Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Проследяване на графики




Нека G 1 (X, E 1) и G 2 (X, E 2) - две графики с един и същ набор от върховете X. Състав G 1 (G 2) графики G 1 и G 2 е графика с връх набор E, в който има дъга I, х й), ако и само ако съществува дъга I, х к), принадлежащ към комплекта E 1, и дъгата к, х й), принадлежащ към набор Е 2.

Разглеждане на действието на състава G 1 (G 2) на графиката е показано на фигура 4.3. За преглед на действието на една маса в първата колона, в който са изброени по ръбовете I, х к), принадлежат към графиката G 1, а вторият - на ръбовете к, х й), принадлежат към графиката G 3, а третият - на нетната ръб I, X й) за графика G 1 (G 2).

G 1 G 2 G 1 (G 2)
(X 1, X 2) 2 х 1) (X 2, X 3) 1 х 1) (X 1, X 3)
(X 1, X 3) 3, х 3) (X 1, X 3)
2 х 1) 1 х 1) (X 1, X 3) 2 х 1) (X 2, X 3)

Имайте предвид, че дъгата (X 1, X 3) на получения графиката показва два пъти в таблицата. Въпреки това, тъй графиките считат без паралелни ръбове (дъги), получената набор от графика крива Е 1 х 3) се отчита само веднъж, т.е. Е = {(X 1, X 1), (X 1, X 3),2 х 1),2 х 3)}

Фиг. 4.3 показва графики G 1 и G 2 и G 1 състав (G 2). Същата фигура показва графика G 2 (G 1). Препоръчително е да се изгради своя собствена графика G 2 (G 1) и се уверете, че графиките G 1 (G 2) и G 2 (G 1) не са изоморфни.

Да предположим, че A 1 и A 2 - съответно на върховете на графика близост матрица G 1 (X, E 1) и G (X, E 2),. Разглеждане на матрицата 12 елементи на у което се изчислява, както следва:

п

а ц = UA 1 IK UA 2 KJ (4.1)

к = 1

Когато 1ik и 2kj - елементите на близостта на върха на първата и втората графиките, съответно. Елемент на ий е равно на 1, ако в резултат на графиката G 1 (G 2) съществува дъга, излъчвана от връх х аз и определяне х й, и нула - в противен случай.

Пример 4.3. Стартирай операция състав за графики, показани на фиг. 4.3.

Ние образуват върховете на матрицата на съседство на графика:

1 х х 2 3 х 1 х х 2 3 х
1 х 1 х
А 1 = х 2 А 2 = х 2
3 х 3 х

Изчисляване на елементите на матрицата според (4.1), получаваме:

1 х х 2 3 х 1 х х 2 3 х
1 х 1 х
А 12 = х 2 21 = х 2
3 х 3 х



Лесно е да се провери, че получените матрица близост върховете съответстват на графиките G 1 (G 2) и G 2 (G 1), показани на фиг. 4.3.

The декартово произведение на графики. Нека G 1 (X, E 1) и G 2 (Y, E 2) - двете графики. Декартово произведение G 1 (X, E 1) "G 2 (Y, E 2) графики G 1 (X, E 1) и G 2 (X, E 2) се нарича графиката с множеството от върховете x'y в която дъгата ( ръб) става от върха аз ш й) в к у л), ако и само ако съществува дъга аз х к), принадлежащ към набор е 1 дъги и J = L или когато има дъга й, у л), принадлежащ към набор E 2 и I = к.

Операцията на декартови графики на продукта, за да разгледаме примера, показан на фиг. 4.4. Z Комплектът на върха на получената крива се определя като декартово произведение на множества x'y. Много Z съдържа следните елементи: Z 1 = (X 1, Y 1), Z 2 = (х 1 Y 2), Z 3 = (X 1, Y 3), Z 4 = (х 2 Y 1), Z 5 = ( X 2 Y 2), Z = 6 (3 х Y 2).

Ние дефинираме набор от дъги на получената графиката. За да направите това изберете група на Z върхове, компоненти, които са едни и същи. В този пример, тези пет групи: две групи с съвпадение на множество компоненти, X, и три групи компоненти с припокриване Y. Разглеждане на групата на получените графиката възли, които имат общ елемент на х 1: Z 1 = (X 1, Y 1) Z 2 = (X 1, Y 1) Z 3 = (X 1, Y 3). Според дефиницията на операцията на декартово произведение на графики, множеството от дъги между върховете дефинирани връзки между върховете определени Y. Така дъгата (Y 1, Y 1) в G2 на графика открива дъга (Z 1, Z 1) в резултат графиката. За удобство, помисли за всички дъги на получената графика до една маса в първата колона, в който са изброени на върха с съвпадение компоненти във втория - на дъгата между несъответстващи компоненти, и в третия и четвъртия - дъгата в резултат графиката.

