КАТЕГОРИЯ:


Диагоналът на формата на матрицата на оператора

Най-простата форма на матрица линеен оператор е, когато системата е в основата на неговите собствени вектори, т.е. всички собствена стойностите са различни. В този случай, , при и Т.е. матрица Това е диагонал:

,

Следователно, за да се намали матрица оператор диагонилизирана съгласно формула Като шаблон което трябва да се вземе една матрица, чиито колони трябва да имат свои собствени вектори на оператора ,

Пример. Донеси матрицата на диагонала формата ,

Solution. Характерните уравнението на тази матрица е от вида:

където , , ,

Ние намираме собствените вектори, замествайки собствените стойности в уравнението на матрица , за получавам

,

тук , вярвайки произволна константа, получаваме характеристика вектор , Заместването на втората собствена стойност Това води до уравнението

,

отгдето вярвайки Ние получи втори собствен вектор : , като и - Произволни числа, собствената стойност могат да отговарят на няколко характерни вектори с различни дължини.

Тъй като собствените стойности на тази матрица , Като тя е с диагонална матрица на формата:

Проверете тази формула , Ние образува матрицата , Чиито колони са собствени вектори:

,

Намираме детерминантата на матрицата И обратното Е както следва:

Според формула ние получаваме:

,

4.6. Квадратичен форми.

4.6.1. Основи на квадратичен форми.

Определение. квадратна форма от променлива е сумата, която всеки член е квадрат на една от променливите или продукт на две различни променливи, взети с някакъв коефициент:

(50)

Предполагаме, че коефициентите на квадратното формата - Реални числа, и ,

Ние наричаме симетрична матрица

(51)

матрицата на квадратна форма (50). В квадратна форма (50) могат да бъдат представени под формата на матрица:

(52)

където и - Ред вектор и вектор колона на променливи.

наистина

,

Пример. Dana квадратна форма , Добави това под формата на матрица.

Solution. Матрицата на квадратичен форма е както следва: за основните диагонални коефициентите на квадратите на променливи и симетричен по отношение на неговата не-диагонални елементи са равни на половината от съответните коефициенти на променливите на напречното продукт на квадратното форма. Ето защо:

4.6.2. Трансформация на квадратичен форми.

Нека да видим как не-дегенерат квадратна форма с линейна трансформация на променливите.

Нека на колоните вектори на променливи и линейна връзка

където , има някои не-единствено число матрица -ти ред. Тогава квадратното формата



,

Така че, когато не-дегенерат линейна трансформация матрицата на квадратното формата приема формата

(53)

Пример. За квадратното формата на предишния пример за намиране на квадратното форма, получена от дадена линейна трансформация , , ,

Solution. Матрицата на линейна трансформация на формата:

,

Прилагането (53) на матрицата от предишния пример получаваме:

,

т.е. квадратна форма приема формата:

,

4.6.3. Canonical и нормални форми на квадратичен форми.

Определение. В квадратна форма нарича канонично или има каноничната форма, ако всички негови коефициенти при :

(54)

т.е. матрица е диагонална.

Теорема. Всяка квадратна форма с помощта на не-дегенерат линейна трансформация на променливите може да бъде намален до каноничната форма.

Определение. В квадратна форма с реални коефициенти има нормална форма, ако неговата канонична форма всички коефициенти, равно на 1 или -1.

Има различни методи за намаляване на квадратното форма за канонична форма. Помислете за един от тях

метод на Лагранж. Тя се намира в разпределението на квадрати: първата формира точен квадрат на термини, съдържащ , След това от условията, съдържащи и т.н. Нека разгледаме един конкретен пример.

Пример. Оставете да каноничен квадратна форма и нормалната ума

Solution. Прилагайки метода на Лагранж, получаваме:

,

където , , , Когато е необходимо, тази квадратна форма на намаляване на нормалната форма да се използва за промяна на променливите , , , Тогава ние получаваме:

Теорема. (Законът на инерцията на квадратични форми). С всеки метод за намаляване квадратичен форма (50) с реални коефициенти на нормалния брой на квадрати с коефициенти 1 се получава същият като броя на квадрата коефициенти -1.

4.6.4. Критерий категоричен знак на квадратното форма.

Определение. В квадратна форма (50) е положително определена (отрицателна категоричен), ако за всички променливи Не и двете нула, каза форма има положителен (отрицателен) стойност.

И двете от тези случаи са обединени под името на дълготрайни форми на знаците. Ако квадратна форма (50), както положителни и отрицателни стойности, то се нарича променлив.

В квадратна форма от променливи е положително определена, ако и само ако тя съдържа точно нормален външен вид квадрати, т.е. външност , Разбираемо е, че всички собствените стойности на матрицата на квадратното формата трябва да бъдат положителни.

По същия начин, в нормална форма на всички отрицателни определен квадрати трябва да бъдат включени с отрицателен знак, т.е. всички собствени стойности на матрицата на квадратното форма трябва да са отрицателни.

непълнолетни лица

, , , ..., (55)

наречени основните непълнолетни лица квадратна форма (50).

Теорема. (Критерий Силвестър). За квадратното форма (50), за да бъде положителен, категоричен е необходимо и достатъчно, че са изпълнени следните условия

(56)

За да квадратна форма е отрицателен категоричен, че е необходимо и достатъчно, че признаците на основните малолетните редуват с ,

Пример. Намери Силвестър критерий за влизане определеност на квадратното формата ,

Solution. Матрицата на квадратичен форма е както следва:

,

Последователно се изчисли своите непълнолетни лица

, , ,

Като критерий Силвестър не е изпълнено, това квадратна форма е неопределен.

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| Диагоналът на формата на матрицата на оператора

; Дата: 05.01.2014; ; Прегледи: 1994; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Edu Doc (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 11.45.9.26
Page генерирана за: 0.054 сек.