Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Функции на много променливи




Определение. Променливата Z (с Z промени област) се нарича функция на две независими променливи х и у в комплект M, ако всяка двойка (X, Y) на набор M от някои правило или закон е свързан с една конкретна стойност на Z в Z.

Определение. Комплектът M, които определят променливите х, у, се нарича областта на функцията, множество на Z - домейн на ценностите, и направи X, Y - неговите аргументи.

Легенда: Z = F (х, у ), Z = Z (X, Y).

Примери.

  1. Z = XY, Z = X ² + у ² - функция, определена за всички реални стойности на х, у.
  2. - Функция, които са достояние на разтвора на неравенството ,

Определение. Променливата Z (с Z промени област) Това се нарича функция на няколко независими променливи в комплект M, ако всеки набор от числа от набор M от някои правило или закон е свързан с една конкретна стойност на Z в Z. Понятията аргументи, стойностите на домейни и обхват са вписани по същия начин, както за функцията на две променливи.

Легенда: Z = F , Z = Z ,

Забележка. Тъй като двойката числа (X, Y) може да се разглежда като координати на точка от равнината, ние след това ще се използва терминът "място" за няколко аргументи за функция на две променливи, както и подреден набор от числа Кои са аргументите на функцията на няколко променливи.

Геометричната представяне на функцията на две променливи

Да разгледаме функцията

Z = F (х, у) , (15.1)

дефиниран в някои домейн M върху хоризонтална равнина около. След това, триизмерната множеството от точки с координати (X, Y, Z), където Това е графика на функция на две променливи. От уравнението (15.1) определя повърхност в триизмерното пространство, и той ще бъде един геометричен образ на функцията.

Домейнът на функция Z = F (X, Y) в най-простите случаи е било част от равнината, ограничена от затворена крива, и точката на кривата (границата), могат да принадлежат или не да бъде собственост на домейн или целия самолет, или, накрая, sovokupnostneskolkih части XOY самолет.


Z

Z = F (х, у)

M Y


Примери за уравнение на равнина могат да служат като г = брадва + от + C

и повърхности от втори ред: Z = X ² + у ² ( параболоид на революция)

(Конус) и т.н.

Забележка. За функцията на три или повече променливи, ние използваме термина "повърхност в N-тримерно пространство", въпреки че е възможно да се представят подобна повърхност.

Линиите и равна повърхност

За функция на две променливи, даден от уравнение (15.1), можем да считаме, множеството от точки (х, у) О равнина XY, за които Z е същата постоянна стойност, която е, Z = CONST. Тези точки образуват линия на самолета, наречена линия на ниво.



Пример.

Ние намираме на нивото на линията за повърхностна Z = 4 - х ² - у ². Тези уравнения имат форма х ² + Y ² = 4 - в (с = конст) - Уравнение на концентрични кръгове, центрирани при произхода и с радиус , Например, ако а = 0, получаваме кръг X + Y ² ² = 4.

За функцията на три променливи U = U (X, Y, Z) уравнението U (X, Y, Z) = C определя повърхност в триизмерното пространство, което се нарича повърхност.

Пример.

За функция U = 3 х + 5 г - 7 Z -12 повърхности ниво е семейство от паралелни равнини, определени от уравнения 3 х + 5 Y - Z -12 + 7 = 0.

Limit и непрекъснатост на функции на много променливи

Ние се въведе понятието δ-квартал на M 0 0, Y 0) на XY равнина около окръжност с радиус от центъра на делтата в даден момент. По същия начин, можем да определим δ-квартала на триизмерното пространство като сфера с радиус делта центрирана в M 0 0, Y 0, Z 0). За наш тримерно пространство, ние ще се нарича δ-квартала на M 0 M множеството от точки с координати Отговаря на условието

където - координатите на точката M 0. Понякога този набор се нарича "топка" в наш тримерно пространство.

