
а
Y = е (х)
ш

Фиг. 3.1 Office на корените на F на графика (х).

Y = е (х)


2. Превръщане е (х) = 0 до форма J (х) = у (х), където J (х) и у (х) - елементарни функции за определяне на абсцисата на пресечната точка на графики на тези функции.

Графика 2 корен. Първият корен х 1 * Аз [а, Ь]


Фиг. 3.2 Office на корените на графиката на функцията й (х) и у (х).

Графичен метод за решаване на нелинейни уравнения се използва широко в инженерни изчисления, които не изискват висока точност.

Компютърът може да се използва за разделяне на реални корени. алгоритъм разделяне Roots се основава на факта, че знака на функцията се променя в района на корена. В действителност, ако коренът е реален, а след това на графиката на функцията пресича оста х и функция знак да се отпише.

Да разгледаме диаграма отделяне нелинейни уравнения корени на предварително определен интервал в областта на функцията.

Алгоритъмът за определяне на приблизителни стойности на реалните корени в интервала [а, Ь]. С въвеждането на незначителни промени в алгоритъма може да се използва за определяне на приблизителната стойност на максимална или минимална корен.

Неизвестна увеличение Δx не трябва да бъде избрана твърде голяма, за да не се "прескача" двата корена.

Недостатък на метода - използването на голямо количество компютърно време.



Фиг. 3.3 схемата на алгоритъма отделяне корени.


3.2. Алгоритми изясни корените на уравнението.

Изясняване на корен - е изчисляването на лихвите корен с дадена точност д.

Приблизителни стойности на корените на уравнението, получен в предишния етап, се определят от различни итеративни методи.

Помислете за някои от тях.

3.2.1. метод дихотомия (разполовяване, разполовяване).

Задача:

Предвид нелинейно уравнение | (х) = 0.

Root отделя, т.е. Известно е, че х * Аз [а, Ь] .

Вие искате да се изчисли в основата на дадена точност ε.

Методът за прилагане на стратегията за постепенно намаляване на сегмента за съществуването на корена, като се използва факта, че промяната в знак на функцията в околностите на корена.

Метод алгоритъм.

1. Изчислява се координира средата [а, Ь] х = (А + В) / 2 и стойността на | (х) в тази точка.

2. Намаляване на участък, хвърляне на половина на това, което не разполага с корен.

Ако знакът на функцията в началото на сегмента, а в средата е един и същ, а след това коренът е през втората половина, през първата половина могат да бъдат премахнати чрез преместване на началото на сегмента в средата на него:

ако | (а) · | (х )> 0 => х * Аз [х, б] => а = х, в противен случай х * Аз [а, X] => б = х

3. Проверка състояние изчисляване завършване: дължина на сегмент е по-малко от предварително определена точност и функция стойност е близка до 0 с предварително определена точност:

ба ≤ ε ∩ | | (х) | ≤ ε.

Ако не се постигне състоянието, изчисляването е завършен, в противен случай се повтаря алгоритъм на първо място.


х

/
/
а

/
/


Фиг. 3.4 Геометрична илюстрация на метода на разполовяване.


б = х



Фиг. 3.5 Driving метод разполовяване алгоритъм (дихотомия)

Броят на повторения н, необходими за постигане на необходимата точност на ε може да се определи предварително от отношението

(3.6)

ditohomii метод - един прост и надежден метод за намиране на прост корен на всяка функция, която е устойчива на грешка закръгляване. Дори ако на сегмента има няколко корени (нечетен брой), а след това един от тях ще бъде намерен.

Недостатъци: степента на конвергенция е ниско, не могат да се обобщят в система от уравнения.

метод дихотомия не може да се използва, за да се усъвършенства не прост корен - корен съвпада с точка екстремум на функцията, тъй като В този случай, функцията не променя своя знак в близост до корена.

Фиг. 3.6. Предизвикателна корена на уравнението.

Пример 3.1. Необходими за решаване на уравнението х 3 + 2 х = 1

Първо трябва да се отдели на решенията.