Брой п.п. Групи Върхове с съвпадение на компоненти Арки за несъответстващи компонент Дъг (х аз ш й) ® ( х к у л) Arc (Z A, Z б)
Z 1 = (1 X, Y 1), Z = 2 (х 1 Y 2), Z 3 = (х 3 Y 1) (Y 1, Y 1) (Y 1, Y 2) (Y 2, Y 3) (Y 3, Y 1) 1, Y 1) ® (х 1, Y 1) (X 1, Y 1) ® (х 1 Y 2) 1 Y 2) ® (х 1, Y 3) (X 1, Y 3) ® (х 1 Y 1) (Z 1, Z 1) (Z 1, Z 2) (Z 2, Z 3) (Z 3, Z 1)
4, Z = (2 х Y 1), Z = 5 (2 х Y 2), Z = 62 Y 3) (Y 1, Y 1) (Y 1, Y 2) (Y 2, Y 3) (Y 3, Y 1) 2 г. 1) ® (х 2 г. 1)2 г. 1) ® (х 2 г. 2)2 г. 2) ® (х 2 г. 3)2 г. 3) ® (х 2 г. 1) (Z 4, Z 4) (Z 4, Z 5) (Z 5, Z 6) (Z 6, Z 4)
Z 1 = (1 X, Y 1), Z = 4 (2 х Y 1) (X 1, X 2) 2 х 1) (1 х, у 1) ® (2 х Y 1) (2 х Y 1) ® (1 X, Y 1) (Z 1, Z 4) (Z 4, Z 1)
Z 2 = (х 1 Y 2), Z = 5 (2 х Y 2) (X 1, X 2) 2 х 1) 1, Y 2) ® (2 х Y 2) (1 х Y 2) ® (1 X, Y 2) (Z 2, Z 5) (Z 5, Z 2)
Z 3 = (3 х, у 1), Z = 62 Y 3) (X 1, X 2) 2 х 1) 1, Y 3) ® (х 2 Y 3) (3 х, Y 2) ® (1 X, Y 3) (Z 3, Z 6) (Z 6, Z 3)

Графика G 1 "G 2 е показана на Фиг. 4.4.

Операция на декартово произведение има следните свойства.

1. G 1 = G 2'G'G 2 1

1 2. G "(G 2'G 3) = (G 1'G 2)" G 3.

Експлоатация на декартовата продукт на графиките може да се извърши под формата на матрица.

Нека G 1 (X, E 1) и G 2 (Y, E 2) - на две графики като п х и п у съответно върхове. Получената графиката G 1'G 2 е н х х п у върхове, и съседството матрични върхове - квадратна матрица с размери (п х х н ш) " (п х х н Y). Означават а б = A (и) (KL) елемент близост матрични пикове, показващи наличието на дъга (край), свързващи връх Z А = (X и Y J ) в Z б = (х к у л). Според определението на операцията, този елемент може да се изчисли с помощта на матрица близост на върховете на оригиналния графиката, както следва:

а а б = а (и) (KL) = K IK × а 2, JL Ú K JL × 1, ИК, (4.2)

където 1, IK, 2, JL - елементите на близостта на върховете на графика G 1 и G2, съответно;

K ИК - Kronecker символ равно на 1, ако аз = к, и нула, ако i¹k.

Пример 4.4. Стартирай експлоатацията на декартово произведение графика е показано на фиг. 4.4.

Ние се образува матрица близостта на върха на оригиналния графиката.

1 х х 2 Y 1 Y 2 Y 3
1 х Y 1
А 1 = х 2 А 2 = Y 2
Y 3

За да се конструира матрицата на съседство на получения графиката ние използваме (4.2). В тази връзка, на първия мандат на K Ик × 2, JL, показва наличието на дъги за върховете, които имат едни и същи компоненти на множеството X. За да се илюстрира по-горе, разгледа спомагателни матрица Axy, в който елементите за които К IK = 1, маркирани с X. Тези елементи да стойности, равни на стойностите на съответните елементи на матрица 2 близост на върховете на G 2, както е показано на матрицата *.

х 1 у 1 х 1 у 2 х 1 у 3 х 2 г. 1 х 2 г. 2 Ч Ш 3 2
х 1 у 1 XÚY X X Y 0 0
х 1 у 2 X XÚY X 0 Y 0
Axy = X 1 у 3 X X XÚY 0 0 Y
X 2 г. 1 Y 0 0 XÚY X X
X 2 г. 2 0 Y 0 X XÚY X
X 2 г. 3 0 0 Y X X XÚY
х 1 у 1 х 1 у 2 х 1 у 3 х 2 г. 1 х 2 г. 2 Ч Ш 3 2
х 1 у 1 на 1,11 Ú на 2,11 на 2,12 на 2,13 на 1,12
х 1 у 2 на 2,21 на 1,11 UA 2,22 на 2,11 на 1,12
A * = х 1 у 3 на 2,31 A 2,32 на 1,11 UA 2,33 0 0 на 1,12
х 2 г. 1 на 1,21 0 0 на 1,22 UA 2,11 на 2,12 на 2,13
х 2 г. 2 0 на 1,21 0 на 2,21 на 1,22 UA 2,22 на 2,23
Ч Ш 3 2 0 0 на 1,21 на 2,31 на 2,32 на 1,22 Ú на 2,33

Вторият план K JL × 1, коефициент на ИК (4.2) показва наличието на дъгите на върховете на групи, за които същите компоненти на множеството Y. В Axy матрични елементи, за които K JL = 1 с надпис Y символ. Тези елементи вземат стойности, равни на стойностите на съответните елементи на матрица A 1 съседство графиката възли Г на 1, както е показано на матрици A *.

