КАТЕГОРИИ:


Декартово произведение на комплекта




Концепцията за разделяне на множеството класове с помощта на един, два, три свойства

Концепциите за комплекти и определени операции ни дадат възможност да се усъвършенства нашето разбиране за класирането - текущото разпределение на обектите в класове.

Класификация правим доста често. Така например, естествени числа представляват два класа - дори и странни. Ъглите в равнината се разделят на три категории: преки, остри и тъпи.

Всяка класификация е свързана с разделянето на набор от обекти в подгрупи. Предполага се, че зададената X е разделен на класове H₁, H₂, ..., Xn, ..., ако:

1) подгрупа от H₁, H₂, ..., Xn, ... са разместени;

2) комбиниране подгрупи H₁, H₂, ..., Xn, ... е набор H.

Ако не се задоволи най-малко едно от условията, класирането се счита за неправилно. Например, ако X от множество равнобедрен триъгълник разпределят подгрупи, гъвкави и равностранен триъгълник, преградата се получи, като подмножество на равнобедрен и равностранен триъгълник пресичат (всички равностранни триъгълници са равнобедрен). В този случай, първото условие не е изпълнено на дяла от класовете.

Тъй като разделянето на класа е свързана с разпределението на подгрупи, класификацията може да се извърши с помощта на свойствата на елементите на декорите.

Да вземем например множеството на естествените числа. Елементите му имат различни свойства. Да,. че ние се интересуваме от броя на имота ", за да бъде кратно на 3". Тази функция ви позволява да изберете от набор от естествени числа подмножество, състоящи се от цифрите, които са кратни на 3. След това, за други естествени числа можем да кажем, че те не са кратни на 3, което означава, Получаваме друг подмножество на множеството на естествените числа. От избраните подгрупи са разединени и техният съюз е множеството на естествените числа, а след това ние имаме дял от този набор в два класа.

NN

По принцип, ако зададената X е даден един имот, а след това този комплект е разделен на две класи. Първо - клас от обекти с този имот, а вторият - допълнение на първия випуск на набор X. Във втория клас включва множество такива обекти X, които не притежават даден имот. Тази класификация се нарича дихотомна.

Помислете за ситуацията, когато са изложени на елементите на двата имота. Например, "да е кратна на 3" и "да е кратна на 5." Чрез използването на тези свойства на множеството на естествените числа могат да се разграничат две подгрупи: А - подмножество на кратни на 3 и Б - подмножество на кратни на 5. Тези комплекти са разединени, но никой от тях не е подмножество на друг. Нека да анализираме полученото изображение (вдясно). Разбира се, разделянето на множеството на естествените числа в две подгрупи А и Б не се случи. Но кръга, показва много N, може да се разглежда като съставена от четири не-припокриващи се области - те са номерирани на фигурата. Всеки регион представлява подгрупа от Н. подгрупа I се състои от кратни на 3 и 5; подгрупа II - от кратни на 3 или 5 пъти; подгрупа III - от кратни на 5 и не кратни на 3; подгрупа IY - от номера не кратни на 3 или кратни на 5. Комбинацията от тези четири подгрупи е набор N.



По този начин, изборът на два имота доведе до разделяне на снимачната площадка на природен числа N на четири класа.

Не бива да мислим, че работата на двете свойства на поставените елементи винаги да доведе до разделянето на този набор на четири класа. Например, когато се използват две такива свойства "е кратно на 3" и "да е кратна на 6" набор от естествени числа е разделена на три класа: I - клас кратни на 6; II - клас кратни на 3; но не множествена 6; III - на техния клас, не кратни на 3.

Използването на две цифри, например, 3 и 5, може да записва четиризначни номера: 35, 53, 33 и 55. Въпреки че цифрите 35 и 53 се записват със същите номера, тези номера са различни. В случаите, когато по реда на важните елементи в областта на математиката се говори за подреден набор от елементи. В този пример, ние се занимава с наредени двойки.

Подреден двойка, образувана от елементи А и В, обикновено написани на скоби: (а, Ь). Елемент нарича първа координатна (компонент) на двойката, и елемент б - второ координира (компонент) на двойката.

Двойка (а, б) и (в, г) са равни и само в случая, където А = С и б = г.

Подредената двойка (а, б) може да бъде такава, че А = В. Така, за въвеждане на номера 33 и 55 може да се разглежда като подредени двойки (3, 3) и (5, 5).

Наредените двойки могат да бъдат образувани като множество от елементи от една или две групи. Например, нека А = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Формиране на наредена двойка, така че първият компонент принадлежи на набор А, а вторият компонент - да Б. Ако се изброят всички двойки, можете да получите много:

{(1, 3), (1, 5) (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)}.

Виждаме, че има два комплекта А. и Б, ние сме получили нов набор, чиито елементи са подредени по двойки числа. Този комплект се нарича декартови продукта от А и Б.

Определение. Декартово произведение на множества А и В е съвкупност от всички двойки от първия компонент, който принадлежи към определен А, а вторият компонент принадлежи на набор W.

Декартово произведение на множества А и В представляват брадва V. С помощта на тази бройна система е писано:

А х В = {х; у) / х ∈ А и Б} u∈.

Нека да разберете какви свойства експлоатацията на намирането на декартово произведение. Тъй като декартово произведение А х В х А и Б се състои от различни елементи, операцията на намиране на декартово произведение на комплекта има не комутативен.

Спор по същия начин, можем да докажем, че не се извършва и собственост на асоциативност за тази операция. Но това е по отношение на разпределителни съюз и изваждане на комплекта, т.е. за всяко комплекти A, B и C имат равенства:

(A∪V) х G = (А х В) ∪ (х C)

(А / В) х G = (А х В) / (В х С).

За да докаже тези свойства, ние не ще, но можете да ги провери с конкретни примери.

Нека сега да видим как е възможно да се визуализира декартово произведение на комплекта.

Ако серии А и В са крайни и съдържа малък брой елементи, може да бъде представен с помощта на графика или маса. Например, декартово произведение на комплекта

A = {1, 2, 3} и В = {3, 5} може да бъде представена както е показано на фигурата.

А Б

В декартовата продукта от два комплекта от цифров (ограничен и безкрайност) може да бъде представена на координатна равнина като всяка двойка номера може да бъде еднозначно показва точка на тази равнина. Например, декартово произведение на посочените по-горе набори на координатната равнина ще изглежда така:

1 2 3

Имайте предвид, че елементи на А ние сме показали по оста х, и елементите на серия Б - по оста у.

Такъв метод за визуализиране декартовата продукт е полезно в случай, когато поне един от тях е безкраен.

В математиката и други науки, се счита не само подредени двойки, но също така нареди набори от три, четири и т.н. елементи. Например, рекорден брой 367 - подреден набор от три елемента, както и писането на думата "математика" - подреден набор от 10 елемента.

Наредени множества често се наричат ​​кортежи и варират по дължина. дължина кортеж - броя на елементите, от които тя се състои. Например, (3, 6, 7) - комплект, с дължина 3 (т, А, Т, F, М, А, Т, и к, а) - комплект, с дължина 10.

Помислете по математика и декартово произведение на три, четири и дори н комплекти.

Определение. Декартово произведение на комплекта A₁, A₂, ..., А п е съвкупност от всички п-кортежи, първият компонент на която принадлежи към множеството от A₁, а вторият - на снимачната площадка на A₂, ..., н-и - А н комплекта.

Декартово произведение на комплекта A₁, A₂, ..., An са определени, както следва:

A₁ A₂ × × ... × A н.