Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Висша алгебра математика

Абстракт или по-висока алгебра - областта на математиката, фокусирана върху изучаването на свойствата на аксиоматично вградените алгебрични структури. В съвременната научна литература се нарича просто алгебра . "Абстрактен" атрибут подчертава, че обектите на изследване са абстрактни структури , като групи, пръстени, полета и модули, за разлика от алгебричните изрази, изучавани в елементарната "училищна" алгебра.

Абстрактната алгебра е формирана през втората половина на 19-та и първата четвърт на 20-ти век и за първи път е систематично изложена в монографията "Модерна алгебра" на Ван дер Ваерден (1930). Алгебричната гледна точка оказва изключително голямо влияние върху развитието на много области на математиката през 20-ти век, по-специално на теорията на числата, топологията, алгебричната геометрия и функционалния анализ.

Кратко историческо есе

През втората половина на 19-ти век в алгебричните изследвания се обръща по-голямо внимание на конкретни обекти, които са изучавани чрез методи, специално адаптирани към ситуацията, отколкото към общите понятия. Даваме следните примери:

  • пръстен от остатъци от цели числа (L. Euler)
  • групата на всички пермутации на корените на уравнението на четвъртата степен (J. Lagrange)
  • полиномиални пръстени на една променлива с целочислен коефициент и гауссови числа (К. Гаус).

Но по-късно на преден план излязоха действителните структури на групата, пръстените и т.н. как абстрактную группу, то есть как множество с операциями, удовлетворяет определенной системе аксиом, и доказывать общие теоремы о группах, которые, в частности, касаются конкретной группы G ( Н. Абель, Э. Галуа ). Това ни позволява да разгледаме, например, всяка група от пермутации G < SN като абстрактна група, тоест, като набор с операции, отговаря на определена система от аксиоми и да докаже общи теореми за групи, които по-специално се отнасят до определена група G (N. Abel, . Galois). Това е въвеждането на обща аксиоматична гледна точка на алгебричните обекти, които трябва да се считат за началото на абстрактната алгебра като самостоятелна дисциплина. Впоследствие бяха дадени аксиоматични дефиниции на полето, пръстена, векторно пространство, алгебра на Ли и т.н.

Голям принос за развитието на абстрактната алгебра през 1890-1930. направиха Д. Хилбърт, Е. Артин и Е. Нотер, които използваха аксиоматичния метод за изследване на комутативни пръстени и модули върху тях и получили редица сериозни резултати. Тези изследвания на абстрактната алгебра, с някои предишни изследвания на L. Kronecker, R. Dedekind, първоначално са систематично представени в изключително влиятелната монография "Modern Algebra" ("Moderne Algebra") от Van der Warden, първото издание на което се появява през 1930-31. ,

Започвайки с творбите на Д. Хилберт за теорията на интегралните оператори в началото на 20-ти век. и J. von Neumann от пръстените на операторите през 1930 г., методите на абстрактната алгебра са намерили ползотворно приложение в анализа, а по-късно и в други области на математиката. Нуждите на новата физика, на първо място, квантовата теория, бяха причинени като разпространение на някои алгебрични идеи извън алгебра, например. групи, оператори от некомутативно умножение, т.е. некоммутативни пръстени и по-нататъшното развитие на самата алгебра.

В средата на 20-ти век, произтичащи от идеите за алгебрична топология, алгебричните структури започват да се обсъждат от гледна точка на теорията на категориите (S. Eilenberg - S. MacLane). Това даде възможност да се изследват не само структурите от един тип, които съставляват категория, но и определени картирания между категориите, така наречените функтори, и най-абстрактно, естествените трансформации между функторите. Ненадминат майстор на категория алгебра е A. Grothendieck, който го прилага за създаване на основите на съвременната алгебрична геометрия и теорията на топоса.

Много изследвания в алгебрата през последните 40-50 години принадлежат към няколко добре организирани основни клона, като теория на групата, комутативна алгебра или пръстенна теория. От новите подразделения на абстрактната алгебра, ние отбелязваме алгебрични комбинаторики, които по това време се превръщат в независима дисциплина, близка до топологията, теорията на операта и хомотопичната алгебра, и накрая, теорията на квантовите групи, въведена от В. Дринфелд, сравнително нова част от алгебрата, която претърпя бързо развитие в през последните две десетилетия.

Основни структури на съвременната алгебра

  • Много
  • група
  • пръстен
  • Модул над пръстена
  • поле
  • Векторно пространство
  • Алгебра над пръстена
  • Алгебра Линг

Много алгебрични структури възникват като подкласове на изброените по-горе, които удовлетворяват допълнителни аксиоми, например булеви алгебри, комутативни групи или пръстени. Други, като частично подредени множества, решетки, алгебри на Поасон и алгебри на Хопф, също имат допълнителни операции. Има и доста структури, които не се използват широко извън алгебрата, например, пърхот.

Абстрактни алгебрични дивизии

Груповата теория се занимава с изучаването на свойствата на абстрактните групи и техните образи.

Теорията на пръстена разглежда произволни (некоммутативни) пръстени и асоциативни алгебри.

Линейната алгебра разглежда линейните пространства и линейните оператори между тях.

Комутативната алгебра изучава свойствата на комутативните пръстени и модулите над тях. Тя има тесни връзки с алгебрична геометрия и теория на алгебричните числа. За комутативна алгебра можем да включим теорията на полето и теорията на Галуа.

Диференциална алгебра изучава алгебрични свойства на системи от диференциални уравнения.

Хомологичната алгебра изучава категориите модули с помощта на комплекси или диференциални дипломирани модули.

Универсалната алгебра, която е близка до математическата логика, разглежда произволни алгебрични структури, дефинирани от система от аксиоми.

Теорията на категориите дава възможност да се изследват различни алгебрични понятия и взаимодействието между тях в най-абстрактния смисъл.

Теорията на групите е широко приложима както в математиката, например в геометрията, топологията, хармоничния анализ, така и в теорията на диференциалните уравнения, и оттам, в такива клонове като кристалография, квантова физика и квантова химия. Линейната алгебра играе важна роля в почти всички области на математиката, както и в математическата икономика. От останалите раздели на абстрактната алгебра, хомологичната алгебра и теорията на категориите имат плодотворни връзки с алгебричната топология.





Вижте също:

Теория на категорията

Обратна матрица свойства

Булева функция

Логическа алгебра

Теория на игрите

Връщане към съдържанието: Висша математика

2019 @ ailback.ru