Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Стабилност на автоматичните системи.

Както терминът „устойчивост“ се използва в общото разбиране, така и в автоматиката този термин до известна степен предполага способността на всяка система да устои на фактори, които изваждат системата от равновесие. Строгата формулировка е следната.

Устойчивостта е способността на една система да достигне до състояние на равновесие след прекратяване на факторите, които го изваждат от равновесие. Състоянието на равновесие се характеризира с инвариантност във времето на регулираните стойности. Ако системата не достигне състояние на равновесие и безкрайно далеч от нея, тя не е стабилна. Нестабилните системи не могат да бъдат експлоатирани, тъй като има неконтролирана промяна в контролираните стойности. По правило загубата на стабилност от страна на системата води до инциденти на обекта на регулиране и често катастрофални по своята същност. Като примери е възможно да се посочи накланянето на кораби, които са загубили стабилност, унищожаването на двигатели ("разстояние"), експлозиите в химическите заводи и т.н. Следователно изискването за устойчивост е задължително за всяка работеща система. Трябва да се отбележи, че загубата на стабилност на АТС може да настъпи поради промени в нейните свойства, причинени както от износване, така и от повреда на елементи, и (много често) от неквалифицирани действия на човек при опит за промяна на настройката на системата или по време на прилагането на превантивни мерки. Забележете също, че концепцията за устойчивост има качествен характер, но не и количествен. Така че, може да се каже за системата, че тя е стабилна или нестабилна, но не може да се каже, че системата е „повече“ или „по-малко“ стабилна.

Природата на преходните процеси в стабилни и нестабилни системи под действието на външни фактори може да се види на Фигура 3.29. Стабилните системи в края на преходния процес достигат до някаква стационарна стойност на регулираната стойност (фиг.3.19, а), в нестабилните системи (фиг.3.19, б) регулираната стойност се променя безкрайно. Ако процесът в системата е в природата на стационарни колебания (като границата между затъмнените и отклоняващите се колебания), тогава се казва, че системата е на границата на стабилността (фиг. 19.19 в). Ясно е, че единствено вариант (3.19, а) е приемлив за практическо използване. Така външният знак на една стабилна система е ограничен размер на регулираното количество: y = огр.

и
б
в
т
т
при
при
при
т

Ris.3.19. Преходни процеси в системите:

а - устойчиво; b - нестабилна;

в - АТС на границата на стабилност.

Първоначалните данни за решаване на проблема със стабилността на една система е нейното математическо описание. Първото решение на този проблем, не без недостатъци, е дадено от английския физик Джеймс Максуел (1868).

Оценка на устойчивостта на ДАБ от корените му

характеристично уравнение (теоремата на Максуел)

Нека системата бъде описана с диференциално уравнение

(a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 ) y = bx. (3.69)

Решението му, както всяко линейно уравнение, се търси във формата

,

където е общото решение на хомогенното уравнение

(a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 ) y = 0, (3.70)

- определено решение на уравнението (3.69) .Условието за ограниченост на y е ограничеността на тези две термини.

Както винаги, конкретното решение е стойността на регулираната стойност в новото стабилно състояние, причинено от експозицията x = x 0 :

= const. ; x = x 0 .

Заместването в (3.69) дава условието за стабилно състояние:

a 0 = bx 0 , = bx 0 / a 0 .

В реални условия въздействието винаги е ограничено по големина и следователно конкретното решение е ограничено. Това води до важен извод: дясната страна на диференциалното уравнение не влияе на стабилността на линейната система, следователно тя не зависи от външни влияния дали системата има свойство за стабилност или не. Така стабилността на SAR се определя само от типа на лявата страна на уравнението. Общо решение:

= C 1 exp (p 1 t) + C 2 exp (p 2 t) +… + C n exp (p n t), (3.71)

където C 1 , C 2, ... C n са интегралните константи, p 1 , p 2 , ... p n са корените на характеристичното уравнение

a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 = 0.

