Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Диференциални уравнения

Диференциални уравнения - клон на математиката, който изучава теорията и методите за решаване на уравнения, съдържащи желаната функция и нейните производни на различни порядъци на един аргумент (обикновен диференциал) или няколко аргумента (частични диференциални уравнения). Диференциални уравнения са широко използвани в практиката, по-специално за описване на преходни процеси.

Теорията на диференциалните уравнения е клон на математиката, който изучава диференциални уравнения и свързани с тях проблеми. Техните резултати се прилагат в много естествени науки, особено широко - във физиката.

Казано по-просто, диференциално уравнение е уравнение, в което неизвестна величина е функция, като същевременно не само неизвестната функция, но и нейните различни производни, участват в самото уравнение. Диференциалното уравнение описва връзката между неизвестната функция и нейните производни. Такива връзки се търсят в различни области на знанието: в механиката, физиката, химията, биологията, икономиката и др.

Има обикновени диференциални уравнения и частични диференциални уравнения. По-сложни са интегро-диференциалните уравнения.

Първо, диференциалните уравнения са възникнали от проблемите на механиката, в които участват координатите на телата, техните скорости и ускорения, разглеждани като функции на времето.

Диференциално уравнение се нарича интегрируемо в квадратури, ако проблемът за намиране на всички връзки на връзки може да се сведе до изчисляване на краен брой интеграли с известни функции и прости алгебрични операции.

История на

Леонард Ойлер

Джоузеф-Луи Лагранж

Пиер-Саймън Лаплас

Джоузеф Лиувил

Анри Пуанкаре

Диференциални уравнения, изобретен от Нютон (1642-1727). Нютон счита това за негово изобретение за толкова важно, че го криптира като анаграма, чието значение в съвременните термини може свободно да бъде предадено по следния начин: “законите на природата се изразяват с диференциални уравнения”.

Основното аналитично постижение на Нютон е разширяването на всички възможни функции в силови серии (смисълът на втората, дългата анаграма на Нютон е, че за да се реши някое уравнение е необходимо да се замени число в уравнението и да се уравнят членовете на една и съща степен). От особена важност тук беше откритата от него биномна формула на Нютон (разбира се, не само с интегрални показатели, за които Уайт (1540-1603) познава формулата, но също така и най-важното - с частични и отрицателни индикатори). Нютон излага всички основни елементарни функции в „серията Тейлър“. Това, заедно с примитивната таблица, която той е съставил (който е влязъл в почти непроменен вид в съвременните учебници за анализ), му позволява, по думите му, да сравнява областите на всякакви цифри „след половин четвърт час“.

Нютон посочи, че коефициентите на неговата серия са пропорционални на последователните производни на функцията, но не се спираха на това подробно, тъй като с право смяташе, че всички изчисления в анализа са по-удобни да се извършат не чрез множество диференциации, а чрез изчисляване на първите членове на серията. За Нютон връзката между коефициентите на сериите и дериватите е по-скоро средство за изчисляване на дериватите, отколкото като средство за създаване на серия. Едно от най-важните постижения на Нютон е неговата теория за слънчевата система, описана в "Математическите принципи на естествената философия" ("Principia") без помощта на математическия анализ. Обикновено се смята, че Нютон е открил закона за универсалното възприятие чрез своя анализ. Всъщност, Нютон (1680) притежава само доказателството за елиптичността на орбитите в областта на привличането според закона на обратния квадратен: самият закон е посочен от Нютон Хук (1635-1703) и може би е бил предположен от няколко други учени.

От огромния брой произведения от XVIII век върху диференциалните уравнения са произведенията на Ойлер (1707-1783) и Лагранж (1736-1813). В тези разработки първо се развива теорията на малките колебания, а оттук и теорията на линейните системи на диференциалните уравнения; По този начин възникват основните понятия на линейната алгебра (собствени стойности и вектори в n-мерния случай). Характерното уравнение на линеен оператор отдавна се нарича светско, тъй като от това уравнение се определят светските (възрастови, т.е. бавни в сравнение с годишните движения) смущения на планетарните орбити съгласно теорията на малките лагранжеви колебания. Следвайки Нютон, Лаплас и Лагранж, а по-късно и Гаус (1777-1855), също разработват методи за теория на смущенията.