Удобно написано като уравнение х 3 = 1-2x и да парцел две елементарни функции | 1 (х) = х 3 и | 2 (х) = 1-2x

Фиг. 3.7 Office на корените на уравнението х 3 = 1-2 х.

Графиката показва, че в основата на един: х * I [0, 1].

Проверете за свободни стаи в сегмента на корен

| (A) = | (0) = 0 + 3 2 · 0 = -1, | (б) = | ( 1) = 1 2 х 3 + 1 = 2

Признаци на различни краища на сегмента, следователно, коренът разделят верни.

Извършване на няколко повторения изясняват корен.

Една итерация. Средната точка х = (0 + 1) / 2 = 0,5

Стойността на функция в средата на | (х) = | (0,5) = 0,53 + 2 = 0,125 · 0,5-1> 0

промени Сигнум за първата половина на сегмента, следователно, в основата на първата половина, така изпуска втората половина, преместване на края на сегмента в средата: х * Аз [0, 0,5]

2 итерация. Средната точка х = (0 + 0,5) / 2 = 0,25

Стойността на функция в средата

| (X) = | (0,25) = 0.253 + 2 х 0.25-1 = 0,0115625-0,5 = -0.484375

Функцията не променя знака си през първата половина на отсечката, така че изхвърлете: х * Аз [0,25; 0,5]

Изчисленията трябва да бъдат продължени, за да се постигне необходимата точност. Например, ако ε = 0001, че ще отнеме най-малко 10 повторения:

3.2.2. Метод прости повторения (последователно метод приближение).

Методът провежда стратегия на постепенното усъвършенстване стойност на корен.

Изявление на проблема. Предвид нелинейно уравнение (3.1). Root отделя х * Аз [а, Ь] . Необходимо е да се уточни корена в рамките на ε.

Уравнение (3.1) се превръща в еквивалентен формата х = φ (х), (3.7)

че винаги може да се направи и нещо повече, в много отношения.

Ние избираме първоначалната сближаване на х 0 I [а; б].

Ние изчисляваме новия подход:

х 1 = φ (х 0)

х 2 = φ (х 1)

......... ..

= Х I φ (х I -1 ), J = 1,2, ... , където I - броят на повторение. (3.8)

Последователно изчисление с формула (3.8) х стойности се нарича повтарящ се процес прост метод повторения, и формулата - формула итеративен процес метод.

ако , Итеративния процес клони.

състояние конвергенция (3.9)

Точното решение х * Не може да се получи, тъй като изисква безкрайно повтарящ се процес.

Възможно е да се получи приблизителна решение, прекъсване на повторение (3.8), когато условията

(3.10)

където ε - даден точност; I - последният номер итерация.

В повечето случаи състоянието на повтарящ се процес прекратяване (3.10) осигурява близост стойност х аз да точното решение:

Разглеждане на геометрична илюстрация на метода на прости повторения.

Уравнение (3.7) могат да бъдат представени графично във формата на две функции: Y = X 1 и Y 2 = φ (X).

Възможни случаи на взаимното разположение на графиките на функции и, съответно, образува един повтарящ се процес, показан на фиг. 3.7-3.10.

Фиг. 3.7 итеративен процес за производството на 0 < <1 XI [а, Ь].


Фиг. 3.8 итеративен процес за производството на -1 < <1 XI [а, Ь].


Фиг. 3.9 един повтарящ се процес за случая > 1 XI [а, Ь].


Фиг. 3.10 итеративен процес за случая £ - 1 XI [а, Ь].

От анализа на графиките това следва, че при увеличаване на скоростта конвергенция с намаляване на стойностите

Методът е достатъчно проста, за да се обобщи, със система от уравнения е устойчив на грешка при закръгляването (тя не се натрупва).

При разработването на алгоритъм за решаване на нелинейни уравнения с прости повторения трябва да се осигури защита срещу колоездене повтарящ се процес: използване като допълнително условие за процеса на повторение е пълна голяма от предварително определена максимален брой повторения.