Тъй като интегралните константи са ограничени, очевидно е, че ограничеността на общото решение зависи от типа на функциите

exp (p k t), k = 1,2, ... n,

т.е. от корените на характеристичното уравнение. В общия случай, сред корените могат да бъдат реални, сложни и въображаеми. Всеки тип корен в израза (71) съответства на определен вид добавка и, естествено, изисква се ограничеността на всяка от тях (Таблица 1).

Таблица 1

Главен изглед Преглед на елемента
real p k = a k C k exp (a k t)
комплекс p k , k + 1 = a k ± w k i exp (a k t) [C k cos (w k t) + C k + 1 sin (w k t)]
Въображаемо р k, k + 1 = ± w k i C k cos (w k t) + C k + 1 sin (w k t)

Третият случай дава неразлагащ компонент в общото решение и ако другите компоненти са сходни, тогава системата е на границата на стабилност. Това свойство често се използва при анализиране на стабилността на АТС. Изразът в квадратни скоби е ограничена стойност. Така, ограничеността на общото решение зависи от това дали функциите exp (a k t) са ограничени или не за всички k Î [1, n]. При явно t> 0 това изисква това


, k = 1,2, ... n. (3.72)

Теоремата на Максуел: за стабилността на линейната система е необходимо и достатъчно, че реалните части на всички корени на характеристичното уравнение на тази система са отрицателни.

Специални случаи: достатъчни условия за стабилност на системите от първи и втори ред.

Характерно уравнение SAR 1 ред

a 1 p + a 0 = 0

има един реален корен p = -a 0 / a 1. Той е отрицателен, ако и двата коефициента имат едни и същи знаци. Като се има предвид възможността за промяна на знаците на двата коефициента в обратна, достатъчно условие за стабилност може да бъде формулирано като изискване за положителността на коефициентите на характеристичното уравнение.

Характерно уравнение CAP 2 ред

a 2 p 2 + a 1 p + a 0 = 0

има корени

,

Анализът на този израз води до заключението, че тук достатъчно условие за стабилност е позитивността на всички коефициенти на характеристичното уравнение, а ако коефициентите се различават по знака, тогава системата е нестабилна.

Стабилност SAR високи поръчки.

За стабилността на системите от 3 и по-високи поръчки е необходимо, но не достатъчно, изискването за положителност на всички коефициенти на характеристичното уравнение. С други думи, ако всички корени имат отрицателни реални части, тогава всички коефициенти ще бъдат положителни, но обратното не е вярно.

Изчисляването на корените на уравненията от трета и четвърта степен е свързано със значителни трудности, а корените на уравненията на петото и висшето ниво, съгласно теоремата на Авел, не могат да бъдат изразени чрез коефициенти, използвайки знаците на алгебричните действия и операцията по извличане на квадратния корен. Това означава, че с несъмнената валидност на теоремата на Максуел неговата употреба е ограничена. Ето защо, такива методи за анализ на стабилността на системите са разработени, когато не е необходимо намиране на корени. Всички тези методи се наричат ​​критерии за устойчивост. Тук смятаме, че е възможно да разгледаме най-често срещаните.

Критерий Хурвиц (1895).

Системно уравнение на ред n

a n p n + a n-1 p n-1 + a n-2 p n-2 +… + a 2 p + a 1 p + a 0 = 0

ще има корени само с отрицателни реални части, ако са изпълнени следните изисквания:

Всички коефициенти на характеристичното уравнение и всички диагонални непълнолетни от детерминантите на Hurwitz трябва да бъдат положителни:

и k > 0, k = 0,1,2, ..., n; M k > 0, k = 0,1,2, ..., n-1.

Правилото за съставяне на детерминанта Хървиц.


a n-1 a n-3 a n-5 ……………… ... 0

a n a n-2 a n-4 …………………. ,

0 a n-1 a n-3 . …………………. ,

0 a n a n-2 ………………… ...

M 0 = ....... … ………………………………….

