Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Абелева група в алгебра

Определение. Абелева група наречена финитно генерирана, ако такава където ,

Упражнение. Докаже, че не е генерирано окончателно.

Определение. Абелева група се нарича свободен, ако има основа, т.е. такъв набор от елементи че ,

Теорема. Абелева група безплатно, ако и само ако ,
Доказателство.
, нека - основа тогава, ако след това , , Вземете картографирането според правилото , следователно е изоморфизъм ,
, нека , Покажете основата в : след това ,

Определение. Рангът на свободна абелева група е равен на броя на векторите в базата.

Теорема. Рангът на свободна абелева група е еднозначно определен.
Доказателство.
                Ще докажем тази теорема по малко необичаен, но красив начин.
                нека имаме основа разгледайте група , нека - хомоморфизъм. ако след това , По този начин еднозначно дефинирани от стойностите на основните елементи: , Следователно, всички различни хомоморфизми ще бъдат , Нека вляза има основа за след това ,

Теорема. нека - свободна абелова ранг група и - подгрупа в , след това - свободна абелова ранг група ,
Забележка. В подобна теорема за линейните пространства от съвпадение на размерите. подгрупата съвпадна със самата група, но тук не е така. Пример: група и подгрупа имат ранг ,
Доказателство. (по индукция)
, имаме това и изявлението на теоремата е изпълнено, тъй като всяка безкрайна подгрупа е изоморфна , т.е. свободен абелов ранг ,
Нека за теоремата е доказана. Нека го докажем , нека - основание в , Обмислете много - първо линейна обвивка основни елементи (е свободна абелева група с база , Помислете за картографирането такова, че ако след това , след това - това е епиморфизъм и , е подгрупа от ,
ако след това и (по хипотезата за индукция) - свободна абелова ранг група ,
ако след това , - свободна подгрупа в. \ t с база , (по индукционната хипотеза) - свободна подгрупа в. \ t , елемента такава , Покажете това - основание в , ,
нека след това , след това следователно , Т.е. и , Доказали сме съществуването на представяне, остава да докажем неговата уникалност, за което е достатъчно да докажем това от това следва, че всички , Ние имаме и от нашето равенство остава , Следователно, тъй като - основание в и всички други фактори са нула.





Вижте също:

Алгебрата с умножение се нарича алгебра на Ли

Линейно пространство

Група G

Ляв съседен клас | Дясно съседен клас

Алгебра на Вейл

Връщане към съдържанието: Алгебра

2019 @ ailback.ru