Фигура 3.11. Алгоритъм за решаване на нелинеен метод уравнения
прости повторения:

Основният проблем на метода е да се гарантира сближаването на процеса на повторение: необходимостта да се намери еквивалент трансформация (3.1) (3.7), за да гарантира сближаването на (3.9).

Най-простият еквивалентни трансформации, например:

е (х) = 0 => х + е (х) = х, т.е. φ (х) = х + е (х)

или изразяват ясно х (3.1)

е (х) = 0 => х - φ (х) = 0 => х = φ (х)

не гарантират сближаване.

Ние считаме, че на следния метод за производство на формула конвергентна повтарящ се процес.

нека ,

Ако не, пренапише (3.1) под формата

Умножете двете страни с и за двете страни, за да добавите х:

L постоянно изчислява по формулата:

(3.11)

Тази стойност осигурява λ конвергентна итеративен процес с формула

х и х = I 1 - λ е (х) (3.12)

където I = 1,2, ... - брой повторение, х 0 I [а, Ь] - първоначалната сближаване.

Пример 3.2.

Метод прости повторения изясни корен на уравнението х = 1-2 х 3 с точност ε = 0001. Root отделя преди. (Виж пример 3.1), X * Аз [0; 1].

Първо е необходимо да се получи формула конвергентна повтарящ се процес.

От уравнението изразим ясно х:

Ние се провери условията за конвергенция за получаване на формулата:

, ,

за х I (0; 1].

състоянието на сближаване не е спазено, в резултат на формулата няма да позволи да се уточни корен.

Ние използваме метода, описан по-горе за получаването на формула итеративен процес (формула 3.11, 3.12).

, , за всички х Î [0; 1].

Най-високата стойност получава при х = 1, т.е.

следователно ,

Формула конвергентна итеративен процес

Сложно корен с помощта на формулата.

Ние избираме първоначалната сближаване на [0, 1], например, х = 0,5, 0 (средата).

Ние изчисляваме първо приближение

Ние се провери състоянието на процеса на повторение е пълна

Изчислението трябва да бъде продължена.

х 3 = 0.458216

х 4 = 0.455688

х 5 = 0.454488

6 = 0,453917 х - отговор, тъй като

Ние се провери стойността, получена чрез заместване в оригиналния уравнение:

Стойността на е (х) е близо до 0 с точност в близост до епсилон, следователно, коренът актуализиран правилно.


3.2.3 метод на Нютон (допирателна).

Изявление на проблема.

Предвид нелинейно уравнение (3.1) е (х) = 0. Root отделя х * Аз [а, Ь] . Необходимо е да се уточни корена в рамките на ε.

Методът се основава на стратегия за постепенното усъвършенстване на корена. Формула пояснение може да бъде получена от геометрична илюстрация на идеите на метода.


Фиг. 3.12. Геометрична илюстрация на метода на Нютон.

В интервала на съществуване на корен първоначалното сближаване на х 0 е избран. От крива е (х) в точка А на координати (х 0, F (х 0)) А допирателната. На абсцисата X 1 от точката на пресичане на тази допирателна с оста х е нов корен сближаване.

От фигурата следва, че х 1 = х 0 - CB

От ΔABC: CD = , но ,

Ето защо,

По същия начин, можем да запишем итеративен метод формула на Нютон за обработка-тото приближение:

Когато х 0 I [а, Ь]. (3.13)

Край изчисление състояние: (3.14)

където -Correcting увеличение или изменение.

Състоянието на сближаване на процеса на повторение:

(3.15)

Ако интервалът за съществуването на марките кореновите и не се променят първоначалната сближаване, осигуряване на сближаване, е необходимо да изберете от условието

, X 0 I [а, Ь]. (3.16)

т.е. в точката на начално приближение функции на знаци и втория си производно трябва да съвпадат.

Фиг. 3.13. Геометрична избор вектор от първоначалната приближение: графика е (х) е вдлъбната, Тогава х 0 = б, тъй F (б)> 0.

Ако изберете 0 х = а, процеса на повторение ще се сближат бавно или дори се разминават (вж. Tangent за х = 0 а).

