Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Хомоморфизъм | Мономорфизъм | Епиморфизъм | Изоморфизъм | Автоморфизъм в алгебрата

Определение. показ се нарича хомоморфизъм ако , Инжективен хомоморфизъм се нарича мономорфизъм . Сюръективният хомоморфизъм се нарича епиморфизъм . Биективният хомоморфизъм се нарича изоморфизъм . Изоморфизъм на група върху себе си се нарича автоморфизъм .

примери:
                1) , , - хомоморфизъм.
2) , , - хомоморфизъм.
3) - група от афинни трансформации пространствена карта на - група от линейни трансформации пространството. Нека сложим афинна трансформация в съответствие с нейния диференциал, т.е. - ще се случи афинна трансформация , Това ще бъде хомоморфизъм.
4) Да има група вземете артикул , Автоморфизъм на конюгация с използване на елемент : , Този автоморфизъм е нетривиален (не е идентичен), ако има такава ,

Определение. Групата се нарича абелова ( комутативна ) ако ,

Оферта. ако - тогава хомоморфизъм и ,
тук - един елемент от групата , - един елемент от групата , - обратно елемент на групата , - обратно елемент на групата ,
Доказателство.
                1) От след това , Ние имаме
,
2) следователно ,

Оферта. homomorphism е мономорфизъм ако и само ако трябва да бъде , т.е. пълният префикс на единицата е равен на единица.
Доказателство.
ако мономорфизъм и , защото и инжекционна, а след това ,
нека (пълен прототип) и. \ t , след това
, По условие , т.е. , следователно - инжектиране, т.е. е мономорфизъм.

Определение. Нека картографиране - групов хомоморфизъм. Тогава ядрото на тази карта е множеството , т.е. пълен прототип на устройството.

Според предишното изречение получаваме - мономорфизъм, ако и само ако ,

Упражнение. нека е хомоморфизъм на групи, докажете това е подгрупа от ,

Определение. подгрупа в група наречена нормална (обозначена с ) ако , т.е. ако ,

Оферта. нека - подгрупа в , тогава следните изявления са еквивалентни:
1) ;
2) ;
3) всяка дясна съседна класа съвпада с лявата, т.е. ,
Доказателство.
Очевидно е.
Ние трябва да докажем това нека след това , следователно следователно , По същия начин назад: следователно и ,
Ние имаме това , Вземете произволен елемент след това , т.е. но тогава , Разбрахме го , Сега ще покажем, че по този начин можете да получите всеки елемент от , т.е. че , ако след това следователно но тогава , следователно ,

например:
С помощта на това изречение е възможно да се докаже това не е нормална подгрупа в защото неговите леви и десни съседни класове не съвпадат.

Теорема. нека - тогава хомоморфизъм ,
Доказателство.
Първо доказваме това е подгрупа от ,
ако , тогава защото ,
ако , тогава защото ,
Сега ще докажем нормалността на тази подгрупа.
следователно и ,

примери:
1) , , след това ,
2) , , след това ,
3) , , след това ,

Оферта. ако - хомоморфизъм и след това ,
Доказателство.
,

Определение. нека групов фактор е съвкупност от съседни класове за с операция ,

Теорема. - групата .
Доказателство.
Първо, доказваме, че операцията е определена правилно. нека и покажете това , Ние имаме и след това , и следователно ,
Асоциативност на операцията: ,
Единичен елемент: ,
Обратен елемент: ,

показ , наречен естествен епиморфизъм.

Теорема. показ - епиморфизъм и ,
Доказателство.
защото , тогава всеки съседен клас има тип, следователно, това е епиморфизъм. защото след това ,

Теорема (за хомоморфизъм). нека тогава е хомоморфизъм на групи (Изоморфни).
Доказателство.
Изграждане на изоморфизъм : , , Това преобразуване е определено правилно, защото ,
Нека докажем, че това е хомоморфизъм:
,
Доказваме биективност, т.е. какво е изоморфизъм. защото Това преобразуване е биективно.

например:
Нека покажем как да докажем изоморфизъм с помощта на тази теорема. , Трябва да дефинираме хомоморфизъм такава , Например , Тогава, чрез теоремата за хомоморфизма, ще имаме ,
Лекция 3 (17.09.2001)

Теорема. Циклична група поръчки изоморфна на група ,
Доказателство.
нека , Определете хомоморфизъм както следва: , Това е хомоморфизъм, тъй като , Тогава, чрез теоремата за хомоморфизма, имаме ,

Упражнение. Безкрайната циклична група е изоморфна на група ,

Определение. нека - група. - произволен набор. действа ако има картиране , т.е. коя двойка свързва някакъв елемент , и и ,

примери:
                1) действа - пространствено пространство, съгласно следното правило: нека - основа, в нея е вектор има координати след това ,
2) Нека - подгрупа в след това действа според правилото ,
3) Нека и , Имаме естественото действие на симетричната група на множеството ,
4) Нека и - полиноми от неизвестен. Действието се определя от правилото ,
5) действа чрез конюгиране , защото и тогава действително ще бъде действие.