, 0 …………………… .a 0 … ..0

, 0…. ………………… a 1 0

0 0… .. ………………… a 2 a 0

Коефициентите на уравнението са подредени последователно по главния диагонал, започвайки от втория отляво. Подреждането на коефициентите в колоните отгоре-надолу съответства на местоположението им в уравнението от дясно на ляво. Местата на липсващите коефициенти са запълнени с нули. Диагоналните непълнолетни са детерминанти, получени от детерминанта на Хурвиц чрез последователно пресичане на правилните колони и долните линии. Например непълнолетен с индекс (n-3) изглежда така:

a n -1 a n -3 a n -5

M n-3 = a n a n-2 a n-4 = a n-1 a n-2 a n-3 + a n a n-1 a n-5 - a n a n-3 2 - a n -4 a n-1 2

0 a n -1 a n -3 .

Имайте предвид, че в приетата от нас процедура на индексиране, малкият индекс съвпада с индекса на коефициента в долния десен ъгъл.

Изменение на критерия на Хюрвиц - критерий на Liénard-Shipar. Авторите на този критерий установиха, че е възможно да се справят с по-малко неравенства, отколкото се изисква от критерия на Хурвиц. Според този критерий изискването за позитивност на всички диагонални непълнолетни се заменя с изискването за позитивност на диагоналните непълнолетни с нечетни индекси.

Критерият на Михайлов (1938).

Нека собственият оператор на системата има формата

D (p) = a n p n + a n-1 p n-1 +… + a 1 p + a 0 . (3.73)

Ако p 1 , p 2 , ..., p n са неговите корени (макар и неизвестни за нас), тогава, съгласно теоремата Безу, тя може да бъде представена като продукт.

D (p) = a n (p - p 1 ) (p - p 2 ) ... (p - p n ). (3.74)

Направете подмяна p = iw:

D (iw) = a n (iw - p 1 ) (iw - p 2 ) ... (iw - p n ) = U (w) + iV (w). (3.75)

Изследваме сложната равнина в координатите (a, iw) на поведението на вектора (iw - p k ) при промяна w от - ¥ до + ¥, още повече, а и w са реалните и въображаемите части на корена p k . Тъй като за една стабилна система a <0, конструкциите са разположени отляво на въображаемата ос (фиг. 3.2.20).

α
p k
iω-p k
π
ω → + ∞
ω → -∞


Ris.3.20. Поведението на различния вектор.

При промяна на w от - ¥ до + ¥, векторната разлика се върти в положителната посока с ъгъла p:

arg (iw - p k ) = p, wÎ (- ¥, + ¥).

Векторът D (iw) = U (w) + iV (w) е произведението на векторите и при промяна w от - ¥ до + ¥ неговото въртене ще бъде np, като сумата от завоите на отделните вектори:

arg [U (w) + iV (w)] = np, wÎ (- ¥, + ¥).

Чрез даване на w стойности в диапазона (- ¥, + ¥) и изчисляване на компонентите на вектора U (w) и V (w), можем да конструираме крива в U и iV координатите на комплексната равнина. Тази крива е симетрична спрямо действителната ос. Обикновено разгледаме неговата половина, съответстваща на промяната на w в диапазона (0, + ¥), и тази крива се нарича кривата Михайлов. Очевидно, за този диапазон на промяна w, въртенето на вектора U (w) + iV (w) ще бъде

arg [U (w) + iV (w)] = n (p / 2), wÎ (0, + ¥).

Това предполага формулирането на критерия на Михайлов.

АТС е стабилна, ако Михайлова крива започва на положителната част на реалната ос и преминава последователно толкова много четвъртинки от комплексната равнина, какъв е редът на уравнението на системата.

Примери за кривите на Михайлов за стабилни системи от различни поръчки са дадени на фиг.3.21.

U
U
U
Л
Л
Л

Фигура 3.21. Кривите на Михайлов са стабилни ATS 3, 4 и 6 порядъка.

За нестабилните АТС кривите на Михайлов не преминават през правилния брой четвъртинки (фиг. 3.22).

U
Л

Фигура 3.22. Нестабилен ATS 4 ред.