Фиг. 3.14. Геометрична избор вектор от първоначалната приближение: графика е (х) е изпъкнала, е '' (х) <0, тогава х 0 = а, като е (а) <0.

метод на Нютон за разлика от по-ранните техники използват свойства на функция под формата на деривати стойности, което значително ускорява процеса на повторение. В същото време, по-голям абсолютната стойност на производното в близост до основата (на стръмен графиката на функция), по-бързо конвергенцията.


Фигура 3.15. Шофиране метод на Нютон алгоритъм:

Предимства на метода: висока скорост на сближаване; генерализира система от уравнения.

Недостатъци: сложна, тъй като Тя изисква изчисляване на производни; силна зависимост на конвергенция от вида на функцията и на избора на начално приближение.

Пример 3.3.

метод на Нютон да зададени корените на уравнение х 3 = 1- 2х с точност ε = 0,001. Root отделя преди (Пример 3.1), х * Аз [0,1 ].

Първо трябва да изберете начално приближение.

е (х) = х 3 + 2 х-1

F '(х) = 3 х 2 + 2

е '' (х) = х 6

Производните имат постоянен отпечатък върху интервала (0,1] Следователно достатъчно е да се използва състоянието (3.16) за избор на първоначалното приближение.

Знакът на второ производно на положителен сегмент, като по този начин

х = 0 б = 1, като F (б) = F (1) = 1 · 3 + 2 2 1-1 => 0

Ние се изчисли броят на приближения:

х = 1

х = 2

х 3 = 0,453467 = 0,464935-0,011468

х 3 = 0,453398 = 0,453463-0,0000695

Разтворът се получава 4 повторения, тъй като корекцията е по-малко от определения точността: 0,0000695 <ε.


тема 4

Решаване на системи линейни уравнения.

(4.1)

При един система линейни уравнения (SLE) с п неизвестни:

В матрица образуват системата (4.1) има формата:

(4.2)

където: п - от порядъка на системата;

- матрица от коефициенти;

- вектор, на свободни условия; - вектор от неизвестното;

В завита SLE запис е:

(4.3)

Системата се нарича условно (не се изроди, а не специален), ако детерминантата на системата DA ¹ 0, а след това на системата (4.1) има уникално решение.

Системата не се нарича поради (дегенерат, особено) ако DA = 0, и след това системата (4.1) няма разтвор или има безкраен брой решения.

На практика, коефициентите на ий и б членове и наличност често са посочени приблизително, с фатална грешка. Ето защо, независимо от съществуването и уникалността на разтвори на SLE, важно е да се знае, ефектът от тази грешка на получения разтвор.

Системата се нарича в лошо физическо състояние, ако фатална грешка има силно влияние върху решението; такива системи детерминанта е близо, но не е равна на 0.

Вземем примера на болен с климатик система.

Дана система

решение ;

Нека б 2 има фатална грешка %.

Ако b2 = 1,01 г.

Ако b2 = 0,99 г.

Разтворът се различава значително, следователно, системата е болен инсталация, както е показано от стойността на неговото детерминанта.

Разглеждане на геометрична илюстрация на условия SLU като например система от две уравнения с две неизвестни:

с 11 х 1 + 12 х 2 = б едно уравнение (I)

21 х 1 + 22 х 2 = б 2 уравнение (II)


Фиг. 4.1. Геометрична илюстрация условия SLE.

Всяка уравнение в равнината (X 1, X 2) съответства на една права линия, и точката на пресичане на тези линии е разтворът на тази система. Ако Аа = 0, наклонът насочване на същото, и те са или паралелно (т.е., не разтвор), или еднакви (има един безкраен набор от разтвори). Ако Аа ¹ 0, линиите имат уникална точка на пресичане.

Но ако системата е в лошо физическо състояние (ΔA≈0), дори и малка промяна в един от коефициентите ще доведе до силна промяна на системни решения, като линии са почти успоредни.

За решаването на SLE широко използвани преки и итерационни методи. Обхват на някои от тях са показани в таблицата.