Имайте предвид, че в матриците Axy и A * се намира на главната диагоналните елементи, равни на сумата от стойностите на логическите елементи на матрица близостта на върховете на двете графики. Това се определя от факта, че основните диагонални елементи са разположени така, че К IK = К JL = 1.

Така близост матрицата на върховете на получената графика изглежда както следва:

х 1 у 1 х 1 у 2 х 1 у 3 х 2 г. 1 х 2 г. 2 Ч Ш 3 2
х 1 у 1
х 1 у 2
A = х 1 у 3
х 2 г. 1
х 2 г. 2
Ч Ш 3 2

Лесно се вижда, че полученият близост матрица съответстващи на върховете на графиката G 1'G 2 е показано на фиг. 4.4

Операция работи графики. Нека G 1 (X, E 1) и G 2 (Y, E 2) - двете графики. Продуктът от G 1 х G 2 графики G 1 и G 2 е графика, с набор от върховете x'y и дъгата от връх (X I, Y J) към върха К, Y L), ако и само ако има дъга (х I, х к) Аз E 1 и (ш й, у л) Аз E 2.

Извършване на строителни работи на операцията по графика ще разгледа примера, показан на фиг. 4.5. Z Комплектът на върха на получената крива се определя като декартово произведение на множества x'y. Много Z съдържа следните елементи: Z 1 = (X 1, Y 1), Z 2 = (х 1 Y 2), Z 3 = (X 1, Y 3), Z 4 = (х 2 Y 1), Z 5 = ( X 2 Y 2), Z = 6 (3 х Y 2).

Ние дефинираме набор от дъги на получената графиката. За по-лесно разглеждане, ние създаваме една маса в първата колона, в който са изброени дъгата на G 1, а вторият - дъга от G 2 и третата и четвъртата - дъгата на получената графиката.

G 1 G 2 (1 х, у 1) ® (х 2, Y 1) (Z A, Z б)
(X 1, X 2) (Y 1, Y 1) (Y 1, Y 2) (Y 2, Y 3) (Y 3, Y 2) 1, Y 1) ® (х 2, Y 1) (X 1, Y 1) ® (х 2, Y 2) 1, Y 2) ® (х 2, Y 3) (X 1, Y 3) ® (х 2, Y 2) (Z 1, Z 4) (Z 1, Z 5) (Z 2, Z 6) (Z 3, Z 5)
2 х 1) (Y 1, Y 1) (Y 1, Y 2) (Y 2, Y 3) (Y 3, Y 2) 2, Y 1) ® (х 1, Y 1) 2, Y 1) ® (х 1, Y 2) 2, Y 2) ® (х 1, Y 3) 2, Y 3) ® (1 X, Y 2) (Z 4, Z 1) (Z 4, Z 2) (Z 5, Z 3) (Z 6, Z 2)

Получената крива G 1 х G 2 е показана на Фигура 4.5.

експлоатацията на продукта има следните свойства.

1. G 1 × G 2 = G 2 × G 1.

2. G 1 × (G 2 × G 3) = (G 1 × G 2) × G 3.

Помислете за съответната операция работи графики под формата на матрица.

Нека G 1 (X, E 1) и G 2 (Y, E 2) - на две графики като п х и п у съответно върхове. Получената графиката G 1 × G 2 е н х х п у върхове, и съседството матрични върхове - квадратна матрица с размери (п х х н ш) " (п х х н Y). Означават а б = A (и) (KL) елемент близост матрични пикове, показващи наличието на дъга (край), свързващи връх Z А = (X и Y J ) в Z б = (х к у л). Този елемент може да се изчисли с помощта на матрица близост на върховете на оригиналния графиката, както следва:

а а б = а (и) (KL) = а 1, ИК Ù 2, JL, (4.3)

де 1, ИК, а 1, ИК - елементите на близостта на върховете на граф G 1 и G 2, съответно.

Пример 4.5. Стартирай съответната операция работи върху графиките, показани на фиг. 4.5.

Ние се образува матрица близостта на върха на оригиналния графиката.

1 х х 2 Y 1 Y 2 Y 3
1 х Y 1
А 1 = х 2 А 2 = Y 2
Y 3

Ние изграждане на матрица А близостта на върховете на получената графика, където всеки елемент се изчислява отношението (4.3).

х 1 у 1 х 1 у 2 х 1 у 3 х 2 г. 1 х 2 г. 2 Ч Ш 3 2
х 1 у 1 на 1,11 Ù с 2,11 на 1,11 UA 2,12 на 1,11 Ù с 2,13 на 1,12 UA 2,11 на 1,12 Ù с 2,12 на 1,12 Ù с 2,13
х 1 у 2 на 1,11 Ù с 2,21 на 1,11 Ù с 2,22 на 1,11 Ù с 2,23 на 1,12 Ù с 2,21 на 1,12 Ù с 2,22 на 1,12 Ù с 2,23
A = х 1 у 3 на 1,11 Ù с 2,21 на 1,11 Ù с 2,22 на 1,11 Ù с 2,23 на 1,12 Ù с 2,31 на 1,12 Ù с 2,32 на 1,12 Ù с 2,33
х 2 г. 1 на 1,21 Ù с 2,11 на 1,21 Ù с 2,12 на 1,21 Ù с 2,13 на 1,22 Ù с 2,11 на 1,22 Ù с 2,12 на 1,22 Ù с 2,13
х 2 г. 2 на 1,21 Ù с 2,21 на 1,21 Ù с 2,22 на 1,21 Ù с 2,23 на 1,12 Ù с 2,21 на 1,12 Ù с 2,22 A 1,12 Ù с 2,23
Ч Ш 3 2 на 1,21 Ù с 2,31 на 1,21 Ù с 2,32 на 1,21 Ù с 2,33 на 1,22 Ù с 2,31 на 1,12 Ù с 2,32 A 1,12 Ù с 2,33

