КАТЕГОРИИ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) П Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военно дело (14632) Висока технологиите (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къщи- (47672) журналистика и SMI- (912) Izobretatelstvo- (14524) на външните >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) История- (13644) Компютри- (11121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) култура (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23,702) Matematika- (16,968) инженерно (1700) медицина-(12,668) Management- (24,684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образование-(11,852) защита truda- (3308) Pedagogika- (5571) п Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) oligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97182) от промишлеността (8706) Psihologiya- (18,388) Religiya- (3217) с комуникацията (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) спортно-(42,831) Изграждане, (4793) Torgovlya- (5050) превозът (2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596 ) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Telephones- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно (12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Лекция 4. § 120. парабола и нейното канонично уравнение




Аналитична геометрия.

Глава 8. уравнение Canonical линия

Определение. Парабола е траекторията на точките за всеки от които разстоянието до фиксирана точка в равнината, наречена фокусна точка, равна на разстоянието до стационарна линия не минава през фокуса и се нарича директриса.

Определение. Разстоянието от центъра на параболата да я директорка нарича параметър на параболата. Изместването на парабола се приема за единство.

Пускаме на фокус перпендикулярна на направляващата и точката на пресичане на този перпендикулярна с направляващата на параболата е означена с буквата , Въвеждане Ducs в самолета чрез поставяне на произхода в центъра на сегмента Като се като оста направо И положителната посока на за (Вж. Ris.176).

Фиг. 176


разстояние фокуса да директорка означена с буквата (Параметър на параболата). Избраният фокуса координатна система Той разполага с координати , уравнение директорка ,

нека - произволна точка на самолета. Ние означаваме с разстояние от гледна точка на да се съсредоточи парабола, а чрез - разстоянието от гледна точка на до директорката на параболата.

точка Тя се намира на тази парабола, а след това

само тогава, когато , защото ,

и , Уравнението на параболата е:

, Това уравнение е еквивалентно на следното уравнение: ,

или: (1)

Определение. Уравнение (1) се нарича каноничен уравнение на парабола.

§ 121. Изследване на формата на парабола.

Тъй като ордината каноничен уравнение на параболата е включен във втората степен на оста оста на симетрия на параболата ,

Определение. В точката на пресичане на параболата с нейната ос на симетрия, се нарича връх на параболата. Парабола (1) има само един връх ,

от уравнение следва, че (Тъй като и ). Решаването на уравнение за и за вземане само неотрицателна стойност Виждаме, че в интервала - увеличаване функция , с ,

Всяка линия пресича парабола не повече от две точки (както е определено от линията уравнение от първа степен, и парабола -. Втори на изследването дава представа за формата на парабола (виж фигура 177) ...

Фиг. 177

Забележка. уравнение където намалява на уравнение замяна за , т.е. чрез трансформация на координатната система, която съответства на промяна в положителната посока на оста напротив.

От това следва, че параболата симетрична параболата спрямо оста (Вж. Ris.178). Подобни аргументи установяват chtokazhdoe от уравнения: ; (2) когато дефинира парабола с върха на произхода и оста на симетрия (Вж. Фиг. 179, 180).

Фиг. 179

Уравнение (2) е често писмено във форма, разрешена от относителните координира : където ; ( ).

§ 123. допирателната към параболата.



В хода на математически анализ доказа, че ако функцията при производно, след уравнението на допирателната към линията изразена чрез уравнението при където Това е, както следва: , Сега, ако параболата е определена в уравнението , , Уравнението на допирателната към нея в точката Тя ще изглежда така: , Оповестяват скоби: И тъй като отдето след това или (3)

Поставянето в уравнение (3) , Намери точка Пресичане на допирателната към парабола (3) с ос на симетрия.

Това предполага следния метод за изграждане на допирателна към параболата в този момент , Пропуснете от точка перпендикулярен на симетрия ос на параболата и е депозиран на симетрия оста на сегмента на парабола (Вж. Фиг.). направо и е допирателна към параболата в точката ,

§ 124. оптично свойство на параболата.

ТЕОРЕМА 1. допирателната към параболата е ъглополовящата на ъгъла между фокусната радиус допирна точка и перпендикуляра Отпаднали от допирната точка на направляващата.

Фиг. 183. Фиг. 184.

Доказателство. Ние (Виж Фигура 184 ..): , , но , , Проследете-ствие: , т.е. , Затова триъгълник равнобедрен и следователно: ; но ; следователно , QED.

Тази теорема има следната оптичен тълкуване: ако фокусът параболично огледало поставя източник на светлина, лъчите отразени от огледалата образува сноп успоредни лъчи. Това свойство на параболични огледала, използвани в огледалото устройство проектори.

§ 125. полярен уравнението на елипса, хипербола и парабола.