тип наименование на метода Броят на аритметични операции (когато п = 20) област primeneneniya
директен формула Cramer ~ ( ) п <5
Gaussian елиминиране ~ (5733) п <200
повтарящ се просто повторение ~ N² при всяка итерация (400N) 10 5
Гаус-Зайдел

Съвременните суперкомпютри има капацитет от 30 терафлопа - 30 10 12 операции с плаваща запетая в секунда. Такава машина за SLE решения за п = 20 се изисква Cramer формула:

година.

По решение SLE пряк метод е силно повлияна от грешката от закръгляване, защото Това изисква огромно количество аритметични операции.

От решението на SLE грешка итеративен метод закръгляване на практика не е засегната, но не винаги е възможно да се гарантира сближаването на процеса на повторение.

4.1. формула на Креймър.

х I * = DA и / DA , I = 1, п, 1 (4.4)

където А и - спомагателен матрица, получена от А чрез заместване на I-тата колона вектор на постоянни условия.

Пример 4.1. Решаване на SLE се използва формулата на Cramer.

х 1 + 5 х х 2 - х 3 = 2

01 февруари х х х 3 = -1

2 х х 1 - X 2 - 3 х х 3 = 5

Ние изчисляваме детерминантите на върховенството на триъгълници:

DA = = 0 + 1 + 20 + 0 + 15 + 2 = 38 - системата се причинява.

DA 1 = = 0 + 50 - 0 - 1 4 + - 15 = 38

DA 2 = = 3 + 8 - 5 - 2 + 6-10 = 0

DA 3 = = 0 - 10, - 2 - 0, -25 - 1 = -38

Изчисляваме решението:

х 1 * = DA 1 / DA = 38/38 = 1;

2 х 2 х = DA / DA = 0/38 = 0;

3 х 3 х = DA / DA = -38 / 38 = -1.

Проверени чрез заместване на получения разтвор до първоначалната система.

1 х 5 + 0 - (-1) = 2

1 + 2 х (-1) = -1

2 х 1 - 0 - 3 х (-1) = 5

Системата става за самоличност, правилното решение.

формула Крамър се използва рядко, само n≤4.

4.2. Gaussian елиминиране.

Ние реши преди обсъдени система (Пример 4.1) с Gaussian елиминиране.

Пример 3.2. Решението се извършва на два етапа.

1 етап права движение - матрица се превръща в триъгълна форма: от еквивалентни линейна трансформация уравнения subdiagonal коефициенти на матрицата А са установени на нула.

х 1 + 5 х х 2 - х 3 = 2

01 февруари х х х 3 = -1

2 х х 1 - X 2 - 3 х х 3 = 5

X1 изключат от втория и третия уравнението на второто уравнение добави първо се умножава от (-1); на трето уравнение първия добавят умножена по (-2).

х 1 + 5 х х 2 - х 3 = 2

- 5 х х 2 х х 3 + 3 = -3

- 11 х х 2 - х 3 = 1

Изключване х 2 на третото уравнение в уравнение трети добави втората умножена по (-11/5). Получената изгледа на системата след удара напред

х 1 + 5 х х 2 - х 3 = 2

- 5 х х 2 х х 3 + 3 = -3

- 38/5 х х 3 = 38/5

Фаза 2 задни - изчислените стойности на неизвестните, започващи с последната уравнение:

х 3 * = -1

-5 х х 2 х х 3 + 3 * = -3 Þ х 2 * = (3 + 3 х х 3 *) = (3 + 3 х (-1)) = 0

х 1 + 5 х х 2 * - х 3 * Þ х = 2 * 1 = 2 х 5 + 2 * х + 3 * х + 2 = 5 х 0 + (-1) = 1

Полученият разтвор трябва да проверите, като се замести оригиналната система!

Словесно описание на метода на отстраняване на Гаус. Диаграма показано на фигури 4,1-4,6.

Forward стартирате алгоритъм:

Етап 1. Вземете к = 1

Стъпка 2. Изберете операционната линия.

Ако кк ≠ 0, к- тия линия - да работи.