За по-лесно разглеждане, ние разделяме матрица A от четири квадратни под-матрица. Имайте предвид, че всеки под-матрица може да бъде получена чрез умножаване на логически елементи A 2 в един от матричните елементи на 1, ий на матрицата A 1. С оглед на това, можем да си представим матрицата, както следва:

х 1 у 1 х 1 у 2 х 1 у 3 х 2 г. 1 х 2 г. 2 Ч Ш 3 2
х 1 у 1 на 1,11 UA 2 на 1,12 UA 2
х 1 у 2
A = х 1 у 3
х 2 г. 1 на 1,21 UA 2 на 1,22 UA 2
х 2 г. 2
Ч Ш 3 2

Така близост матрицата на върховете на G 1 х G 2 е:

х 1 у 1 х 1 у 2 х 1 у 3 х 2 г. 1 х 2 г. 2 Ч Ш 3 2
х 1 у 1
х 1 у 2
A = х 1 у 3
х 2 г. 1
х 2 г. 2
Ч Ш 3 2

Лесно се вижда, че полученият близост матрица съответстващи на върховете на графиката G 1 х G 2 е показано на фиг. 4.5.

5. свързан граф. свързан компонент

Rascmotrim ненасочена графика G (X, E, F) . Крайната последователност на ръбове M = 1, д 2 ,. , , , Е к} на графиката се нарича дължина на веригата (път) К, ако има последователност от върховете 0, X 1, ..., X к), че F {д аз} = (X i- 1, X I), където I = 1, 2 ,. , , , К. Tops х 0 и х к се наричат съответно в началото и края на възлите на маршрута, другите върхове се наричат вътрешни. Route дължина м к може да бъде написана под формата на ребра последователност м = {д 1, д 2 ,. , , , Е к}, и връх последователност м а = {х 0, х 1 ,. , , , X к}.

м верига = {E 1, E 2 ,. , , , Е к}, в която всички ръбове са различни, наречен просто. Circuit м = {х 0, х 1 ,. , , , X к}, в който всички върхове са различни, това се нарича елементарно.

Нека m = {д 1, д 2 ,. , , , Е к} - верига на графиката G; за някои последователност от числа I 1, I 2 ,. , , Аз К, (където R ³1, 1 £ аз 1 <I 2 <... <и К) последователност на ръбове (... E i1, д i2 ,, д IR) се нарича да вземете м верига; в същото време тя казва, че веригата на (д i1, д i2 ,. .., д IR) , изолиран от м на верига = {E 1, E 2 ,. , , , Е к}.

Ако веригата М е първоначалната връх, но не свършва, или горната част има ограничен, но не стартира, той се нарича едностранен безкраен. Ако веригата не разполага с първоначалния или крайния връх, той се нарича двустранен безкрайна, затворена верига или цикъл. Веригата се нарича не е тривиален, ако съдържа поне един ръб (ARC); за всеобщност ще се въведе концепцията за нула - верига, съдържаща не ръбове (дъги). Цикълът е прост, ако всичките й ръбове са различни, и елементарно, ако всички върхове през които преминава, различен.

Вериги на м и м | са равни, ако те имат една и съща дължина и се състои от същите перките. В противен случай веригата и M M | се считат за различни.

Пример 5.1. В ненасочена графика G, показано на фиг. 5.1 верига М 1 = {е 1, Е2, Е4, е 8, е 10} дължина 5 може да бъде установен като последователност от ръбове и върхове последователност М 1 = {X 1, X 2, X 3, X 4 х 8 х 6}. В тази схема на връх х 1 е основният и най-горния х 6 - финала. Последователността на ръбове 2, E 4, д 8) - subchain изолиран от верига 1 m. Circuit м 2 = {д 1, е 2, д 4, д 7, д 5, д 4, д 7, д 3 ,. , .} Е едностранен безкраен.

Circuit 3 м = {д 4, д 8, д 10, д 9, д 6, д 7} е проста верига, и м 4 = {д 2, д 4, д 8, д} 10 - единица. Един цикъл е затворен кръг М 5 = {е 2, например 5, е 7, например 8, например 11, е 3}, и последователност на М 6 = {Е2, Е4, е 8, например 11, е 3} образува елементарна цикъл.

Теорема 5.1. Нека G = (X, E) - ненасочена графика, A (G) - съседството матрица на върховете. След елемент в IJ матрица с = A N (G) е равен на броя на различни дължини на веригите N, свързващ върховете X I и X J.

Доказателство. Ако ИК - броят на ръбове, свързващи върховете х I и х К, KJ - броят на ръбове, свързващи върховете х к и х й, продукт на ИК × а кй е броят на различните маршрути с дължина 2 присъединяват върховете х аз и х к и минава през връх х к. след това

,

където р - броят на върховете на графиката G, е броят на всички маршрути с дължина 2 присъединяват върховете х аз и х й. От друга страна, у е част от матрица 2 (G), така че за N = 2, теоремата се доказва.