Определение. The номер е граница на функция на няколко променливи е най-M 0, ако така че | F (M) - A | <Ε за всяка точка М на δ-квартала на M 0.

Легенда: ,

Моля, имайте предвид, че в този момент M може да е близо до 0 M, относително казано, на всяка траектория вътре в δ-квартала на M 0. Поради това е необходимо да се направи разграничение на ограничението на функция на няколко променливи в общия смисъл на границите на така наречените повторно произведени последователни ограничаващи преходи във всеки аргумент поотделно.

Примери.

  1. Ние показваме, че функцията Тя има лимит като MO (0,0). В действителност, ако линията, на която точка M подходи произхода, изберете линията Y = X, след това по тази линия , Ако ние считаме, траекторията на линията Y = 2 х, тогава , Вследствие на това ограничение в точката (0,0) не съществува.
  2. Нека повторя функционални ограничения като х → 0, Y → 0. , , Ако направите преминаване на границата в обратен ред, получаваме: По този начин, повтарящи граници са различни (което означава, разбира се, че функцията не е в точката (0,0) граница на в традиционния смисъл на думата).

Забележка. Тя може да бъде доказано, че съществуването на границата в даден момент в общоприетия смисъл на думата, и съществуването на този етап ограничения за определени аргументи предполага съществуването на равенство и повтарящи граници. Обратното не е вярно.

дефиниция F на функция Той казва, че е непрекъсната в точка М 0 ако (15.2)

Ако въведем означението , Състояние (15.2) може да бъде пренаписана под формата (15.3)

Определение. Вътрешна точка M 0 домейна на функция Z = F (M) се нарича точка на прекъсване, ако в този момент не са изпълнени условията (15.2), (15.3).

Забележка. Много точки за пробив може да се образува в самолета или в пространството или линия повърхност почивка.

Примери.

  1. функция Z The = х ² + у ² е непрекъсната във всяка точка на самолета за XY. Всъщност, така ,
  2. Единствената точка на прекъсване Това е точката (0,0).
  3. За функцията Онлайн почивка е права линия х + у = 0.

Свойства на граници и непрекъснатост

От дефиницията на граница и непрекъснатост на функции на много променливи е почти същата като на съответните определения за функции на една променлива, функции на много променливи за всички свойства на граници и непрекъснатост, доказани в първата част на курса, а именно:

1) Ако има и че (ако ).

2) Ако и и за всеки аз има граници и там е Където М 0 , Тогава има ограничение на сложна функция при където - координатите на точката P 0.

3) Ако функцията F (M) и г (М) са непрекъснато в M 0, а след това в този момент тя е непрекъсната и F на функция (М) + г (М), KF (М), F (M) • г (М) , F (М) / г ( М) ( когато г (M 0) ≠ 0).

4) Ако функцията непрекъснато 0 на точка Р И функцията е непрекъсната в точка М 0 където , Тогава съставна функция е непрекъсната в точка P 0.

5) Функция непрекъсната затворена ограничената област D, това поле се максималната и минималната стойности.

6) Ако функцията непрекъсната затворена ограничената област D, тази област заема стойности А и В, които тя получава, и D в междинна стойност, която се намира между А и Б.

7) Ако функцията непрекъснато в затворен, ограничен район на D, отнема стойностите на полето на различни признаци, тогава има най-малко една точка от региона D, където е = 0.

частни производни

Помислете за промяна на функцията при определяне на нарастването на само един от неговите аргументи - х I, и го наричаме ,

Определение. Частични производни аргумент х Аз, се нарича ,

Легенда: ,

По този начин, частна производна на функция на няколко променливи, определени в действителност като производно на една променлива - X I. Затова истинските й всички свойства на производни, се оказаха за функции на една променлива.

Забележка. В практическата изчисляването на частично използване на конвенционални правила за разграничаване на функциите на една променлива, ако се приеме аргументът, с който диференцирането се извършва, променлива, а останалите аргументи - постоянен.

