Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram

Молекулярна физика и термодинамика




Основни закони и формули

Молекулярна кинетична теория на идеалните газове

Количеството на хомогенна субстанция (в молове)

,

където N е броят на молекулите; N A - константа на Авогадро; m е масата; m е моларната маса на веществото.

Ако системата е смес от няколко газа, тогава количеството на веществото в системата

където n i , N i , m i , m i са количеството на веществото, броят на молекулите, масата, съответно молната маса на i -тия компонент на сместа.

Уравнение на състоянието на идеален газ (уравнение на Менделеев-Клапейрон)

,

където p е налягането; V е обемът; m е масата; m е моларната маса на газа; R е универсалната газова константа; n е количеството на веществото; Т е термодинамична температура.

Експериментални газови закони, които са специални случаи на уравнението на състоянието за изопроцеси:

а) Закон Бойл-Мариот (изотермичен процес - T = const, m = const):

pV = const,

или за две състояния на газ:

p 1 V 1 = p 2 V 2 ;

б) Законът на Гей-Люсак (изобарен процес - p = const, m = const):

;

в) Закона на Чарлз (изохоричен процес - V = const, m = const):

;

г) комбинирания закон за газа ( m = const):

където p 1 , V 1 , T 1 - налягане, обем и температура на газа в първоначалното състояние; p 2 , V 2 , T 2 - същите стойности в крайното състояние.

Законът на Далтън, който определя налягането на смес от n идеални газове,

p = p 1 + p 2 + ... + p n ,

където p i е парциалното налягане на i -тия компонент на сместа. Частично е налягането, което ще произведе този газ, само ако той е бил в съда, зает от сместа.

Моларна маса на смес от n газове

,

където m i и n i е масата и количеството на веществото от първия компонент на сместа.

Концентрация на молекулата

където N е броят на молекулите в системата; V е обемът на системата; r е плътността на веществото; N A е номерът на Авогадро.

Формулата е валидна за всяко състояние на материята.

Зависимостта на налягането на газа от концентрацията на молекулите и температурата

p = nkT,

където k е константата на Болцман.

Основното уравнение на молекулярната кинетична теория на идеалните газове

,

където n е концентрацията на молекули; m 0 е масата на една молекула; m е масата на газа в обем V ; < v square > е средната квадратична скорост на молекулите; <e> е средната кинетична енергия на транслационното движение на молекули; E - общата кинетична енергия на транслационното движение на всички молекули.

Законът на Максуел за разпределението на молекули със скорост на идеален газ

където f ( v ) е функцията за разпределение на скоростта на молекулите, която определя фракцията от броя на молекулите, чиито скорости лежат в диапазона от v до v + d v .

Броят на молекулите, чиито относителни скорости са в диапазона от u до u + d u,

където u = v / v in - относителна скорост, равна на отношението на скоростта на молекулите v към най-вероятната скорост v в ; f ( u ) е разпределителната функция по отношение на относителните скорости.


border=0


Разпределението на молекулите чрез енергия. Броят на молекулите, чиито енергии са в диапазона от e до e + de,

където f (e) е функцията за разпределение на енергия.

Молекулна скорост:

най-вероятно - ;

квадратен корен -

средноаритметично -

където m0 е масата на молекулата.

Средната кинетична енергия на транслационното движение на молекулата

Средна обща кинетична енергия на молекулата

,

където i е броят на степените на свобода на молекулата.

Барометрична формула

,

където p h и p 0 е налягането на газа при височина h и h 0 .

Разпределение на Болцман във външно потенциално поле

,

където n е концентрацията на частиците; n 0 е концентрацията на частиците в точките, където U = 0. U е тяхната потенциална енергия.

Средният брой на сблъсъците, изпитвани от молекулата на газа в 1 s,

,

където d е ефективният диаметър на молекулата; n е концентрацията на молекули; á v is е средната аритметична скорост на молекулата.

Средният свободен път на газовите молекули

,

Импулсът, пренасян от молекули от един слой газ към друг през елемент на повърхността с площ от D S по време на d t,

,

където h е динамичният вискозитет на газа; d v / d z е напречният градиент на скоростта на потока на неговите слоеве.

