КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Aksіomatichny метод в matematitsі че са aksіomatichnoї pobudovi teorії

план

МОДУЛ III. "RІZNІ PІDHODI да POBUDOVI аритметика TSІLIH NEVІDЄMNIH номера."

Zmіstovny Модул 3.2. "Aksіomatichna pobudova аритметика tsіlih nevіd'єmnih номера.".

1. метод Aksіomatichny в matematitsі че са aksіomatichnoї pobudovi teorії.

2. aksіom The система Dzh.Peano. Vlastivostі aksіomatiki (nesuperechlivіst, povnota, nezalezhnіst) tsіlih nevіd'єmnih номера. Ponyattya естествено число и нула в aksіomatichnіy teorії.

3. Метод matematichnoї іnduktsії.

4. Aksіomatichne гореспоменатия dodavannya tsіlih nevіd'єmnih номера aksіomatichnіy teorії. Tablitsі аз Закони dodavannya.

5. Aksіomatichne гореспоменатия умножение tsіlih nevіd'єmnih номера aksіomatichnіy teorії. Tablitsі аз Закони за разплод.

6. Vіdnoshennya за да mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера.

7. Горепосочените vіdnіmannya I dіlennya tsіlih nevіd'єmnih номера aksіomatichnіy teorії.

Литература: [1] - гр. 124-140; [2] - стр. 193-200; [3] - стр. 197-229.

1. Іsnuyut rіznі pіdhodi да pobudovi тично математически teorіy. Shcho vivchaє кожен тично математически teorіya? - Deyaku тично математическата структура tobto deyaku mnozhinu, елементи yakoї mozhut perebuvati в Pevnyi vіdnoshennyah аз pevnі vlastivostі майка. В chomu polyagaє zmіst teorії? - A) аз разбирам oznachennі vіdnoshen; б) при dovedennі vlastivostey ob'єktіv danoї teorії; в) са dovedennі vіdnoshen, viznachenih в tsіy teorії. Chi mozhna Дати гореспоменатия vsіh разбере? - Ni, повече кожен гореспоменатия zvodit odne ponyattya да іnshogo, vzhe vіdomogo. А chomu не е възможно да завърши OAO All vlastivostі? - Бо кожен завела polyagaє в vivedennі novih vlastivostey ч vzhe vіdomih. Otzhe, мили maєmo protirіchchya.

Як в nautsі rozv'yazuyut tsі protirіchchya? - С о-Perche, vibirayut osnovnі neoznachuvanі ob'єkti аз vіdnoshennya; Алтернативно, formulyuyut deyakі їhnі vlastivostі (aksіomi) SSMSC priymayutsya без да се повдигне; в tretє на osnovі neoznachuvanih разбере, че аз vіdnoshen aksіom formulyuyut гореспоменатия vsіh разбирам аз съобщават на гореспоменатия osnovі че aksіom OAO All INSHI tverdzhennya teorії. Taqiy метод pobudovi teorії печелившите заглавия aksіomatichnogo.

По същество chomu Е aksіomatichnogo метод pobudovi matematichnoї teorії? - 1) zadaєtsya deyaka mnozhina м Акценти ob'єktіv teorії Scho buduєtsya; 2) vibirayut pervіsnі, neoznachuvanі ponyattya; 3) vibirayut pervіsnі, neoznachuvanі vіdnoshennya ги mіzh; 4) formulyuyut tverdzhennya, SSMSC priymayutsya без да водят че SSMSC nazivayut aksіomami, повече їhnya іstinnіst perevіrena bagatovіkovim dosvіdom lyudstva; 5) formulyuyut гореспоменатия vsіh novih разбере teorії Scho buduєtsya, vikoristovuyuchi pervіsnі ponyattya; 6) formulyuyut аз съобщават tverdzhennya teorії Scho buduєtsya, spirayuchis основа на горното, че aksіomi. метод Taqiy pobudovi teorії vvazhaєtsya в matematitsі един іz naybіlsh poshirenih аз строги.