Когато се докаже неразрешимостта на алгебричните уравнения в радикалите, Джоузеф Лиувил (1809–1882) конструира подобна теория за диференциалните уравнения, установявайки невъзможността за решаване на редица уравнения (по-специално класически уравнения като уравнения от втори ред) в елементарни функции и квадратури. По-късно Sophus Lie (1842-1899), анализирайки въпроса за интегриране на уравнения в квадратури, стигна до необходимостта да се изследват в детайли групите диференциали (по-късно назовани по групи Ли) - така теорията на диференциалните уравнения е довела до една от най-плодотворните области на съвременната математика. тя е тясно свързана с други въпроси (алгебрата на Либерау е разгледана по-рано от Симеон-Дени Поасон (1781-1840) и особено от Карл Густав Джейкъб Якоби (1804-1851)).

Нов етап в развитието на теорията на диференциалните уравнения започва с работата на Анри Пуанкаре (1854-1912), създадената от него "качествена теория на диференциалните уравнения", заедно с теорията на функциите на сложните променливи, довежда до основата на съвременната топология. Качествената теория на диференциалните уравнения, или както сега често се нарича теория на динамичните системи, сега се развива най-активно и има най-важните приложения на теорията на диференциалните уравнения в естествената наука.

Обикновени диференциални уравнения

, где x = x ( t ) - неизвестная функция (возможно, вектор-функция ; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t , штрих означает дифференцирование по t . Обикновените диференциални уравнения са уравнения от вида F ( t , x , x ', x ', ..., x ( n )) = 0 , където x = x ( t ) е неизвестна функция (вероятно, векторна функция; в този случай те често говорят за система от диференциални уравнения), в зависимост от времевата променлива t , основното диференциране на средната стойност спрямо t . называется порядком дифференциального уравнения. Числото n се нарича ред на диференциалното уравнение.

Решението (или решението) на диференциалното уравнение е функция, диференцирана n пъти и удовлетворява уравнението във всички точки на нейната област на дефиниция. Обикновено има цялото разнообразие от такива функции и за да се избере един от резултатите, трябва да му бъдат наложени допълнителни условия: например, да се изисква решенията да имат определена стойност в определен момент.

Основните задачи и резултати от теорията на диференциалните уравнения: съществуването и уникалността на решаването на различни задачи за ОДУ, методите за отделяне на прости ОДУ, качествено изследване на решения на ОДУ без намиране на тяхната изрична форма.

Частични диференциални уравнения

Частични диференциални уравнения са уравнения, съдържащи неизвестни функции на няколко променливи и техните частични производни.

Общата форма на тези уравнения може да бъде представена като:

,

където - независими променливи, и. \ t - функцията на тези променливи.

Нелинейни диференциални уравнения

Нелинейни диференциални уравнения - клон на математиката, който изучава теорията и методите за решаване на нелинейни уравнения, съдържащи желаната функция и нейните производни на различни порядъци на един аргумент (обикновени нелинейни диференциали) или няколко аргумента (нелинейни диференциални уравнения в частни производни). Диференциални уравнения са широко използвани в практиката, по-специално за описване на преходни процеси.

Теорията на нелинейните диференциални уравнения е клон на математиката, който изучава диференциални уравнения и свързани с тях проблеми. Техните резултати се прилагат в много природни науки: механика, физика, термоеластичност, оптика.

Нелинейното диференциално уравнение е уравнение, в което неизвестно количество е функция. Не само неизвестната функция е включена в самото диференциално уравнение, но и неговите различни производни в нелинейна форма. Нелинейното диференциално уравнение описва връзката между неизвестна функция и нейните производни. Такива връзки се търсят в различни области на знанието: в механиката, физиката, химията, биологията, икономиката и др.

Различават обикновени нелинейни диференциални уравнения и нелинейни частични диференциални уравнения.

Нелинейните диференциални уравнения произтичат от проблемите на нелинейната механика, в които участват координатите на телата, техните скорости и ускорения, разглеждани като функции на времето.

примери

  • Вторият закон на Нютон може да бъде написан под формата на диференциално уравнение
,

- масса тела, x - его координата, F ( x , t ) - сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t . където m е масата на тялото, x е неговата координата, F ( x , t ) е силата, действаща върху тялото с x в момента t . Неговото решение е траекторията на тялото под действието на посочената сила.

  • Колебанията на струната се дават от уравнението
,

- отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t , параметр a задает свойства струны. където u = u ( x , t ) е отклонението на низа в точката с x координатата в момент t , параметърът a задава свойствата на низ.





Вижте също:

Теория на категорията

Основа на матрицата. Матрица на ранга

Булева функция

Решаване на произволни системи от линейни уравнения

Гаус решение | Система за уравнение на Гаус

Връщане към съдържанието: Висша математика

2019 @ ailback.ru