Ако не, промяна на к-тия ред на m-ти (n≥m> к), в която МК ≠ 0, , Ако този ред не е изродена система, решението да се спре.

Етап 3. За редове I = к + 1, к + 2, ..., п нови стойности за коефициентите се изчисляват.

, , и нови правила на

Етап 4. Повишаване к = к + 1. Ако к = N, предния ход е завършена, в противен случай алгоритъмът се повтаря от втория етап.

Получават горната триъгълна матрица А:

,

обратната алгоритъм:

Стъпка 1. Изчисли

Стъпка 2. Ние изчисляваме:

,


Фиг. 4.1. Основният алгоритъм за решаване на SLE от Gaussian елиминиране.

За да се контролира точността на решението трябва да се разглежда като остатъчна делта I съгласно формула (4.5).

δ и , (4.5)

Ако несъответствията са големи, проблемът е решен неправилно. Причината може да бъде катастрофата (много рядко), грешка в програмата, закръгляването грешка (за голяма н а когато DA = тр = 0- система е в лошо физическо състояние).

Сортове метод елиминиране:

а) Gaussian елиминиране с подвижна колона.

В алгоритъма на преден ход в етап 2 е избран от условията на функционирането линия

,

т.е. Подбраните тази линия, която е най-голямата в абсолютна стойност на к-ти фактор колона, разположена на главния диагонал и под него.

б) метод на Гаус-Jordan.

напред инсулт Алгоритъмът за следните промени трябва да бъдат направени:

- Етап 3

- Етап край инсулт 4 напред, когато условията к> п.

Вижте коефициент матрица след удара напред

Опростен обратна: х I = б I / A I, I, I = 1,2, ..., N

Недостатък на метода - увеличаване на общия брой на действие, и съответно, влиянието на грешки закръгляване.



Фиг. 3. Алгоритъм за съхранение на коефициентите.

Фиг. 4.2. Алгоритъм напред инсулт



Фиг. 4.6. Алгоритъмът за изчисляване на остатъците

Фиг. 4.5. обратната алгоритъм.

Трябва да се подчертае, че за да се изчисли стойността на детерминантата на квадратна матрица да използвате напред алгоритъм инсулт: за триъгълна или диагонална квадратна матрица детерминанта е равна на произведението на елементите на главния диагонал.


4.3. Начин на прости повторения.

Помислете особено със СЛЕ решения от прости повторения например.

Пример 4.3. Задължително да се намери решение на системата с точност ε = 0001.

х 1 + 5 х х 2 - х 3 = 2

01 февруари х х х 3 = -1

2 х х 1 - X 2 - 3 х х 3 = 5

Намаляване на системата към нова канонична форма на метода на прости повторения. За да направите това, вие трябва да я превърне в оригиналната система, така че във всеки ред на матрицата A нов фактор е разположен на главния диагонал, по-висока от абсолютната стойност на сумата от абсолютните стойности на другите фактори в този период.

Когато отговаря на следните изисквания трябва да се спазват еквивалентни системи линейни трансформации: всеки уравнение на оригиналната система трябва да участват в поне една реализация.

В първото уравнение на коефициента на оригиналната система на х 2 е по-голяма от сумата на други коефициенти модули: 5> 1 + 1. Поради това уравнение в новата система трябва да бъдат написани от второто уравнение. За новия първото уравнение може да бъде умножена по второто уравнение 2 и сгънат на трето уравнение. можете да удържи второто от третото уравнение за получаване на ново трето уравнение.

В резултат на трансформациите, описани за получаване на следната система:

Важно е да се отбележи, че тези промени не променят решението на системата.

Ние изразяваме ясно от всяко ново уравнение друг неизвестен - получите формулата на процеса на повторение.

Вземете който и да е първоначално приближение , Например ,

Изчисляваме новите сближаване решения Чрез заместване на дясната страна на първоначалното приближение:

Оценява точност напредък δ съгласно формулата:

Повтарящ се процес трябва да продължи, тъй като δ> ε.