метод Tsei z'yavivsya цепка до nashoї Yeri и Yogo vіdkrittya pripisuyut Pіfagoru (III в. пр. Д.). Един іz nayvіdomіshih zastosuvan aksіomatichnogo метод за pobudovi matematichnoї teorії E "Старт" Evklіda (член III. За да NE) в yakih vіn zdіysniv sprobu aksіomatichnoї pobudovi geometrії. Ротари Etap в метод rozvitku tsogo стана pobudova M.І.Lobachevskim (1826 стр.) Neevklіdovoї geometrії. Away rozvitok aksіomatichnogo метод за pobudovi строг Naukova teorіy znayshov svoє zastosuvannya в pobudovі тично математически як, така че аз іnshih Naukova teorіy rіznomanіtnih Galuzo prirodoznavstva. Така се класира, postupovo sformuvavsya Suchasnyj pіdhіd да aksіomatichnoї pobudovi teorії.

В svoєmu rozvitku метод aksіomatichny proyshov три Etap: etapі в Perche в Yaky zavershivsya 3-4st. да NE Perche sprobami aksіomatichnoї pobudovi geometrії Evklіdom; Други Etap zavershivsya naprikіntsі 19 stolіttya stvorennyam D.Gіlbertom, Dzh.Peano че іnshimi aksіomatichnih подкана тично математически teorіy; На третия etapі D.Gіlbert че Yogo uchnі formalnі целевата система е formalіzovanu aksіomatichnu teorіyu. Spochatku метод aksіomatichny за ЦКБ zastosovany pobudovi geometrії, potіm znayshov svoє zastosuvannya в arifmetitsі, teorії ymovіrnostey, teorії mnozhin toscho. Vіn takozh zastosovuvavsya в deyakih rozdіlah fіziki (mehanіka, термодинамиката, elektrodinamіka toscho). Nayavnі sprobi Yogo zastosuvannya за pobudovi като distsiplіn як etika, sotsіologіya, ekonomіchnі teorії, bіologіya toscho, ейл боде Scho ТСЕ zadovіlnih rezultatіv не дава.

2. Vlastivostі aksіomatiki (nesuperechlivіst, povnota, nezalezhnіst) tsіlih nevіd'єmnih номера. Система aksіom Dzh.Peano. Ponyattya естествено число и нула в aksіomatichnіy teorії.

2. Е Shcho Такео aksіoma? - Vislovlennya deyakoї teorії Scho priymaєtsya в deduktivnіy pobudovі tsієї teorії без привеждане. В seredinі stolіttya, PID vplivom fіlosofії Аристотел PID aksіomoyu rozumіli ochevidnі tverdzhennya, SSMSC не potrebuyut привеждане. Vchennya І.Kanta zakrіpilo гледа aksіomi, як на aprіornі іstini. Іstotnogo въздействие върху такъв поглед към aksіomi Bulo rosіyskim приложен математик M.І.Lobachevskim, Yaky, zamіnivshi лишаване един aksіomu, zumіv pobuduvati Нова geometrіyu. Така ранг aksіoma - tverdzhennya ТСЕ, як perevіrene bagatovіkovim dosvіdom lyudstva як и без да носи priymaєtsya.

aksіom система дали yakoї teorії обвинявам точно vіdobrazhati vlastivostі недвижими svitu, zadovolnyayuchi в tsomu pevnі vimogi logіchnogo природата. Те vimogami Je nastupnі:

а) nesuperechlivіst, tobto іz danoї Sistemi aksіom не mozhlivo Vivest hibne tverdzhennya, АВО донесе две tverdzhennya, SSMSC б superechili odne един;

б) nezalezhnіst, tobto кожен aksіom ите система не Mauger Бути дали naslіdkom yakoї іnshoї aksіomi система;

в) povnota, tobto aksіom система виновен за Бути dostatnoyu pobudovi danoї matematichnoї teorії.