Ние използваме индуциране на N, и се предполага, че теоремата е вярно за М = N-1. От A N (G) = A ( G) × A n- 1 (G), по-горе аргументи доказват теоремата за м = п. Това доказва теоремата.

Следствие 5.1. В ненасочена графика G дължина маршрут н съществува единствено и само ако A N (G) ¹ 0.

Следствие 5.2. Ако А N (G) = 0 за някои N> 0, в ненасочена графика G все още няма цикли.

Нека G (X, E) - ненасочена графика. Две върховете х аз и х й е свързан, ако е налице маршрут от горната част на м х аз х й към върха. Ако m е маршрутът минава през връх х к повече от веднъж, вие очевидно може да се отстрани циклична част, а останалите ръбове образуват маршрут м °, свързващ х аз и х й. От това следва, че свързани върховете свързани елементарна схема. Графиката е свързан, ако всяка двойка върхове е свързан, т.е. всеки два върха са свързани чрез верига.

Нека Y - произволен връх ненасочена графика G = (X, E). Нека X Y множеството от всички върхове на графиката G, които могат да бъдат свързани към Y вериги (връх Y включва също много X Y). Нека G Y - подграф на G, който е набор от върха на много X Y, и множество ребра да образуват всички ръбове в Е, краищата на които принадлежат към X Y. Изграждат, така подграф G Y се нарича свързан компонент, или свързан компонент на графиката G.

Теорема 5.2. Свързаните компоненти на една ненасочена графика G има следните свойства.

1. G Y ¹ 0 за всеки у, X.

2. Ако G Y ¹ G Z, тогава G у Ç G Z = Æ.

3. ,

Доказателство. Тъй като у, X Y, първата имота е изпълнено. Вторият имот ще докаже противното. Ако G у Ç G Z Æ ¹, тогава X Y Сх Z ¹ Æ. Тогава там е връх х Î X Y Сх Z, който може да бъде свързан към схеми с Y и Z. Това означава, че Y на върха и Z може да бъде свързан чрез верига, така че X = X Y Z. Резултатът е G Y = G Z, което доказва, втората имота.

Третият собственост следва от определението на компонентите на графиката.

Следствие 5.3. Един ненасочена графика е свързан единствено и само ако тя се състои от един свързан компонент.

Условия, еквивалентни на свързаността на графиката са изложени в следната декларация.

Теорема 5.3. Един ненасочена графика G = (X, E) е свързан единствено и само ако на връх набор X не може да бъде разделена на две непразни несвързани подгрупи на X 1 и X 2, които не са свързани с някакъв ръб.

Доказателство. Необходимостта от това състояние е доказано, както следва. Ако X 1 и X 2 - в горната разлагане теорема, всяка верига, свързваща точките X Î X 1 и X 2 у, трябва да съдържа най-малко един ръб свързване на множество от X 1 и X 2. Тъй като няма такива ръбове, върховете на х и у не могат да бъдат свързани чрез верига. Това противоречи на свързаност на графиката G, и следователно е посочено дял не съществува.

Доказателството за адекватността на следното. Да предположим, че G не е свързан, и нека G Y - свързан компонент с набор от върховете X Y. Тогава X ¹ X Y, множеството X 2 = X \ X Y не е празна, X 2, C X Y = Æ. Ясно е, X 2 и X на Y не са свързани с някакъв ръб. Това противоречи на хипотезата, така че G е свързан. Това доказва теоремата.

Следствие 5.4. Един ненасочена графика G е свързан единствено и само ако няма такова номериране на върховете на G, в която неговата матрица е близостта на върха е под формата

където A 1 и A 2 - квадратна матрица.

Теорема 5.4. Нека G - обикновен ненасочена графика с п върхове и к свързани компоненти. След максималния брой ръбове в графика G е равно на

,

Доказателство. А графика G е с максимален брой ръбове, ако всеки свързан компонент G I, I = 1, 2 ,. , , , К е максималния брой ръбове. Свързан компонент на G I, която има максимален брой ръбове е пълен графика. Броят на краищата на пълен граф с върха п I е равно на 0,5 х п I х (п I - 1). По този начин, максималният брой ръбове на G, свързаните компоненти на G I, които са Н и върховете е

Полученият брой зависи от това как се разпределят върховете на G от нейните свързани компоненти. Да предположим, че е свързан компоненти на G 1 и G 2 на графика G, с повече от един връх, т. Е. N 1> 1 и п 2> 1. Нека N 1 N £ 2. Разглеждане на графиката G °, получен от G чрез заместване на компоненти на G 1 и G 2 в пълен граф с (п 1 1) и 2 (п + 1) върхове, съответно. Графиката G ° има п върхове и к свързани компоненти, както и броя на неговите краища е

след това

Следователно р '> р. По този начин, графика G ° има повече ръбове от графиката G. Ако продължите да възстанови графиката по този начин, резултатът е графика, състояща се от К-1 изолирани върхове и напълно свързани компоненти с п - к + 1 върхове. Тази графика е максималния брой ръбове е равно на 0,5 х (п - к) х (п - к + 1). Това доказва теоремата.