Примери.

1. Z = X ² + 2 3 XY -12 у ² + 5 х - 4 Y 2,

2. Z = X Y,

3.

Геометрична интерпретация на частични производни на функция на две променливи

Да разгледаме уравнението на повърхността Z = F (X, Y) и съставя равнина х = конст. Ние избираме равнината на пресичане на линията с повърхността на точка М (х, у). Ако зададете на нарастване на аргумента в делта у и разгледа точка Т на кривата с координати (X, Y + Δ Y, Z + Δ Y Z), допирателната на ъгъла, образуван от пресичането MT с положителната посока на оста О У, е равна на , Отдаване под наем , Ние откриваме, че частично производно Тя е равна на допирателната на ъгъла, образуван от допирателната към точка М, получен в положителна посока на ос О на кривата. Съответно, частна производна равна на допирателната на ъгъл с оста X О тангентата към кривата резултат от повърхността сечение Z = F (х, у) равнина Y = конст на.

Диференцируемост на функции на много променливи

В проучването на въпроси, свързани с диференцируемост, само случая на функция от три променливи, защото всички доказателства за по-голям брой променливи се проведе, както добре.

Определение. Общото увеличение на функцията U = F (X, Y, Z) се нарича

(15.4)

Теорема 1. Ако частните производни съществува в точката 0, Y 0, Z 0) и неговата околност в непрекъснат и точката 0, Y 0, Z 0),

(15.5)

където α, β, γ - безкрайно малки, в зависимост от делта X, делта Y, Z Δ.

Доказателство.

Представя общото нарастване на Δ ф под формата на:

,

където всяка разлика е частично увеличение функция само една от променливите. От условията на теоремата, че тези различия могат да се прилагат и теорема на Лагранж. В този случай ние получаваме:

,

Тъй като хипотеза частните производни са непрекъснати в точката 0, Y 0, Z 0), можете да ги представя под формата на:

където , Това доказва теоремата.

Може да бъде показано, че където , Всъщност, α, β и γ - безкрайно когато ρ → 0, и - Ограничените (защото на техните дялове не превишават 1).

След увеличението на функцията, отговаряща на условията на Теорема 1, могат да бъдат представени като: (15.6)

където (15.7)

Определение. Ако функцията за увеличение U = F (X, Y, Z) в точка 0, Y 0, Z 0) може да бъде изразена като (15.6), (15.7), функцията се нарича диференцируема в този момент, и експресията - Основната линейната част на нарастване или общата разлика на функцията.

Легенда: дю, DF (х 0, Y 0, Z 0).

Както в случая на функция на една променлива, диференциали на независими променливи считат произволно увеличение, така

(15.8)

Забележка 1. По този начин, на изявление "диференцируема функция" не е еквивалентно на твърдението "функция има частични производни" - за диференцируемост изисква повече и приемственост на тези производни в даден момент.

Забележка 2. Ако формулата (15.8) се счита , и частични диференциали на тази функция (като функция на един от аргументите), тогава можем да кажем, че общата разлика е сумата от частичните различия.

Използването на диференциала за приблизителни изчисления

По аналогия с линеаризация функция на една променлива може да бъде в приблизителното изчисление на функция на няколко променливи, диференцируеми в някакъв момент, да го замени с нарастването на разлика. По този начин е възможно да се намери приблизителна стойност на броя на функция (например две) вариабилен съгласно формулата:

(15.9)

където

Пример.

Изчислете приблизителната стойност ,

Да разгледаме функцията и изберете х 0 = 1, у = 0 х 2. След Δ = 1.02 - 1 = 0,02; Δ Y = 1,97 - 2 = -0.03. Намираме ,

Следователно, тъй като е (1, 2) = 3, получаваме:





; Дата: 04.01.2014; ; Прегледи: 1805; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.26
Page генерирана за: 0.063 сек.