Slіd vіdznachiti Scho aksіomatichny метод pobudovi teorії z'yavlyaєtsya на Pevnyi etapі rozvitku tsієї teorії, як резултат uzagalnennya її rozvitku, ходжа іsnuyut aksіomatichnі teorії, SSMSC z'yavlyayutsya ranіshe teorіyu за себе си. Система aksіom tsіlih nevіd'єmnih номера sistematizuvav іtalіysky математик Dzh.Peano (1891 стр.). В основата svoєї aksіomatichnoї pobudovi vіn poklal іdeї vidatnogo nіmetskogo математика R.Dedekіnda, visunutі него през 1888 г. rotsі. Главна ponyattyami tsієї teorії Je ponyattya unarnoї algebraїchnoї operatsії ABO operatsії slіduvannya. В matematitsі rozglyadayut matematichnі структура PID yakimi rozumіyut Pevnyi Neporozhny mnozhinu M на yakіy viznacheno Pevnyi sukupnіst algebraїchnih operatsіy ите fіksovanimi їh главно vlastivostyami (M, 0, "), де M - Basic mnozhina ABO nosіy tsієї структура; 0 - TSE yelement tsієї mnozhini M аз "" "- TSE едноместно algebraїchna operatsіya slіduvannya. Іsnuyut rіznі varіanti СИСТЕМИ aksіom tsіlih nevіd'єmnih номера. Mi'll dotrimuvatisya nastupnoї, zaznachivshi, Scho за vsіh їh може да бъде предявен їhnyu rіvnosilnіst. Така ранг, можете да priynyati ПРИЕМЕТЕ гореспоменатия tsіlih nevіd'єmnih номера.

Горепосочените 1: nevіd'єmnimi tsіlimi номера nazivayutsya Elements дали yakoї структуриране (Z о; 0; "), де Z о - основен mnozhina, 0 - nulovy елемент" (тире) - символ на unarnoї operatsії slіduvannya ( "bezposeredno slіduє за" ), в yakіy vikonuyutsya takі aksіomi:

Aksіoma 1: нула не се Yde Ni за Якима Elements mnozhini tsіlih nevіd'єmnih числа Z 0 (simvolіchno Чиу aksіomu mozhna zapisati като: (V hєZ о) [h'¹0 де х '= х + 1]).

Aksіoma 2: за кожно tsіlim nevіd'єmnim брой bezposeredno Yde odne tsіle nevіd'єmne брой - bezposeredno следния номер за danogo номер (simvolіchno tsya aksіoma изписва така: (V х ∈ Z о) ($ о uєZ) [у = х "! ]).

Aksіoma 3: кожа tsіle nevіd'єmne брой krіm нула bezposeredno Yde bіlsh не Як за един tsіlim nevіd'єmnim номер (simvolіchno tsya aksіoma изписва така: (V х, о uєZ) [X = Y => х = у ]).

Aksіoma 4 (aksіoma іnduktsії): Yakscho дали yakoї pіdmnozhini мис о vikonuyutsya умове: а) нула nalezhit mnozhinі M (simvolіchno: 0єM); б) іz на Scho ите nalezhit mnozhinі M viplivaє Scho х ¢ nalezhit mnozhinі Z о, M todі mnozhina spіvpadaє ите mnozhinoyu tsіlih nevіd'єmnih числа Z о (simvolіchno ТСЕ mozhna zapisati, както следва: (0єM) Ù [V hєZ о) [ hєM h'єM →] → M = Z о]).

Поставете система aksіom Dzh.Peano Je формална основа за logіchnoyu aksіomatichnoї pobudovi teorії tsіlih nevіd'єmnih номера. Roztlumachimo sutnіst аз priznachennya aksіom система. Mayzhe в vsіh aksіomah Sistemi zustrіchaєtsya символ х ", Yaky poznachaє брой як bezposeredno slіduє за броя х (napriklad символ 0" slіd rozumіti брой як, як bezposeredno Yde за числото 0, tobto 0 = 0 + 1 = 1). Aksіoma 1 stverdzhuє Scho naymenshim tsіlim nevіd'єmnim брой Je номер 0. Іz aksіomi 2 viplivaє, Scho в mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера не іsnuє naybіlshogo брой. На osnovі aksіomi 3 може tverditi, Scho кожен tsіlomu nevіd'єmnomu номер, krіm 0 pereduє єdine tsіle nevіd'єmne брой.