Оферта. нека действа и след това картографиране е биекция на комплекта ,
Доказателство.
За да се докаже този факт, достатъчно е да се посочи обратното картографиране. Те ще се покажат , Това наистина ще бъде обратното, защото и , Следователно, това е биекция.

Определение. нека действа и , орбита - Много е , стабилизатор - Много е ,

Упражнение. Докаже, че е подгрупа от ,

Определение. нека - група , centralizer - Много е , Конюгиран клас, съдържащ - Много е ,

примери:
1) С действие за - пространството ще бъде само две различни орбити: всички ненулеви вектори (орбита на всеки ненулев вектор), нула (нулева орбита).
2) Под действието на подгрупата за група имаме и ,
3) В действие имаме спрежение , ,

Оферта. Ако орбитите се пресичат, те съвпадат.
Доказателство.
нека , имаме следователно , имаме , По същия начин имаме ,

Оферта. ,
Доказателство.
Да приемем това но тогава , Следователно, съществува биекция между множеството орбити и множеството леви козмети за , следователно е броят на различните съседни класове и според теоремата на Лагранж ,

Разследването. ,

Упражнение. Докаже, че ако след това ,

Определение. нека действа , елемент се нарича фиксиран ( инвариант ) по отношение на това действие, ако , т.е. ако ,

примери:
1) Под действието на симетрична група върху полиноми са фиксирани симетрични полиноми.
2) В действие на себе си чрез спрежение имаме този елемент неподвижно ако и само ако , Наборът от всички фиксирани елементи на група се нарича център на група. (обозначен с ).

Упражнение. е нормална абелова подгрупа от ,

Теорема. нека - Полето, после ,
Доказателство.
нека ако то е неподвижно, тогава , Ние пишем това равенство:
,
В лявата матрица на място струва един елемент и дясно следователно , а останалите елементи са нули. защото това е вярно за всички матрицата диагонал и диагонал са еднакви числа, т.е. ,

Упражнение. Намерете групови центрове и ,

Теорема. при ,
Доказателство.
Вземете - всяко еднократно заместване. Разлагаме го в продукт от независими цикли:
1) Да предположим, че има два цикъла в това разлагане, т.е. , Вземете заместването след това ,
2) Да предположим, че има поне един цикъл от дължина 3 в това разлагане, т.е. , , Вземете заместването след това ,
3) Да предположим, че има само един цикъл от дължина 2 в това разлагане, т.е. , защото работим в група при тогава има , Вземете заместването след това ,
Останалият случай - не един цикъл - това ще бъде едно заместване. Следователно може да бъде фиксирано само едно заместване.

Упражнение. Докаже, че ,

Теорема. Две замествания от са конюгирани ако и само ако имат една и съща циклична структура, т.е. групите от дължини на цикъла са еднакви.
Доказателство.
, нека след това , защото , тогава следователно тези цикли са независими и имаме една и съща цикълна структура.
, Нека покажем с пример как дадени от две замествания и намери замяна такава , нека и след това следователно ,

Определение. група Тя се нарича -група, ако нейният ред е основна сила ,

Теорема. ако - - след това група ,
Доказателство.
Прекъсване към класове спрегнати елементи (те не се пресичат) , Единичните класове се състоят от един централен елемент. ако - не е единичен клас, - разделено на , Ние имаме това където отговаря на всички сингълтони, и - не е единичен. следователно следователно ,

Разследването. Група за поръчка ( просто).
Доказателство.
ако след това по теорема или ,
1) Нека след това , следователно цикличен, т.е. , нека след това и нека след това защото , Ние имаме това (елементи и пътувам с и един с друг, защото те са централни). следователно - Абелийски и , т.е. , имам противоречие с факта, че ,
2) Ако след това оттам и групата Abelian.
Лекция 4 (24.09.2001)

Теорема (1-ва силовска теорема). нека - група за поръчка където - просто число, след това в група има подгрупа на ред ,
Доказателство.
Доказателството се извършва чрез въвеждане в реда на групата.
Основна индукция.
ако твърдението е очевидно, можем да приемем самата група като подгрупа.
Индуктивен преход.
1) Нека групата има нецентрален елемент, т.е. , нека - клас от конюгатни елементи, съдържащи , защото след това освен това където - това е централизаторът на елементите , Ние знаем това винаги подгрупа.
1а) Нека след това и , Тогава, от хипотезата за индукция (оттогава ) в и следователно в , има подгрупа на ред ,
1б) Нека , т.е. , Разбийте групата за несъвпадащи класове на спрегнати елементи. , , защото след това ,