Често се използва елипса уравнение, хипербола и парабола в полярни координати. Ние се определи полюс на полярна координатна система в кривата на фокус. В този случай, елипсата, изберете левия фокус, както и за хипербола - прав. Полярният ос е избран така, че неговата посока съвпада с положителната посока на оста х.

И трите криви са описани от общ имот: за всяко съотношение на разстоянието до фокуса и да направляващата е постоянна и равна на ексцентричността на кривата. Стойността на ексцентричността определя вида на крива. Ако решите фокусно параметър (разстоянието от фокуса на направляващата), така че позицията на директорка в избраната координатна система ще остане непроменена, различна ексцентричност, ние получаваме една единствена серия от елипси, параболи, десния клон на хиперболата (Вж. Фиг. 11.25). Специфична крива се определя от неговата ексцентричност като се използва уравнението: (4)

където - полярен, също така е фокусна точка на радиуса на кривата, - перпендикулярно падна от една точка направляващата (Вж. Фиг. 11.25).


защото След заместване на този израз в (4), ние получаваме: или (5)

Уравнение (5) е полярен уравнението на елипса, парабола, десния клон на хипербола.

§ 126. елипса, хипербола и парабола като конично сечение.

Да разгледаме повърхността на прав кръгов конус безкрайно удължаване от двете страни на върховете.

Равнината, минаваща през върха на конуса може да отнеме по отношение на този конус следните три позиции:

1) с тънки само една обща точка (връх на конуса (Вж. Ris.187)).

2) се отнася до конуса по пътя (вж. Ris.188).

3) се пресичат в две различни конус-образуващата (вж. Ris.189).




Самолетът не преминава през върха на конуса, конус може да относително също три различни позиции: 1), пресичаща всички генератори на конуса (Sm.ris.190)


2) успоредно на само един от конуса (вж. Ris.191).


3), успоредна на две различни генератори на конуса (вж. Ris.192).


Теорема 2. равнина, която не е преминала през най-високата точка на прав кръгов конус, като преминава в елипса, ако тя пресича всички генератори на конуса (вж. Ris.190), парабола, ако тя е успоредна на само един на конуса (вж. Ris.191) и хипербола ако е успоредна на две образуващите на конуса (Вж. ris.192).

Доказателство. За да докаже това, помислете прав кръгов конус, който е в системата на правоъгълна координатна описан от уравнението:

(6)

и геометрично получен чрез въртенето около оста направо Собственост координира SVOCs-кост , Чрез кръгова повърхност на симетрия (6) може да се ограничи само до секциите на Pomeau-супа равнини, перпендикулярни равнина координатна PLO , В тази равнина съответства на уравнението , ,

ако , Равнината на рязане е описано от уравнението където и паралелно координатната равнина , Заместването на стойността на абсцисата конус в уравнение (6), ние откриваме, че напречното сечение в равнина описан от уравнението и дефинира равностранен хипербола (Вж. ris.12.24), докато двойка линии, които се образуват конуси. Ris.12.24.

Сега предполагам, че в съотношението на уравнение самолет сечащ , След това самолетът може да се представи с уравнението където , , Поради симетрията на конус спрямо равнината достатъчно, за да разгледа случая, когато ,

Коничната секция за дадена равнина в пространството е описано чрез система от две уравнения (7)

За да се получи уравнението на пресичаща равнината, помислете правоъгълната координатна система ,


вземайки като координатните оси и с права, е точката на пресичане на равнината на рязане с координатните равнини и (Виж фиг. 12,25).

координати и произволна точка в равнината на рязане ще бъде свързан с координатите , и в пространството на отношенията:

(8)

където - ъгълът между коничната секция перпендикулярна на референтната равнина И координатната равнина , с и ,

Заместването (8) в първото уравнение на (7), т.е. в уравнение Ние получаваме уравнение на конично сечение в координатна система :

, Скобите и други подобни термини, които намираме:

, (9)

при Когато рязане равнина образува равнина същия ъгъл като конус образуване на коничната секция ще бъде парабола (виж фиг ..), и е описано от уравнението:

,

Чрез промяна на параметъра в уравнение сечащ равнина като конична секция може да се получи всяка парабола.

при , Уравнение (9) е:

, (10)

Има две възможности. при , т.е. когато сечащ равнина образуващ с -малък ъгъл от конуса образуване неравенството е изпълнено и следователно уравнението (10) е конично сечение уравнение на елипсата (вж. фиг. 12,26).


Тук различна параметрите и в уравнението на пресичаща равнината, ние можем да получите във всеки раздел елипса.

при , т.е. когато рязане равнина образува равнина голям ъгъл от производителите на конус, имат Така че скосена част, описана от уравнението (10) ще бъде хипербола (Вж. Фиг.). Чрез промяна на параметрите и могат да бъдат получени във всеки конично сечение хипербола.