Vіdpovіdno да vimog aksіomatichnogo метод pobudovi teorії, pіslya на як sformulovano aksіom система, кожата основа tverdzhennya slіd донесе, spirayuchis на osnovnі ponyattya, vіdnoshennya ги mіzh че aksіomi. На osnovі sformulovanoї Sistemi aksіom съобщават OAO All Peano теорема, SSMSC rozglyadayutsya в mnozhinі Zo номера. Pokazhemo ТСЕ на prikladі takoї теорема "tsіlі nevіd'єmnі номера SSMSC slіduyut за rіznimi tsіlimi nevіd'єmnimi номера takozh rіznі" (simvolіchno теорема може да бъде написано като: (V х, uєZo) [(h¹u) → (h'¹u ")]) , Привеждане проведено от ОД противоположна, tobto pripustimo Scho х '= у ". Todі за aksіomoyu 3 (х '= у') (х = ш), и ТСЕ superechit факт Scho х аз у rіznі. Tsya superechnіst кажа нашата Scho задушени hibne, otzhe теорема притежава.

3. Метод matematichnoї іnduktsії.

3. На своята Черга aksіoma іnduktsії, tobto aksіoma 4 Да се теоретично въз основа на метода на привеждане tverdzhen, Yaky спечелване метод заглавия matematichnoї іnduktsії. Водени от matematichnoї іnduktsії ґruntuєtsya на aksіomі 4 И С skladaєtsya като etapіv: 1) perevіryaєmo іstinnіst tverdzhennya за п = 1, п = 2 АВО (Yakscho maєmo справят іz sumoyu); 2) pripuskaєmo Scho нашия tverdzhennya іstinne за п = к де к> 1; 3) vihodyachi іz на очи, probuєmo донесе spravedlivіst tverdzhennya за п = к '= к + 1; 4) на osnovі aksіomi іnduktsії правим visnovok за spravedlivіst tverdzhennya за vsіh tsіlih nevіd'єmnih номера. Sutnіst привеждане tverdzhen CIM метод rozglyanemo на специфични бъчви.

Butt 1: донесе, Scho 1 2 2 2 3 2 + ... + N 2 = ,

Водени:

1) perevіrimo spravedlivіst tsogo tverdzhennya за п = 2, по-lіva Chastina rіvnostі Je sumoyu. За tsogo znaydemo торба Perche dvoh dodankіv lіvoї Частейн I Yogo porіvnyaєmo іz стойности pravoї Частейн rіvnostі за наш = 2. Maєmo 1 2 2 2 = 1 + 4 = 5 . , Otzhe 5 = 5. Tverdzhennya за п = 2 е валиден (Yakscho б vono Bulo hibnim, на Dali provoditi привеждане potrіbno не!);

2) pripuskaєmo Scho tverdzhennya справедливо за п = к, tobto 01 февруари 2 2 3 2 + ... + K 2 = ;

3) vihodyachi іz на очи, tobto іz на Scho торба kvadratіv Perche на естествени числа dorіvnyuє , Sprobuєmo донесе, Scho торба Persha к + 1 числа dorіvnyuє , Utvorimo в lіvіy chastinі danoї rіvnostі торба kvadratіv Persha к + 1 естествено число. За tsogo да lіvoї Частейн задушени dodamo квадратен пререже един номер, tobto maєmo 1 2 2 2 3 2 + ... + к 2 + (к + 1) 2. Suma Perche да dodankіv, zgіdno на очи може zamіniti virazom , Други скоба maєmo квадратен trichlen, Yaky mozhna rozklasti в dobutok lіnіynih mnozhnikіv zgіdno формула: брадва 2 + Bx + C = A (х, х 1) (х х 2) де х 1 х 2 I - korenі квадратен trichlena. Обитатели rozklasti квадратен trichlen 2k 7к + 2 + 6 lіnіynі mnozhniki, rozv'yazhemo квадратен rіvnyannya: 2k 7к + 2 + 6 = 0. Oskіlki D = 49-48 = 1> 0, 1 = -2; к = 2 -3/2. Otzhe, 2k + 2 7K + 6 = 2 (К + 2) (К + 3/2) = (К + 2) (2k + 3). Todі maєmo = , Така ранг, E отбеляза, че viraz, Yaky Bulo potrіbno;

4) otzhe на osnovі aksіomi іnduktsії, МВР може да tverditi Scho rіvnіst държи за това дали yakogo естествено число. Spravedlivіst rіvnostі донесе.