Лема. нека е крайната абелева група и - просто разделяне на числа след това в има елемент на ред ,
Доказателство.
Извършваме индукция по ред. ,
Основна индукция: ако Изявлението е очевидно.
Индуктивен преход.
1) Ако редът на елемент е разделен на тогава нека след това ,
2) Нека редът на всеки елемент не бъде разделен на , Вземете произволен (не единичен) елемент , Ще разгледа след това - разделено на , По индукционната хипотеза , t.ch. , Ще разгледа в , нека - естествен хомоморфизъм след това , По теоремата за хомоморфизма след това , Т.е. акции , Т.е. поръчката разделен на , което противоречи на предположението в параграф 2. Лемата е доказана.

Връщаме се към доказателството на теоремата. Ние имаме това , и - Абелева група. По лема в има елемент ред , нека след това и (Тъй като - централният елемент). след това , По индукционната хипотеза има подгрупа ред , Помислете за естествения хомоморфизъм , помислете за пълния префикс на подгрупа : , т.е. и , По теоремата за хомоморфизма и ,
2) Ако сте в тогава няма елементи извън центъра , т.е. е абелева група. Аргументирайки както в предишния параграф, прилагайки леммата, получаваме твърдението на теоремата. Теоремата е доказана. ,

Определение. нека - заключителна група и където - просто число и , Тогава подгрупата в ред наречена Силоу -подгрупа .

Теорема (2-ра силовска теорема). нека - заключителна група - просто число, което разделя реда на група. Тогава всеки -подгрупа (подгрупа поръчка ) се съдържа в някои силовски, в допълнение, всяка две силовски подгрупи са конюгати.
Доказателство.
нека - -група в , - Силоу подгрупа. нека , Дефинирайте действието: действа по правилото: ако след това , - не е разделена на , орбита , където - определена функция от , Прекъсване върху несвързани орбити на действие , Ако всички орбити не са единични, тогава което е погрешно. Следователно, има една-елементна орбита, т.е. там такава което е еквивалентно на състоянието но - Силова подгрупа.
ако - Тогава Силов защото те имат същия ред. Следователно двете силовски подгрупи са спрегнати.

Теорема (3-та силовска теорема). нека - броят на различните силовци -групи в , след това акции и ,
Доказателство.
нека - Наборът от всички Силов -групи в след това , за групата действа чрез конюгиране, т.е. ако и след това , По втората теорема на Силов е орбитата на всяка силоу подгрупи. Т.е. с това действие има само една орбита и следователно ,
нека разглеждане на действието в спрежение. отново се разбива на орбита и редът на всеки от тях се разделя и следователно е степента на броя , но е непроменено по отношение на това действие, т.е. - това е едноелементна орбита. Да предположим, че все още има някаква едноелементна орбита, например, , т.е. , нека ,

Лема. Много е подгрупа от и ,
Доказателство.
нека и , след това
и
, т.е. - наистина е подгрупа.
нека и където и след това
, т.е. , Лемата е доказана.

Завършваме доказателството на теоремата. Помислете за тази подгрупа , след това , т.е. , нека - естествен хомоморфизъм. след това , Но ако след това където и след това следователно , В този случай акции , т.е. - степен на число , следователно - степен на число и , защото - Силоу, това , но , По същия начин получаваме това , Но по предположение и различен, имам противоречие.
Така че само една едно-елементна орбита ( ), тогава редът на всяка друга орбита е разделен на следователно ,

Приложения на теоремите на Силов.
1) Вземете група намери Силов подгрупи. ние знаем това , т.е. и силоу -подгрупата има ред , Една от подгрупите на Силов е подгрупа. останалите са свързани с нея, т.е. са равни ,
2) Помислете за група , , Нейните силовски 2-подгрупи (общо 3): , , , Нейната силовска 3-родна група (тя е само една): ,
3) Помислете за група , , Силовските 2-подгрупи от всички могат да бъдат 1 или 3. Вземете , Помислете за подгрупите , , , ... Всички те са силовски и сред тях има различни, следователно има три силовски 2-подгрупи. Силовски 3-подгрупи (общо 4): , , и ,

Упражнение. Докаже, че ако - най-малкото разделяне на простото число и - индексна подгрупа (има само различни съседни класове за ), след това ,





Вижте също:

Абелева група в алгебра

Външни продуктови групи

Пръстенът се нарича комутативен, асоциативен, анти-комутативен. Линг пръстен в алгебра

Теорема: Всяка целочислена правоъгълна матрица се свежда до диагонална форма чрез елементарни преобразувания на редове и колони.

Неабелева група

Връщане към съдържанието: Алгебра

2019 @ ailback.ru