Следствие 5.5. Ако обикновен ненасочена графика G с N върха има повече от 0,5 х (п - 1) х (п - 2) ръбове, е свързан.

Доказателство. От теорема 5.3 следва, че 0,5 х (п - 1) х (п - 2) - максималния брой ръбове в редовен графика с N върхове и две свързани компоненти. Ако графиката е по-голяма от 0,5 х (п - 1) х (п - 2) краища, броя на компонентите в тях, или к = 1 или к к ³ ³ 3. Случай 3 противоречи така к = 1 и G е свързан.

А насочен граф G (X, E) се нарича силно свързан, ако за всеки две вертикали х и у, х ¹ Y, има начини за М и М °, достигайки съответно от х до у и от Y при х.

Нека сега разгледаме насочени графики. Нека G (X, E, F) - диграфът. Крайната последователност на ръбове е 1, например 2, ..., например N на графика G се нарича път дължина п, или ориентирани маршрут дължина п, ако има последователност на върховете х 0, X 1, ..., X N, че F (Е I) = ( х аз -1, х I), където I = 1,2, ...,. Пътят се записва под формата на м м = {1 д, д 2, ..., например N}, или под формата на т = {0 X, X 1, ..., хп}. В този случай казваме, че пътят се състои от дъгите д 1, B 2, ..., д н, излизащи от върха на х 0 и х п влиза в горната част. M път е проста, ако всички негови дъги са различни, и елементарно, ако всички негови възли са отделни.

Начини М и М 'са равни, ако те имат една и съща дължина и се състои от една и съща дъга. В противен случай път М и М 'се разглеждат различно.

Следните твърдения се оказаха по същия начин, както това се прави за неориентирани графа в началото на тази секция.

Теорема 5.5. Нека G = (X, E) -orgraf, A (G) - съседството матрица на върховете. След елемент в IJ матрица с = A N (G) е равен на броя на различни пътища с дължина п, връх X I и навлиза в горната част на X J.

Следствие 5.6. диграфът G пътя на дължина п The съществува единствено и само ако A N (G) ¹ 0.

Следствие 5.7. Ако A N (G) = 0 за някои п> 0, диграфа G все още няма цикли.

Диграфът G (X, E) се нарича силно свързан, ако за всеки две вертикали х и у, x¹y, има начини за М и М ', идващи съответно от х до у и от Y при х.

Теорема 5.6. Диграфът G (X, E) е силно свързан единствено и само ако тя има пътека, минаваща през всички върхове.

Доказателство. Нека х и у - два върха на G, и х ¹ у. Чрез хипотеза, съществува път м 1, като се започне от връх х до връх у.

Нека X 1 - комплект от върховете на пътя M 1. Ако X 1 = X, то тогава е достатъчно да се вземат път м ° на, като се започне от х до у и да получите контур 1 м ЕМ °, преминавайки през всички върхове на графа. Ако X 1 ¹ X, тогава X \ X 1 ¹ Æ. Тогава връх Z Аз X \ X 1 изгради път м, като се започне от база до Z, ф получите път м 2 = m 1 Ем. Нека X 2 - комплект от върховете на пътя м 2. Тогава X № 2 X 1, X 2 X 1 É. Ако продължим този процес, а след това след краен брой стъпки ще е да се изгради път, съдържащ всички върхове, и по този начин, съществува желания контур.

Един пример на силно свързан графика е показано на фиг. 5.2.

6. дървета и тяхното PROPERTIES

В този раздел ще разгледа специален вид на графики, които са широко използвани, например, в областта на теорията на електрическите вериги, химия, компютърни науки и информатиката.

Определение 6.1. Едно дърво е свързан граф, който не съдържа цикли. Всеки (включително изключен) графика без цикли се нарича ацикличен. Disconnected графика, всеки свързан компонент на която е дърво, наречено гора. Можем да кажем, че дърветата са компоненти на гората. Фиг. 6.1 показва две от G 1, G 2 и G 3 дървесина.

Фиг. 6.1

Нека да формулира основните свойства на дърветата. Ние правим това, като набор от отчети, които са равностойни помежду си (т.е. от всяко одобрение трябва да бъде всеки друг) [].

Теорема 6.1. Нека G (X, E) - ненасочена графика с р върхове и р ръбове. Тогава следните твърдения са еквивалентни.

1 °. G е дърво.

2 °. Всякакви два различни вертикали х и у на G са свързани само с една проста верига.

3 °. G - свързан графика, този имот се губи, когато изтриете някой от неговите краища.

4 °. G - свързан графика, и р = р + 1.

5 °. G - ациклични графика и р = р + 1.

6 °. G - ацикличен граф, и ако всички два върха х и у Connect ръб д, в резултат на графиката ще бъде точно една проста линия.

Достатъчно е да се докаже следната верига от последици: 1 ° 2 ° Þ Þ Þ 3 ° 4 ° 5 ° Þ Þ Þ 6 ° 1 °, защото това означава, че всеки от твърденията 1 ° - 6 ° се показва повече.