2. Привеждане на приклада, за Scho дали yakogo цяло число N валиден rіvnіst: ,

Водени:

1) perevіrimo spravedlivіst tverdzhennya когато п = 2: , Tverdzhennya, за п = 2 е валиден;

2) pripustimo Scho нашия tverdzhennya справедливо за п = к, tobto ;

3) vihodyachi іz на очи, sprobuєmo донесе, Scho торба к + 1 dodanku lіvoї Частейн dorіvnyuє , Zapisati обитатели в lіvіy chastinі торба к + 1 dodanka да lіvoї Частейн задушени dodamo OT dodanok. = Suma Perche да dodankіv, zgіdno на очи, zamіnimo virazom = =. Обитатели rozklasti chiselnik на mnozhniki, rozv'yazhemo rіvnyannya: 3к 4к + 2 + 1 = 0. = -1 1, к = 2 -1/3. = тези, които аз Scho treba Bulo донесат.

4. Aksіomatichne гореспоменатия dodavannya tsіlih nevіd'єmnih номера aksіomatichnіy teorії. Tablitsі аз Закони dodavannya.

4. Operatsіyu dodavannya на mnozhini tsіlih nevіd'єmnih номера takozh vvedemo aksіomatichno. За tsogo sformulyuєmo DVI dodatkovі aksіomi, SSMSC viznachayut в mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера bіnarnu algebraїchnu operatsіyu, як еднозначно viznachena аз zadovolnyaє aksіomam 5-6.

Означение: (! Yakscho Won іsnuє) dodavannyam tsіlih nevіd'єmnih номера nazivaєtsya bіnarna algebraїchna operatsіya, як kozhnіy parі tsіlih nevіd'єmnih номера (а, в) 2 пут єZo в vіdpovіdnіst tsіle nevіd'єmne номер (а + б) єZo, Такео Scho vikonuyutsya aksіomi 5 и 6.

Aksіoma 5: за това дали yakogo tsіlogo nevіd'єmnogo брой валидни rіvnіst а + 0 = а (simvolіchno tsі aksіoma написана като ( "aєZo) (а + 0 = а) Вон viznachaє operatsіyu dodavannya е нула.).

Aksіoma 6: ( "А, vєZo) (A + A '= (А + В)").

Іnkoli mozhna zustrіti взимам formulyuvannya aksіom:

Aksіoma 5: dodavannі при нулево дали yakogo tsіlogo nevіd'єmnogo брой otrimuєmo тези сама tsіle nevіd'єmne номер (simvolіchno tsya aksіoma написана като (Va єZ о) [а + 0 = X]).

Aksіoma 6: Когато dodavannі и дали yakogo tsіlogo nevіd'єmnogo номер, як bezposeredno slіduє за брой в, otrimuєmo tsіle nevіd'єmne брой як bezposeredno Yde брой A + B (simvolіchno tsya aksіoma написана като (Va, vєZ о ) [а + в = (а + в) ']. Също като rіvnіst obumovlena внимание, Scho а' = а + 1 и todі A + A '= а + (Ь + 1) = (а + в) + 1 = (а + в) ").

Vvіvshi aksіomatichne гореспоменатия operatsії dodavannya tsіlih nevіd'єmnih номера ми не nіchogo znaєmo за її іsnuvannya че єdinіst. Същото да донесе slіd vіdpovіdnі теорема.

Теорема 1: (около іsnuvannya че єdinіst operatsії dodavannya): operatsіya dodavannya в mnozhinі Z о tsіlih nevіd'єmnih номера іsnuє аз єdina ABO іsnuє odne аз tіlki odne vіdobrazhennya е: Z о 2 ®Z о, як kozhnіy parі (а, в) єZ о пробва vіdpovіdnіst єdine tsіle nevіd'єmne номер (а + б) єZ о.

Водени:

Oskіlki в teoremі покрай този за іsnuvannya єdinіst след привеждане skladaєtsya ите dvoh Частейн. В pershіy метод chastinі ОД противоположния dovedemo Scho operatsіya dodavannya, Yakscho Won іsnuє, єdina. Pіslya tsogo ите vikoristannyam метод matematichnoї іnduktsії донесе іsnuvannya takoї operatsії. Pripustimo Scho іsnuє prinaymnі DVI operatsії dodavannya, SSMSC poznachimo + I , Както и за тяхното vikonuyutsya aksіomi 5 и 6: 0 = A + A + а '= (а + б) "; и A = 0, и а '= (а в) ".

