Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Линейно пространство

                Нека си поставим полето и линейно пространство в тази област. нека - всички обратими линейни оператори - група за умножение на оператора. нека е произволна група, след това представяне в е хомоморфизъм ,
ако и след това , По свойството на хомоморфизма имаме и , така че имаме действие за както на снимачната площадка.

примери:
1) Помислете за група - група симетрия на тетраедър - имаме хомоморфизъм , Т.е. имаме идея за групата , Това е пример за триизмерно представяне на групата. ,
2) Помислете за куб и група ротации (по отношение на някаква ос), които го превеждат в себе си. Вземете диагонала на куба (общо 4). Всяко завъртане транспонира диагоналите, т.е. е заместване на , Трябва да докажем, че всяка подмяна от изпълняваме, нека го оставим като упражнение. Все пак е необходимо да се докаже уникалността, т.е. ако диагоналите останат на място (т.е. пермутацията е единична), тогава всички върхове остават на място (т.е. трансформацията е уникална), това също ще бъде оставено като упражнение. Така получихме и друго групово представяне. , Това е пример за друг триизмерен изглед.
3) Ние знаем това , Под изоморфизъм - завъртете на ъгъла и - симетрия около оста , Получете груповия изглед като група на симетрия на правилен триъгълник (това представяне е двумерно).
4) Да се ​​върнем към групата. нека изградим двуизмерно представяне на тази група. Помислете за полиноми:

ако след това - пермутация на променливите в съответствие със заместването , Но без значение как пренареждаме променливите, отново получаваме един от тези полиноми. Т.е. пермутация някак си пренаредите нашите три полинома. Получаваме хомоморфизъм (и неговото ядро ​​е ), има и хомоморфизъм , От състава е хомоморфизъм - двумерно представяне на групата ,
5) Помислете за група Показваме безкрайно-размерното представяне на тази група. Вземете полиномен пръстен , След това чрез хомоморфизъм ще бъде представянето на (безкрайно-мерната) група ,
6) Помислете за група и полином на пръстена , нека след това хомоморфизъм по правило ще бъде групово представяне ,

нека и , представяне на и се наричат еквивалентни, ако съществува такова биективно линейно картографиране че и имаме ,
В матричен език (в случай на Това означава следното:
нека - основание в , - матрица в база , - матрица в база , - матрица в база , Тогава условието за еквивалентност на представянията ще бъде пренаписано във формата: , т.е. , Т.е. и - това са матрици на един и същ оператор в бази и , Това, по-специално, предполага това ,

Обмислете отново групата и неговите двумерни изображения:
и ,
Упражнение. ако (характеристика на полето), тогава тези представи са еквивалентни. И ако тогава не е еквивалентно.

В бъдеще ще приемем, че полето - Това е поле от реални или комплексни числа.

Теорема. Всяко крайномерно реално (сложно) представяне на крайна група е еквивалентна на ортогонална (единна).
Доказателство.
                Вземете произволна основа и настройте скаларния продукт: ако и след това , Въвеждаме друг скаларен продукт , Нека докажем, че това наистина е скаларен продукт: , ако след това следователно , Т.е. това наистина ще бъде скаларен продукт.
нека след това , Следователно всеки оператор запазва скаларния продукт и е ортогонален (единичен).

Разследването. Ако подпространството непроменено спрямо всички оператори където след това където подпространство също инвариантни по отношение на всички оператори ,

Определение. нека и , след това представяне такава се нарича пряка сума от представяния и , Представяне и се нарича subviews в ,

От курса на линейна алгебра знаем, че ако - инвариантно подпространство , тогава матрицата на всеки оператор има формата , И ако след това ,

Определение. идея невъзможни ако Няма нетривиални (ненулеви и самото пространство) инвариантни подпространства. Представянето е напълно редуцируемо, ако е директна сума от несъвместими.

Теорема на Машке. Всяко крайно-измерено реално (сложно) представяне на крайна група е напълно редуцируемо.
Доказателство.
                нека , тогава е инвариантно подпространство с минимално ненулево измерение , също инвариантни по отношение на , тогава нашето представяне ще се разложи на пряка сума на невъзпроизводимото ( ) и подпредставителства с по-малък размер. Тогава можем да приложим индукция върху измерението на представянето.

