Edu Doc

КАТЕГОРИЯ:


Отношенията на равностойност и ред




Лекция 22. Връзката на еквивалентност и цел на снимачната площадка

План:

1. отношението на еквивалентност. Съобщение връзка еквивалентност с разделянето на класове.

2. Съотношението на поръчката. строга и не-строг отношението на поръчката, линейна връзка на поръчката. Наредени множества.

3. Основни констатации

Помислете за стаята на фракции X = {1/2, 1/3, 1/4 , 2/4, 2/6, 3/6} отношение на равенството. Това съотношение:

- Възвратен, защото всеки удар е равна на себе си;

- Симетрични, от факта, че част M / N е равно на фракция P / Q, следва, че фракция P / Q е част M / N;

- Transitively от факта, че част M / N е равно на фракция P / Q и фракция P / Q е част R / S, следва, че отношението M / п е равно на R / S фракции.

За отношението на фракции на равенството се каже, че това е една връзка равностойност.

Определение. А връзка R на набор X се нарича връзка еквивалентност, ако едновременно има свойствата на рефлексивност, симетрия и преходност.

Примери за еквивалентност отношения може да служи като връзка на половете геометрични форми, съотношението на успоредни линии (при условие, че съвпадение на линиите се считат за паралелно).

Защо математика идентифицира този вид отношения? Помислете за отношението на равенство на фракции, определена на набор X = {1/2, 1/3, 1/4 , 2/4, 2/6, 3/6} ( Fig.106). Ние виждаме, че комплектът е разделена на три подгрупи: {1/2, 2/4, 3/6} {1/3, 2/6}, {1/4}. Тези подгрупи са несвързани, и техният съюз е равна на зададената X, което е, Ние имаме дял на X в класове. Това не е случайно.

По принцип, ако зададената X е дадена връзка еквивалентност, а след това тя генерира дял от този набор в несвързани подгрупи (класове равностойност).

Така че, ние открихме, че относителното равенство в множеството от фракции {1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6} съответства на дял от този набор в равностойност класове, всеки от които се състои от равен всеки други фракции.

Обратното също е вярно: ако една връзка, определена на набор X, създава дял от този набор в класове, това е една връзка равностойност.

Например да разгледаме множеството X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} съотношение "имат същото останалата част, като разделена на 3". Той генерира дял на X класове: един ще получи всички числа, когато е разделен от 3 се получава остатък 0 (това е цифрата 3, 6, 9), а във втория - броят, когато е разделен от 3 в остатъка, получен 1 (този брой 1, 4, 7, 10), а третият - всички номера, когато е разделен от 3, в който полученият остатък 2 (това е числото 2, 5, 8). В действителност, в резултат на подгрупи са несвързани и техният съюз е набор X. Следователно, съотношението "имат същото останалата част, като разделена на 3", определена на набор X, е връзка равностойност. Имайте предвид, че твърдението за отношението на еквивалентност отношения и прегради от класове трябва да се докаже. Ние го пропусне. Ние ще кажа само, че ако отношението на еквивалентност има име, то е дадено съответното име и клас. Например, ако от множество сегменти се определя от отношението на половете (и това е връзка равностойност), множеството от сегменти е разделена на равни части от класове (виж. Фиг. 99). Съотношение на сходство съответства на дял от триъгълници в класове на подобни триъгълници.



Така че, който има връзка равностойност на набор, можем да разделим този набор в класове. Но можете да направите, и обратно: първата почивка на снимачната площадка на класове, и след това се определи отношението равностойност, като се има предвид, че двата елемента са еквивалентни, ако и само ако те принадлежат към класа на дяла.

Принципът на разделяне на снимачната площадка в класове с помощта на някои за еквивалентност отношения е важен принцип на математиката. Защо?

На първо място, еквивалент - това означава еквивалент, взаимозаменяеми. Следователно, елементите на клас са взаимозаменяеми еквивалентност. По този начин, фракции, се намират в един и същи клас равностойност {1/2, 2/4, 3/6} са неразличими от гледна точка на отношенията на равенство, а малка част 3/6 може да бъде заменен с друг, като 1/2. И тази промяна няма да се промени в резултат на изчислението.

На второ място, защото класа на еквивалентност са елементите неразличими от гледна точка на връзката на това се счита, че класът на еквивалентност определена по някой от неговия представител, т.е. произволен елемент от този клас. По този начин, всеки клас може да се настрои на равни части, като посочват фракция, принадлежащи към този клас. Определяне на класа на еквивалентност на един представител вместо да позволи на всички елементи на целевата популация на отделни представители на класовете за еквивалентност. Например, отношението на еквивалентност "имат същия брой на върховете", определени на снимачната площадка на полигони създава дял от този набор в класа на триъгълници, правоъгълници, петоъгълници и т.н. Имотите, присъщи на определен клас, считан за един от нейния представител.

Трето, разделението на снимачната площадка в класове с помощта на равностойността, отношенията се използва за въвеждане на нови концепции. Например, терминът "лъч линии" може да се дефинира като общото които са успоредни една на друга директно.

По принцип всяка концепция, която работи един човек е някаква равностойност клас. "Таблица", "къща", "книга" - всички тези понятия са общи идеи за различни конкретни обекти, които имат една и съща функция.

Друг важен тип връзка е връзката на поръчката.

Определение. А връзка R на набор X се нарича връзка ред, ако тя има свойствата на двете antisymmetric и преходен.

Примери за цел отношения са: връзката "по-малко от" върху множеството на естествените числа; нагласа "късо" на снимачната площадка на сегментите, тъй като те са анти-симетричен, и преходен.

Ако поръчката на съотношението на имот има повече свързаност, се казва, че това е отношение на линеен ред.

Например, връзката "по-малко от" на набор от естествени числа е съотношението на линеен ред, тъй като има свойствата на antisymmetry, преходност и свързаност.

Определение. Набор X се казва, да бъде осъден, ако го е дал връзка ред.

По този начин, набор N на естествените числа могат да бъдат организирани, ако го постави на релацията "по-малко от".

Ако отношението на ред, определен от набор X, има свойството свързаност, ние казваме, че това е линейно нарежда набор X.

Например, множеството на естествените числа могат да бъдат организирани с помощта на връзката "по-малко, отколкото", и се използва следната зависимост "размножават" - и двете от които са за взаимоотношения. Но отношението на "по-малко", за разлика от отношението "размножават", има също собственост на свързаност. Следователно, съотношението на "малките" поръчки набор от естествени числа е линейна.

Не бива да мислим, че всички връзки са разделени на равностойността, отношения и ред отношения. Има огромен брой връзки, които не са нито ред за еквивалентност отношения или отношения.