Rozglyanemo mnozhinu M, як Да pіdmnozhinoyu mnozhini Z о. Нека той да има tsіy mnozhinі M tsі DVI operatsії dodavannya єdinі, Pokazhemo Scho mnozhina M spіvpadaє ите mnozhinoyu Z о. Vіdpovіdno метод за matematichnoї іnduktsії potrіbno perevіriti vikonannya умове aksіomi 4. Oskіlki на + = а аз и 0 = а, а + а = 0 0 tobto до нула obidvі operatsії odnakovі (єdinі) аз 0єM. Pripustimo Scho tsі operatsії єdinі дали yakogo tsіlogo nevіd'єmnogo брой vєM, tobto на + 0 = 0. Sprobuєmo донесе, Scho v'єM, tobto а + б = а в "- Umov aksіomi 6. Vikonannya tsієї oznachatime умове, Scho obidvі operatsії dodavannya за v'єZ о odnakovі и да v'єM и todі за aksіomoyu 4 mnozhina M spіvpadaє S mnozhinoyu tsіlih nevіd'єmnih номера на Z О, в tobto mnozhinі Z о operatsії dodavannya + I viyavilis odnakovimi. Oskіlki zgіdno на очи maєmo: А + В = по- в течение aksіomoyu 6 А + В = (А + В) = (а C) = а в. " Така ранг, защото в "operatsії + I odnakovі, tobto v'єZ о. За aksіomoyu 4 може tverditi Scho mnozhina M spіvpadaє ите mnozhinoyu Z о. Същото задушени за това, което ни neєdinіst operatsіy dodavannya Bulo hibnim. Otzhe, Yakscho operatsіya dodavannya іsnuє, след това спечели єdina.

В drugіy chastinі dovedemo Scho operatsіya dodavannya в mnozhinі Z о іsnuє. За tsogo znovu vikoristaєmo метод matematichnoї іnduktsії (в вратата за skorochennya Explanation'll vikoristovuvati abrevіaturu mm²). Utvorimo mnozhinu MєZ о, в yakіy operatsіya dodavannya іsnuє аз vikonuyutsya aksіomi 5 и 6: + 0 = а; А + В = (А + В). Spochatku zastosuєmo mm² за S = 0. Yakscho а = 0, 0 + 0 = 0 (за aksіomoyu 5). 0 + 0 = (0 + 0) = 0. Oskіlki за = 0 aksіomi 5 и 6 vikonuyutsya тогава 0єM. Teper zastosuєmo mm² за dovіlnogo vєZ о, tobto dovedemo Scho іsnuє operatsіya а + б, така Scho vikonuyutsya aksіomi 5 и 6. За tsogo pripustimo Scho 0 + B = B, todі 0 + B '= (0 + в) " = A "(за aksіomoyu 6). Така ранг, за 0 и dovіlnogo в operatsіya dodavannya іsnuє. Pripustimo Scho operatsіya dodavannya vikonuєtsya за dovіlnogo aєM, tobto spravdzhuyutsya aksіomi 5 и 6. + 0 = а и А + В = (а + б) ". Sprobuєmo донесе, Scho да въведете mnozhini M Element и '. За tsogo viberemo Scho A + в = (а + в). " Perevіrimo, чи vikonuyutsya aksіomi 5 и 6. I + 0 = (а + 0) = а "; с "+ A '= (а + в) = (zgіdno aksіomi 6) = ((А + В)")' = (А + В). Otzhe, aksіoma 6 за "vikonuєtsya, да a'єM. Oskіlki vimogi aksіomi 4 Реализирана, тогава М = Z о аз operatsіya dodavannya іsnuє не tіlki в mnozhinі M и аз да mnozhinі Z о. Теорема донесе povnіstyu.

Теорема 2: operatsіya dodavannya в mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера pіdkoryaєtsya asotsіativnomu (spoluchnomu) закон.

Simvolіchno tsya теорема може да се изписва като: ( "както в, о sєZ) ((А + В) + C = A + (B + C) = A + B + а).

Теорема 3: operatsіya dodavannya в mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера pіdkoryaєtsya komutativnomu (регулируема) закон.