Прилагане на критерия Михайлов.

1. Запис на собствения системен оператор

D (p) = a n p n + a n -1 p n -1 + ... + a 1 p + a 0 .

2. Замяна p = iw се прави:

D (iw) = a n (iw) n + a n-1 (iw) n-1 +… + a 2 (iw) 2 + a 1 iw + a 0 = U (w) + iV (w).

3. Истинските и въображаемите части се различават:

U (w) = a 0 - a 2 w 2 + a 4 w 4 - a 6 w 6 + ...;

V (w) = a 1 w - a 3 w 3 + a 5 w 5 -a 7 w 7 + ...

4. Като се вземе за w серия от стойности в диапазона (0, ¥), се изчисляват съответните стойности на координатите на вектора на кривата Михайлов и тази крива се конструира.

5. По формата на кривата се прави заключение за стабилността.

Забележка. За всяка система кривата Михайлов отива до безкрайност в тази четвърт, която е реда на системата, и това свойство трябва да се използва при избора на диапазона на вариация на w.

Критерийът на Найкуист (1932).

Този критерий дава възможност да се прецени стабилността на затворен САР чрез формата на амплитудно-фазовите характеристики на тази система в отворено състояние. Между AFC на система с отворен контур Wp и затворен W 3, съотношенията са:

W3 = Wp / (1 + Wp); Wp = W3 / (1-W3).

Помислете за схемата на ДАБ в ris.23.23. Система с предавателна функция в отворено състояние Wp се затваря с единична отрицателна главна обратна връзка.

W p
-1
x = A x sinwt
y = A y sin (wt + φ)
-y


Ris.3.23. Затварянето на открит SAR.

Умишлено прекъснете затворената верига на мястото, посочено от пунктираната линия. Ние възбуждаме входната хармоника x. Колебания на изхода на отворена система

y = A y sin (wt + j),

и на изхода на връзката за обратна връзка, осцилациите ще имат обратен знак, който може да се интерпретира като фазово изместване с ъгъл р:

y = - A y sin (wt + j) = A y sin (wt + j - p).

Ние приемаме някаква честота, при която фазовото изместване, водещо до отворена система,

j = p.

Ако на тази честота се окаже, че амплитудата A y е по-малка от A x , това означава, че при преминаване през отворената ATS осцилациите се разпадат и ATS в затворено състояние ще бъде стабилен. Ако напротив - затворен SAR е нестабилен. Тъй като съотношението на амплитудата на изходните колебания към амплитудата на входните осцилации е AFC модулът, то е с честота, съответстваща на фазовото изместване p за стабилна система по-малка от единица. Оттук и формулирането на критерия за Найкуист.

Затворената система ще бъде стабилна, ако съответната отворена система е стабилна, а AFC на последната не покрива точката с координати (-1.0i) (фиг. 3.24).

М
в
а
,
, 0и
М
в
б
,
-
1,0i


Ris.3.24. AFC отворени системи:

a - затворена система е стабилна;

b - затворената система е нестабилна.

D е разделянето на пространството за параметри.

Този метод за анализ на САР за устойчивост се различава от другите по това, че дава отговор не само на въпроса дали САР е стабилен или не, но и дава възможност за определяне на някои параметри на системата, които ни интересуват областите на тези параметри, при които САР запазва свойството на устойчивост. Най-често срещаният D-разделен по два параметъра.

Нека характеристичното уравнение на SAR има формата

a n p n + a n-1 p n-1 + ... + ap k + ... + Bp s + ... + a 1 p + a 0 = 0, (3.76)

където А и В са коефициентите на уравнението, за което искаме да намерим онези области, в които ОСП е стабилна. Извеждаме системата към границата на стабилност, за която изискваме наличието на чисти въображаеми корени на уравнението (3.76) p = iw:

a n (iw) n + a n-1 (iw) n-1 + ... + A (iw) k + ... + B (iw) s + ... + a 1 (iw) + a 0 = 0. (3.77)