1 ° Th2 °. В графиката е свързан, всеки две върхове могат да бъдат свързани с обикновено верига. Нека m 1 и m 2 - прости две различни верига, свързваща върховете х и у. Ако схема 1 М 2 и М нямат общ върховете изключение вертикали х и у, а след това там е прост цикъл. Да приемем, че веригата 1 m 2 и m имат общ връх различен от х и у. Нека Z - първият от тези пикове се движи от връх до връх X Y и нека М 1 (X, Z) и т 2 (X, Z) - странична верига М 1 и М 2 са взети от връх до връх X Z. след това - Един прост цикъл. Това противоречи на факта, че графиката е ациклична, и следователно M 1 = м 2, т.е. твърдението 2 ° е доказано.

2 ° Th3 °. Ърл G - свързан както и да са две различни вертикали х и у са свързани с обикновено верига. Вземете малко предимство е = (X, Y). Според 2 ° проста верига м = {E} между х и у е уникалните върхове. Ако ръб д се отстранява, на върха на х и у, няма да бъде възможно да се свърже проста верига, и в резултат на графиката е изключен. Одобряване на 3 ° е доказано.

3 ° Þ4 °. От състоянието на 3 ° графика е свързан. съотношение р = р + 1 да докажем чрез индукция. Ако графиката има два върха и отговаря на 3 °, а след това изглежда така:

В този случай, р = 2, р = 1 и съотношението на р = р + 1 е изпълнено. Да предположим сега, че връзката се отнася и за всички графики, които отговарят на 3 ° и имат по-малко от р върхове, и го докаже за графика G с р върхове. Махни от графиката G е произволна ръб д. След нова графика G "ще бъде изключен и ще се състои от две свързани компоненти на G 1 и G 2. По индукция хипотеза имаме

р = 1 Q 1 + 1, п = 2, Q 2 + 1,

където р аз - броят на върховете компоненти G I, р аз - на броя на неговите краища. Следователно,

р = р 1 + P 2, Q = Q 1 + Q 2 + 1,

Следователно р = р 1 + Q 2 + 2 = р + 1, а имотът се оказа 4 °.

4 ° TH5 °. Да предположим, че G графиката, която отговаря 4 °, има прост цикъл на дължина м л ³ 1. Този цикъл съдържа л л върхове и ръбове. За каквито и да било на р - л върхове, които не принадлежат към м-цикъл, има един ръб инцидент с нея, да лежи на късата писта (т.е., минималната дължина на веригата), идващи от даден връх до известна връх м цикъл. Всички тези ръбове са различни. Ако върховете X 1 и X 2 са инцидент на един такъв ръб е, че е = (X 1, X 2), и най-късата верига М 1 в горния 1 х преминава през върха х 2, и най-късата верига м 2 за връх х 2 преминава през връх х 1 (фиг. 6.2). Това противоречи на факта, че веригата на М 1 и М 2 - най-краткия. Q Общият брой на ръбове в графика G в този случай е не по-малко от л + р - л = р, т.е. р ³ р, което противоречи на връзка р = р + 1. Това означава, че G - ацикличен граф, и твърдението 5 ° е доказано.

Фиг. 6.2

5 ° Þ6 °. Тъй като G - ациклична графика, тогава всеки свързан компонент G I (I = 1, 2, ..., К) е дърво. За всеки компонент G аз имам под 5 ° р I = Q аз + 1, където Т.е. р = р + K. От друга страна, р = р + 1, и следователно к = 1, т.е. G е свързан. По този начин, G - дърво. След това (вж. 2 °), и да са две различни вертикали х и у на G са свързани само с една проста верига. Ако добавите ръба между не-съседни върха х и у, след което го прави с тази верига само един прост цикъл. Одобряване на 6 ° е доказано.

6 ° Th1 °. От състоянието на 6 ° G - ациклична графика. Ако G не е свързан, тогава се взема върховете х и у на различните компоненти на графика г, и се присъедини към тях от ръб д. Построен Count Това е подобно на G графиката, ацикличните. Това противоречи на Г, така че G - свързан графика, и имот 1 ° е доказано. По този начин се доказва теорема 6.1.

Определяне подобен дърво, можете да въведете за диграфът.

Определение 6.2. Диграфът G (X, E) се нарича praderevom или ориентирани дърво расте от корена х = 0, при следните условия:

1 °. Един ненасочена графика G ', съответстващ на графиката G, е дърво.

2 °. Само една проста пътека между 0 и X всеки друг възел X графика G 'е път в диграфа G, идващи от върха на горната част на х 0 х.

Фиг. 6.3 показва насочена дърво.

Фиг. 6.3

В ненасочена графика G (X, E) се нарича връх х края или покривката, ако г (х) = 1, т.е. Ако този връх е инцидент с уникален ръб д. Този край се нарича терминал или обесване. С окачена върхове, свързани с следната теорема.

Теорема 6.2. Във всеки дърво G (X, Е) с р ³ 2 върхове има поне две крайни върхове.

Доказателство. Нека Q - броя на ръбовете на G. От Теорема 6.1 р = р + 1. Освен това, от Теорема 1.1 имаме

,

По този начин, ние получаваме

, (6.1)

Да предположим, че х = 0 - само край връх в дървото G. След това г0) = 1, г (х) ³ 2, ако х ¹ х 0. тук

, (6.2)

Неравенството (6.2) е в противоречие (6.1), така че или не са крайни върхове, или са поне две. Ако терминал връх на G не, тогава г (х) ³ 2 за всички х Î X. след това

, (6.3)

Неравенството (6.3) също противоречи (6.1). От това следва, че терминалът G до върховете на две или повече. Това доказва теоремата.