Simvolіchno tsya теорема може да бъде написано като: ( "а, о vєZ) (A + B = B + A).

Mi vzhe zaznachali, Scho в matematitsі донесе rіvnosilnіst теоретична mnozhinnoї че aksіomatichnoї teorії tsіlih nevіd'єmnih номера и теореми, че spravedlivіst 2-3 priymemo без да се повдигне, zaznachivshi Scho Теорема 2 и 3 съобщават takozh ите метод vikoristannyam matematichnoї іnduktsії. Aksіomi 5 и 6, които Теорема 1-3 povnіstyu viznachayut operatsіyu dodavannya на mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера ALE за її vikonannya potrіbno sklasti vіdpovіdnі tablitsі dodavannya. Понг, Yakscho їh napam'yat благородство, ще mozhlivіst Shvydko vikonuvati obchislennya. В курсі математики початкових класів існують вісім таблиць додавання: таблиця додавання числа 2, таблиця додавання числа 3, таблиця додавання числа 4, таблиця додавання числа 5, таблиця додавання числа 6, таблиця додавання числа 7, таблиця додавання числа 8, таблиця додавання числа 9. Побудова таблиць додавання ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 4: для будь-якого цілого невід'ємного числа х справедлива рівність х+1=х′ (символічно: ("хєZ o )(х+1=х′)).

Доведення:

Оскільки 1=0′, то х+1=х+0′. За аксіомою 6 маємо х+0′=(х+0)′. За аксіомою 5 маємо: х+0=х. Отже, х+1=х+0′=(х+0)′=х′, що і треба було довести.

Як відомо, виконання операції додавання ґрунтується на таблицях додавання. Їх будують, ґрунтуючись на аксіомах 5 і 6. Побудову таблиць додавання покажемо на кількох прикладах. Наприклад: 0+0=0 - за аксіомою 5; 0+1=0+0'(за аксіомою 6)=(0+0)'=0'=1; 2+2=2+1′=(2+1)′=3′=4; 3+2=3+1′=(3+1)′=4′=5; 5+2=5+1'=(5+1)'=6'=7.

5. Аксіоматичне означення множення цілих невід'ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.

5. Операцію множення на множини цілих невід'ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід'ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 7–8. Аксіома 7 визначає правила знаходження добутку, коли другий множник дорівнює нулю, а аксіома 8 – вказує на правило знаходження добутку числа а та числа, яке безпосередньо йде за числом в. Операція, з допомогою якої знаходиться добуток, називається операцією множення. Отже, можна прийняти таке означення:

Означення: множенням цілих невід'ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція ( якщо вона існує! ), яка кожній парі цілих невід'ємних чисел (а,в)єZ o 2 ставить у відповідність ціле невід'ємне число а×в - добуток чисел а і в - та задовольняє аксіоми 7 і 8:

Aksіoma 7: mnozhennі при дали yakogo tsіlogo nevіd'єmnogo редица от нула otrimuєmo нула (simvolіchno tsya aksіoma изписва така: (V aєZ о) [а × 0 = 0]).

Aksіoma 8: при mnozhennі дали yakogo tsіlogo nevіd'єmnogo номер и номера на Scho bezposeredno Yde за брой в, otrimuєmo tsіle nevіd'єmne номер + а × (simvolіchno tsya aksіoma написана като (Va, о vєZ) [по- х а '= а х + а]).

Oskіlki в oznachennі не nіchogo говорим за това іsnuvannya єdinіst takoї operatsії и takozh за закона, Якима спечели pіdkoryaєtsya на mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера, след това донесе slіd vіdpovіdnі теорема.

Теорема 5 (около іsnuvannya че єdinіst dobutku): operatsіya развъждане tsіlih nevіd'єmnih номера іsnuє аз єdina ABO іsnuє odne аз tіlki odne vіdobrazhennya е: Z о 2 о ® Z, як kozhnіy parі (а, в) о 2 єZ пуснати в vіdpovіdnіst єdine номер × о vєZ така Scho vikonuyutsya aksіomi 7 и 8.