Пример за невъзпроизводимо представяне:
, Нека докажем, че това представяне е невъзпроизводимо, като реално. Да предположим, че е дадено, т.е. има инвариантно подпространство, т.е. чрез теоремата на Машке, тя е директна сума от едномерни представяния, т.е. има основа, в която матрицата е написана в диагонална форма защото всички такива матрици тогава пътуват но това не е вярно. Получихме противоречие с предположението за съществуването на инвариантно подпространство, следователно то не съществува и представянето е невъзпроизводимо.

Упражнение. Докажете, че двумерните представяния на групата, разгледани от нас в началото на лекцията не са еквивалентни и и двата са неприложими.

Теорема. Всяко невъзпроизводимо крайномерно комплексно представяне на абелева група е едномерно.
Доказателство.
                Нека да бъде представена презентацията , нека след това има свой смисъл и собствен вектор , Тогава подпространството на собствените вектори различна от нула. Нещо повече, ние доказваме, че той е непроменен по отношение на всички оператори :
Вземете и нека след това следователно - отново собственият вектор и подпространството са инвариантни.
Т.е. защото представянето е невъзпроизводимо и различна от нула. Т.е. , Вземете произволно и следователно е инвариантно подпространство - едномерни.

Теорема. Броят на нееквивалентни неприложими комплексни представяния на крайна абелева група равно на неговия ред.
Доказателство.
                Вземете произволна абелева група след това , ако отива в след това отива в , т.е. трябва да отидете в root степен от една. За всеки има толкова много възможности, какъв е редът му, комбинирайки всичко, получаваме, че има толкова много опции, какъв е редът на групата.

примери:
                1) , общо има 4 несъвместими комплексни представяния, които ги записваме в таблицата:

(тук в таблицата си струва това, от което се отнася елементът от колоната, когато е представен от реда).
2) - отново ще има 4 изгледа:

3) Общо ще има 2 изгледа:

Едномерното представяне е хомоморфизъм. , Ние описваме всички такива хомоморфизми. защото след това - абелева група. Следователно, ядрото на този хомоморфизъм трябва да съдържа комутанта на групата, т.е. , Даден е хомоморфизъм можем да разгледаме хомоморфизъм в съответствие с правилото: , И обратно, ако е даден хомоморфизъм можем да разгледаме хомоморфизъм което е състав на естествения хомоморфизъм и хомоморфизъм , Така можем да идентифицираме хомоморфизми и хомоморфизми ,
примери:
                1) , , - група по ред 2, , Тя има само два изгледа: и , Т.е. групата Има само две едномерни изображения: и ,
2) , ако - нечетен и ако - дори.
ако - нечетно. Ние имаме Има два изгледа: и ( , ).
ако - дори. Ние имаме , има четири изгледа ( и ).

Теорема. Всяко несъвместимо представяне на сложна група има измерение ,
Доказателство.
                нека - пространство за презентации. нека , помислете - крайни размери. ако след това , Ето защо, - инвариантно подпространство, т.е. поради несъвместимост на представителството следователно крайни размери
оператор има свой собствен вектор такава , означаваме покажете това - непроменено. Ние имаме и , Ето защо, - инвариантно и по силата на несъвместимостта на представянето следователно ,

ако , матрицата на груповото представяне има външен вид , , защото след това , т.е. - това е коренът на степента на ,
Назад към груповите изгледи , нека , т.е. и характеристиките на полето са взаимно прости. Помислете за пространството с база след това - това е презентация. Разграничаваме два подпространства: и , Те са инвариантни.

Упражнение. Докаже, че (тук е важно това ).

Теорема. ако след това - невъзможни.
Доказателство.
                нека , и съществува (без загуба на общности, ние приемаме това ). ако след това (Тъй като ). Следователно, не всички са равни една на друга (без загуба на общности, ние приемаме това ).
Ние имаме , , след това и , Т.е. можем да получим вектор , По същия начин (замествайки вместо това всеки вектор ) получите всички вектори (ако е след това получите вектор да добавим към него получаваме ). тези вектор образуват база в следователно в няма инвариантно подпространство (поради един вектор можем да получим всички вектори ) следователно който не може да бъде намален.

при представянето, което току-що получихме, е еквивалентно на диедралната група (двуизмерно представяне).
при това представяне е еквивалентно на симетричната група на тетраедъра (триизмерно представяне).
при има едномерна и пространствено представяне.





Вижте също:

Външни продуктови групи

Пръстенът се нарича комутативен, асоциативен, анти-комутативен. Линг пръстен в алгебра

Алгебра на Вейл

Група G и нейните нормални подгрупи

Дискретни подгрупи в алгебра

Връщане към съдържанието: Алгебра

2019 @ ailback.ru