Важен въпрос е колко са там дървета с определен брой върхове. За дървета с белязани върхове (напр номерирани) или етикетирани дървета отговорът на този въпрос се дава със следната теорема.

Теорема 6.3. (Cayley, 1897). Броят на етикетирани дървета с р върховете е р р -2.

Доказателство. Нека G (X, E) - дърво с р етикетирани върхове. За простота, ние предполагаме, че върховете са номерирани в някакви поредни номера 1, 2, ..., стр. Помислете за начина, по който да може еднозначно да се кодират дървото G.

Според Теорема 6.2 G има крайни върхове. Нека х 1 - първият край връх в последователност 1, 2, ..., р, и да е 1 = (1 X, Y 1) - съответстващ на крайния ръб. Махни от върха на дървото и 1 х ръб Е 1. Ние получи нов G 1 дърво с броя на върховете на р - 1. Сега намери първи край връх х 2 на G 1 в последователността на върха 1, 2, ..., ..., стр на множеството {1, 2, ..., стр} \ х {1} предприеме по-нататъшни терминал край д 2 =2, Y 2) и извадете от G 1 х 2 и д 2. Този процес се повтаря последователност. A - 2) стъпка е дърво на два върха х р -1, у р -1 и един ръб д р -1 = (х р -1 , у р -1). Помислете за последователността на върха

S (G) = {Y 1, Y 2, ..., у р -2}.

Очевидно е, че последователността на това дърво е конструиран изрично. Ние сега показват, че последователността на върха S (G) дърво G може да се възстанови ясно. В последователност 1, 2, ..., стр има пикове, които не принадлежат и (G). Изберете първата от тях и изграждане на 1 х ръб д 1 =1, Y 1). След това извадете х от последователността 1 1, 2, ..., N Y и отстраняване на един от S (G). По същия начин, ние изгради ръб Е 2 =2, Y 2). Продължавайки този процес, ние определено ще възстанови дървото G. Помислете за пример.

Сграда код възстановяване
S (G) S (G), както и списък на върховете
(6,5,5,6) 2,3,4,5,6,7
(2,6)

(5,5,6) 3,4,5,6,7
(2,6,5)

(5.6) 4,5,6,7
(2,6,5,5)

(6) 5,6,7
(2,6,5,5,6)

Този пример показва следните признаци:

списъка 1 ° S на (G) може да се повтори върхове.

2 °. Когато възстановяването на последния дърво ръб свързва връх Y р -2 и останалите в списъка 1, 2, ..., р не е равна на горната част на Y р -2 на.

По този начин, съществува едно-към-едно съответствие между множеството от етикетирани дървета с р върхове и връх набор от последователности и (G). Броят на тези последователности е очевидно, стр р -2, както се изисква.

Имайте предвид, че сред п р -2 етикетирани дървета с р върхове могат да бъдат изоморфни.

Определение 6.3. Подграф G 1 (X 1, E 1) ненасочена графика G (X, Е) и се нарича кадър, или обхваща дърво на графиката G, ако G 1 - дърво и X = X 1.

Теорема 6.4. Graph G (X, E), ако и има само рамката, когато той е свързан.

Доказателство. Необходимостта за това е очевидно. Нека докажем достатъчност. Нека G (X, E) - свързан графика. Разберете, ако графиката G е ръб, чиито отстраняване не нарушава свързаността на графиката G. Ако няма ръбове, графиката е дърво, в съответствие с Теорема 1. Ако такова предимство, като електронна, съществува, а след това го хвърли и дойде на графиката G 1 (X, E \ {д} ). След тази процедура трябва да се следва с графика G 1 и т.н. След краен брой стъпки ще бъде построен, очевидно, графика рамка G. Това доказва теоремата.

Доказателството на теоремата дава алгоритъм за изграждане на рамка в свързан граф. Въпреки това, по-свързан графика може да има няколко кадъра, така че е естествено да се постави задачата за избор на рамка, отговаряща на допълнителни условия.

Определение 6.4. Ърл зареден с ребра (натоварен графика) е ненасочена графика G (X, E), всеки ръб д т.е. има номер м (д) ³ 0, наречена теглото или дължината на ръба д.

По същия начин може да се определи претеглена диграфа.

Ние представлява проблемът за намиране на такава рамка G 1 (X, Е 1) в натоварената графиката G (X, Е), за които сумата от

минимално. Рамката с това свойство се нарича минимално скелет. Според Теорема 4, всеки натоварен с свързан граф има минимална скелет. Този проблем възниква при проектирането на комуникационни и захранващи линии, пътища, тръбопроводи и т.н., когато това се изисква, за да се свържете на комуникационните канали, определени компоненти на системата, така че да са две възли са свързани (по възможност чрез други възли), а общата дължина на каналите за комуникация е минимална ; докато възли могат да бъдат считани върха на заредени графиката тегла на ръбове, които съответстват на дължината на възможна връзка между съответните възли. След необходимата мрежа от канали ще бъде минимална рамка на тази графика.





; Дата: 06.01.2014; ; Прегледи: 1412 Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.26
Page генерирана за 0.18 секунди.