Водени: Завеждане skladaєtsya ите dvoh Частейн. В pershіy chastinі dovedemo єdinіst operatsії разплод. Привеждане проведе analogіchno да теореми за єdinіst operatsії dodavannya (proponuєmo студенти vikonati vіdpovіdne zavdannya номер 1 за samostіynoї роботи).

В drugіy chastinі dovedemo іsnuvannya bіnarnoї algebraїchnoї operatsії. За да донесе іsnuvannya vіdpovіdnostі Z о 2 ®Z о vikoristaєmo метод matematichnoї іnduktsії (mm²). Utvorimo deyaku mnozhinu мис о, в yakіy operatsіya разплод іsnuє аз pіdkoryaєtsya aksіomam 7 и 8. Yakscho а = 0, тогава ние vvazhati, Scho за dovіlnogo vєZ о а × B = 0. Tacke vіdobrazhennya zadovolnyaє aksіomi 7 и 8, повече за = 0, maєmo 0 × 0 = 0 (за aksіomoyu 7) и 0 × в '= 0 × B + 0 = 0 + 0 = 0. Otzhe, 0єM. Pripustimo, Scho за aєM operatsіya развъждане іsnuє, tobto vikonuyutsya aksіomi 7 и 8: а × 0 = 0; и × а '= а + а ×. Sprobuєmo донесе, Scho a'єM. Viberemo Scho = AB + A'B в и potіm pokazhemo, Scho tsya rіvnіst viznachaє за "dobutok, Yaky pіdkoryaєtsya aksіomam 7 и 8.

и "х 0 х 0 = 0 + (zgіdno VIBOR) = 0 0 + (zgіdno aksіomi 7) = 0 (за aksіomoyu 5). Rozglyanemo A'B = AB "+ B '= (zgіdno VIBOR AB) = AB + A + B + 1 = (за aksіomoyu 8, че в горепосочените') = (AB + B) + (а + 1) = (zgіdno възвръщаем аз spoluchnogo zakonіv dodavannya) = A'B + едно "(A'B zgіdno VIBOR че viznachennya а"). Otzhe за "vikonuєtsya aksіoma 8, и да a'єM. Така ранг, mnozhina M = Z о, бо за M vikonuyutsya OAO донесе All vimogi aksіomi 4. Теорема.

Теорема 6: operatsіya отглеждане на mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера pіdkoryaєtsya komutativnomu (регулируема) Act (simvolіchno: ( "а, о vєZ) [а × × B = а]).

Теорема 7: operatsіya отглеждане на mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера pіdkoryaєtsya asotsіativnomu (spoluchnomu) Act (simvolіchno ( "както в, о sєZ) [(а × в) х с = а х (в × и)]).

Теорема 8: operatsіya отглеждане на mnozhinі tsіlih nevіd'єmnih номера pov'yazana ите operatsієyu dodavannya Разпределителни (rozpodіlnim) Закон за разплод vіdnosno dodavannya (simvolіchno ( "както в, о sєZ) [(а + б) х с = а х а × а + в]).

Така че много як аз за operatsії dodavannya завела теореми проведе 6-8 метод з vikoristannyam ОД е противоположна метод matematichnoї іnduktsії. Mi priymemo spravedlivіst Tsikh теореми без привеждане, vrahovuyuchi ekvіvalentnіst rіznih teorіy tsіlih nevіd'єmnih номера. На osnovі aksіom 7 и 8, които теореми 6-8 mozhna pobuduvati tablitsі умножение, а yakih Relief mozhna еднозначно sprostiti znahodzhennya dobutku-дали yakih tsіlih nevіd'єmnih фигури. Tsі tablitsі slіd napam'yat благородство. Іsnuє vіsіm таблица за умножение: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 на Їh pobudovu pokazhemo на kіlkoh бъчви. 2 = 2 × 2 × 1 × 2 ¢ = 1 + 2 = (zgіdno aksіomi 8) = 2 (zgіdno aksіomi 7) + 2 = 4 (zgіdno tablitsі dodavannya). 6 = 5 х 5 х 5 х 5 ¢ = 5 + 5 = 25 + 5 = 30.

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| Aksіomatichny метод в matematitsі че са aksіomatichnoї pobudovi teorії

; Дата: 05.01.2014; ; Прегледи: 726; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Edu Doc (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 11.45.9.24
Page генерирана за: 0.056 сек.