Ние изчисляваме втората сближаване Чрез заместване на дясната страна на първо приближение:

Третият подход:

Четвъртият подход:

Очевидно е, че един повтарящ се процес, за да се сближат, защото стойността на δ намалява монотонно. За да се постигне необходимата точност ε = 0001 ще отнеме няколко повторения.

Скоростта на конвергенция зависи от стойностите на коефициентите диагонални доминантното ниво.

Основният дизайн в зависимост от метода на прости повторения:

Формула итеративен процес:

, (4.6)

където: к = 1, 2, ... - за сближаване.

- първоначално приближение, ;

прекратяване състояние на процеса на повторение:

г £ д (4.7)

където Е - изискваната точност;

г - оценка на точността постига, (4.8)

или (4.9)

Състоянието на сближаване на процеса на повторение (състояние преобладаване на диагонални коефициенти):

(4.10)

метод Управление на алгоритъма е показано на фиг. 4.7.

Ако резултатите, получени стойности на δ> д и к> к макс, тогава проблемът не е решен, т.е. х (1: п) не е система разтвор. Трябва да се провери условията на конвергенция или да се увеличи к макс.

4.4 Метод на Гаус-Зайдел

Във формулата итеративния процес на метода на прости повторения (4.6) от х изчисление време и (к) стойности на х 1 (к) са изчислени, х 2 (к), ..., X и -1 (к).

Ясно е, че тези стойности са в повечето случаи по-близо до решение и могат да бъдат използвани за изчисляване на х и (к). Следователно, предложен Гаус и Зайдел итерация процес преоформен формула

(4.11)

Условия завършване на процеса на повторение (4.7) и състоянието на конвергенция (4.10) е валидна за този метод. Ето защо, на графиката Гаус-Зайдел се различава само с изчисляването на нов подход:

Този метод обикновено се постига необходимата точност епсилон по-малко повторения, т.е. Тя е с по-добро сближаване.

Предимства на итеративни методи:

1. грешка при закръгляването не се натрупва от итерация към итерация.

2. Броят на повторения п> 100 обикновено е по-малко от п, така че общият брой на операциите е по-малко от п 3, т.е. по-малко от Gaussian елиминиране.

Изисква 3. Не повече памет.

4. Итеративен методи са особено полезни за системи с голям брой от нула коефициенти (системи изпуснати повторение). Методите на изключване Напротив, колкото повече нули, толкова повече трябва да изберете нова операционна линия.

Недостатъкът - не можете винаги да осигурява сходството на процеса на повторение. С нарастване на размерността на системата по-трудно да се извърши линейни трансформации, за да се гарантира сближаване.



Фиг. 4.7. Диаграма на метода на прости повторения


тема 5

Решение на системи нелинейни уравнения (SNU).

В симулацията, проблемът с намирането на решения на алгебрични уравнения и трансцедентални е често срещано изчислителни задачи. Например, за решаване на такива системи намаляват изчисления на фаза и химично равновесие многокомпонентни смеси изчисления статични режими много технологични процеси и други.

Пишем н нелинейни уравнения в н неизвестни (SNU) в общ вид:

е 11 х 2, ..., х п) = 0

е 21 х 2, ..., х п) = 0 (5.1)

...

е N (X 1, X 2, ..., х п) = 0

Тази система може да се запише в компактен, под формата на оператора:

F (X) = 0 (5,2)

където

вектор на неизвестен
вектор функция

Решение на системата представлява набор от ценности , (Вектор X *), в която всички функции F и равно на 0 (системата (5,1) става идентичност).

SNU може да има уникално решение, много решения или не го притежават. Затова SNU числено решаване се извършва на два етапа:

Етап 1 - браншови решения.

Стъпка 2 - Актуализация на всички, или само най-необходимите решения.

5.1. Браншови решения.

Отделни решения - тогава зададете броя на решенията за определяне на приблизителната стойност на всеки един от тях, или да посочат региона, в който съществува решение и е уникален.

Задачата на вземане на отдел просто реши само със система от две уравнения с две неизвестни.