Сложното число, записано в ляво, е нула по дефиниция, когато неговите реални и въображаеми части са нула. Избирайки ги, получаваме:

F1 (A, w) = 0; F 2 (B, w) = 0. (3.78)

Понякога е възможно да се изключи w от тези уравнения и след това се получава зависимостта

B = f (A). (3.79)

Функцията B = f (A) е границата на стабилност и показва въображаемата ос на комплексната коренова равнина. Той разделя областта на възможните стойности на А и В според необходимото условие за стабилност в райони на стабилност и нестабилност. Да се ​​подчертае областта на устойчивостта е най-лесният начин да се направи това. Задайте в някоя област точка с координати (A = A 1 , B = B 1 ) и с помощта на някой от критериите, разгледани по-рано, анализирайте тази конкретна система за стабилност. Ако резултатът се окаже положителен, това означава, че цялата зона, към която принадлежи избраната точка, е зоната на стабилност и тя се прекъсва по границата с посоката на люка навътре. Ако линията на границата на стабилността има самопресичане, тогава излюпването продължава по кривата по същата страна, докато напуска зоната. Типичен пример за D-деление е критерият Vyshnegradskii, разгледан по-долу.

Критерий Вишнеградски (1876).

Тя се разпростира до системи от третия ред и е разработена своевременно поради необходимостта от анализ на ОСП на скоростта на вала на парния двигател с центробежен регулатор с директно действие. Уравнение на характеристиката на системата

a 3 p 3 + a 2 p 2 + a 1 p + a 0 = 0.

Чрез обмен на променливата

p 3 (a 3 / a 0 ) = U 3 ,

стигна до израза

U 3 + AU 2 + BU + 1 = 0, (3.80)

наречен уравнението на Вишнеградски, където коефициентите

;

наречени параметри на Вишнеградски.

Най-напред отбелязваме, че необходимите условия за стабилност се изразяват в тази форма:

A> 0, B> 0. (3.81)

Извеждаме системата към границата на стабилност, за която заместваме p = iw в уравнение (3.80):

(iw) 3 + A (iw) 2 + B iw + 1 = 0,

че след отделяне на реалната и въображаемата част се дава


1 - aw 2 = 0

Bw - w 3 = 0. (3.82)

От второто уравнение на системата (82) заместваме в първото w 2 = B, с което заедно с (81) получаваме условията за границата на стабилност:

A> 0, B> 0, AB = 1. (3.83)

На Вишнеградската диаграма (фиг.3.25) кривата, наречена Вишнеградска хипербола, е границата на стабилността и разделя обхвата на възможните стойности на коефициентите А и В на две части, една от които е областта на стабилност. За да открием тази област, разглеждаме умишлено стабилна система, чиито корени на характерното уравнение

U 1 = U 2 = U 3 = - 1.

Тогава характеристичният полином може да бъде представен като

U 3 + AU 2 + BU + 1 = (U - U 1 ) (U - U 2 ) (U - U 3 ) = (U + 1) 3 = U 3 + 3 U 2 + 3 U + 1,

откъдето A = 3, B = 3. Тези координати определят точката M на диаграмата, следователно, площта над хиперболата Vyshnegradsky е областта на стабилност. Тогава условията на стабилност се записват по следния начин:

A> 0, B> 0, AB> 1.

,
М
стабилна.
AB = 1
А
Най-

Фиг. 3.25. Диаграма на Вишнеградски.





Вижте също:

СЪВРЕМЕННИ СРЕДСТВА ЗА РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМИТЕ НА АВТОМАТИЧНАТА ТЕОРИЯ ЗА РЕГУЛИРАНЕ

Обект на регулиране.

ЛИНЕЙНИ АВТОМАТИЧНИ СИСТЕМИ

Основните различия на нелинейните системи от линейните.

Автоколебанията в нелинейния SAR и физическата картина на тяхното възникване.

Връщане към съдържанието: АВТОМАТИЧНА ТЕОРИЯ ЗА РЕГУЛИРАНЕ

2019 @ ailback.ru