Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Аварийни ситуации ВКонтакте
border=0

Евклидово пространство

Нека ни бъде дадено евклидово пространство размерност , Нека да имаме и метрика където - точков продукт на вектори и , Космическо движение - това е биективна трансформация. пространство запазване на разстоянието между векторите, т.е. ,

Упражнение. Дали произволна трансформация, запазваща дължина, е биекция?

Теорема. нека - Движение тогава където - ортогонална трансформация и - някакъв вектор. Обратното също е вярно.
Доказателството на тази теорема е актуално с Линейната алгебра.

Обмислете много - всички космически движения ,

Теорема. - група относно действието на състава на трансформациите.
Доказателство.
                нека и след това - движение отново.
Трансформацията на единица е трансформацията на идентичността.
Обратното преобразуване е ,

Обмислете много - Наборът от всички смени. Формулата на последната теорема показва това е подгрупа от , Помислете и за много - множеството от всички ортогонални трансформации този набор също ще бъде подгрупа от ,
По първата теорема произволна трансформация има формата , В този запис, векторът еднозначно, тъй като , Оттук и ортогоналната трансформация еднозначно определен. Тази трансформация наречена разлика в конверсията и обозначен с ,
От формулата на втората теорема имаме това , т.е. разликата има мултипликативната собственост.

Теорема. Картиране на движение разликата е епиморфизъм и сърцевината на този епиморфизъм е ,
Доказателство.
                Фактът, че това е хомоморфизъм на групи, следва от свойството на мултипликативността на диференциала. ако след това следователно този хомоморфизъм е сюръектив (т.е., той е епиморфизъм). Ядрото е всички движения, чийто диференциал е равен на трансформацията на идентичността, т.е. всички движения на вида , т.е. много смени ,

Разследването. и ,

Оферта. ,
Доказателство.
                нека - смяна на вектор , ние свързваме този вектор с такава трансформация , Тогава, ако - смяна на вектор , - смяна на вектор , Следователно това преобразуване към векторно преобразуване е биективно ,

Определение. подгрупа в наречена кристална графика, ако
1) - дискретна групова подгрупа ранг ,
2) - заключителна група.

Ние описваме всички кристално-графични групи в двумерния случай.

Оферта. ако и след това ,
Доказателство.
                нека - смяна от и - трансформация с диференциал , след това следователно (Тъй като - нормално).

нека - основание в (тя също ще бъде основа в цялото линейно пространство ). В група всички цялостни комбинации от тези вектори са разположени, т.е. целочислена решетка, генерирана от тези вектори. С предишното упражнение ние доказахме, че групата превежда тази мрежа в себе си. Матрица на всеки оператор цяло число в база , т.е. е цяло число.
група наречена пространствена група.
група наречена точка .

Теорема. нека и - група от ортогонални оператори с детерминант (т.е. съдържа само собствени преобразувания). след това - циклична група поръчки ,
Доказателство.
                нека - ортогонална основа на пространството и тогава неговата матрица е , Освен това, нейният отпечатък - цяло число. следователно , т.е. , Посочваме всички възможни опции за групата в зависимост от това, кой ред се съдържа:


група завъртания

групови елементи

поръчката

1

2

3

4


6

В тази таблица не всички матрици са цели числа, но съществуват такива бази (за всеки случай това е негово собствено), че в тях тези матрици ще бъдат цяло число. Например в базата където е векторът се обърна относително под ъгъл матрица на ъгъла на въртене ще погледна (тогава всички матрици в случай на група от ред 3) и ако се обърна относително под ъгъл след това матрицата на ъгъла на завъртане има външен вид (тогава всички матрици в случай на група от ред 6 са цели).

Теорема. нека и , т.е. в има неправилна трансформация (трансформация с детерминант ), след това - една от следните групи:
1) ,
2) ,
3) циклична група поръчки ,
Доказателство.
                нека и , ако и след това , - това е отражение върху някаква ос, следователно на матрицата в някаква основа има формата но във всяка основа, която имаме ,
Ние имаме това където , - подгрупа на индекс 2 в следователно и , защото - Това отново е симетрия около някаква ос и защото , Оттук и групата е двустепенна група.
В случай на тази група се превръща в група ,
В случай на това е циклична група от ред 2.

Сега показваме как можете да получите всички тези опции. (нека - основа):
1) ако не са перпендикулярни и имат различна дължина където - централна симетрия;
2) ако са перпендикулярни и имат различна дължина ;
3) ако са перпендикулярни и имат еднаква дължина ;
4) ако не са перпендикулярни, имат равни дължини и не образуват правилен триъгълник ;
5) ако след това образувайте правилен триъгълник ,
6) подгрупите от тези групи също са допустими, като по този начин се получават всички посочени от нас групи.

Двумерният случай е напълно разглобен. Има и теорема, че редът на крайната подгрупа в групата на ортогоналните матрици е ограничен за всеки по номер (в случая на имаме т.е. такива групи ограничен брой за всеки ,
Даваме описание (без доказателство) на триизмерния случай:
нека - окончателна подгрупа в след това - това е:
1) циклична група поръчки ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ,





Вижте също:

Определение на циклична подгрупа

Линейно пространство

Абелева група в алгебра

Пръстенът се нарича комутативен, асоциативен, анти-комутативен. Линг пръстен в алгебра

Алгебрични групи

Връщане към съдържанието: Алгебра

2019 @ ailback.ru