е 11 х 2) = 0

е 21 х 2) = 0

За тази цел в координатите (х 1 х 2) за конструиране криви

е 11 х 2) = 0, F 21 х 2) = 0.

Точките на пресичане на тези криви са разтвори. Тъй като координатите на пресечните точки са определени приблизително, препоръчително е да се говори за областта на съществуване на разтвора D. Тази област се определя от интервали от всеки координира, в които желаните стойности са неизвестни.


Фиг. 5.1. Графични универсални SNU решения.

За системи с голям брой неизвестни (п ³ 3) да отговарят на определени области, където няма решения на общи методи. Ето защо, в справянето с SNU тази област обикновено се определя при анализа на проблема, например, въз основа на физическия смисъл на непознатото.

Осъществяване отдел ви позволява да:

1. Определяне на броя на решенията и региона съществуване на всеки един от тях.

2. За да се анализира възможността за прилагане на избрания SNU решения във всяка област метод.

3. Избор на сближаване решение X (0) на региона за неговото съществуване, с X (0) самоличност.

При липса на информация за региона на съществуване на решения SNU избор на първоначална приближение на X (0), проведено от пробата и грешката (метода на "копие").

Пример 5.1. Отделни системни решения

х 2 + Y 2 = 1

LN (х) + 2у = -1

Пишем в стандартна форма (5.1).

ПОЛЕ функционални дефиниции

Очевидно е, че решението може да бъде само в общата площ на тези функции.

съществуват решения, тъй като D 0 ≠ АД.

За отделни решения трябва да парцел функции в една обща домейн.

График на първата функция - единица кръг центриран в основата.

За парцел втората функция е необходимо да се изчисли стойността в няколко точки общ домейн D 0:

- когато х = 1 0 (много малко положително число) х 2 + = ¥.

- когато х = 1 (1 / е) ≈ 0,33 ,

- когато х = 1 1

- Когато X 1 = 0.5

Има две решения.

В района на съществуване на първото решение ,

второто решение

,

Точността на отделяне на разтвори зависи от точността на диаграми.

5.2. Методи изясни SNU решения.

Изясняване интересуват от решения за необходимата точност ε, произведени от итерационни методи.

Основни методи на рафиниране SNU разтвори, получени чрез обобщаване на итеративни процеси, използвани в разтвора на нелинейно уравнение.

5.2.1. Начин на прости повторения.

Както в случая на едно уравнение, методът на прост повторение е да се замени първоначалната система от уравнения (5.1) е еквивалентна на системата

X = Φ (X) (5,3)

и конструиране итеративен последователност

X (к) = Φ (X (к-1)), където к = 1,2,3, ... - брой на повторение (5.4)

че като к → ∞ клони към точното решение.

Тук - повтори вектор функция, X (0) D - първоначален

сближаване на разтвора.

В разширена форма, формулата на итеративния процес (израз за изчисляване на следващия к-тия сближаване на разтвора) е както следва:

х аз. (К) = φ и 1 (к-1), 2 х (к-1), ..., х п (к - 1)), , (5.5)

изчисление Край състояние

δ≤ε (5.6)

където ε - даден точност на разтвора;

δ = (5.7)

или

δ = (5.8)

Итеративния процес (5.5) клони към точното решение, ако се наблюдават разтвора в близост до условията за конвергенция:

(5.9)

или

(5.10)

Следователно, за да се изясни необходимостта от намиране на еквивалентно трансформация разтвори SNU метод на прости повторения (5.1) до (5.3), за съществуването на решения в областта на условия (5.9) или (5.10).

<== предишната лекция | Следващата лекция ==>
| Законите за машина аритметични на commutativity (комутативен) и Distributivity (разпределение) не винаги се спазват

; Дата на добавяне: 07.01.2014; ; Прегледи: 80; Нарушаването на авторски права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикува материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Edu Doc (2013 - 2017) на година. Не е авторът на материала, и предоставя на студентите възможност за безплатно обучение и употреба! Най-новото допълнение , Ал IP: 66.249.93.206
Page генерирана за: 0.171 сек.