Динамичен вискозитет

където r е плътността на газа (течността).

Законът на Нютон за силата на вътрешното триене (вискозитет) между слоевете от област D S

,

Законът на Фурие за топлопроводимост

където D Q е топлината, която преминава през топлопроводимостта през платформата S във времето D t ; d T / d x е температурният градиент; l - топлопроводимост, за газове



v v - специфичната топлина на газа при постоянен обем; r е плътността на газа; á v ñ и á l ñ е средната аритметична скорост и средния свободен път на молекулите.

Диффузионният закон на Фик

където D m е масата на вещество, прехвърлено в резултат на дифузия през повърхността с площ S за времето D t ; d r / d x - градиент на плътност; D е коефициентът на дифузия; за газове

Основи на термодинамиката

Моларен топлинен капацитет на газа при постоянен обем и постоянно налягане, съответно

където i е броят на степените на свобода; R е универсалната газова константа.

Връзката между специфичния ( ите ) и моларния ( C m ) топлинен капацитет

C m = C m

където m е моларната маса.

Уравнението на Майер

С р m - С V m = R.

Вътрешната енергия на идеалния газ

Уравнение на адиабатния процес (уравнение на Поасон)

pV g = const, TV g -1 = const, T g p 1- g = const,

където g е адиабатният индекс,

Политропно уравнение

pV n = const,

където n = ( C - C p ) / ( C - C V ) е индикатор за политропно.

Работата, извършвана от газ, когато нейният обем се променя, обикновено се изчислява по формулата

където V 1 и V 2 - началните и крайните обеми на газа.

Работа с изобарен процес ( p = const)

А = р ( V2 - V1 ),

с изотермичен ( T = const) -

с адиабатичен ( Q = const) -

с политропно ( C = const) -

където T 1 , T 2 , V 1 , V 2 , p 1 , p 2 са началните и крайните температури, съответно обемът и налягането на газа.

Първият закон на термодинамиката

Q = D U + A ,

където Q е количеството топлина, предадено на газа; D U - промяна на вътрешната енергия; А - работа с газ срещу външни сили.

Първият закон на термодинамиката в изобарния процес

с изохоричен ( A = 0) -

когато е изотермичен (D U = 0) -

с адиабатичен ( Q = 0) -

Топлинна ефективност за кръгов процес (цикъл)

където Q 1 е количеството топлина, получено от системата; Q 2 - количеството топлина, дадено от системата; И - работата, извършена за цикъла.

Ефективност на цикъла на Карно

където T 1 - температурата на нагревателя; T 2 - температурата на хладилника.

Коефициентът на охлаждане на машината, работещ на обратния цикъл на Карно,

където Q resp - количеството топлина, извлечено от хладилната камера; A - перфектна работа; T 2 - температурата на по-студеното тяло (хладилна камера); T 1 - температурата на горещото тяло (среда).

Ентропийна промяна при равновесен преход на системата от състояние 1 към състояние 2

Ентропията променя идеалния газ

Ван дер Ваалсово уравнение

където p е налягането; m е масата; m е моларната маса; а и b са ван дер ваалсови константи; V е обемът; Т е термодинамична температура.

Съотношението на критичните параметри - обем, налягане и температура на газа - с ван дер ваалсови константи:

Вътрешна енергия на реалния газ

Коефициент на повърхностно напрежение

,

където F е силата на повърхностното напрежение, действаща върху дължината на контура ограничаване на повърхността на течността.

При изотермично увеличаване на повърхността на течния филм върху D S се извършва работа

A = a D S.

Допълнителното налягане Dp , причинено от кривината на повърхността на течността, се изразява чрез формулата на Лаплас

където R1 и R2 са радиусите на кривина на две взаимно перпендикулярни участъци от повърхността на течността.

В случай на сферична повърхност

Dp = 2 a / r .

Височината на течността в капилярната тръба

където q е контактният ъгъл; r е плътността на течността; g - гравитационно ускорение; r е радиусът на тръбата.

Височината на повдигащата течност в процепа между две близки и паралелни равнини

където d е разстоянието между равнините.

Уравнението на Клаузиус

където u 1 и u 2 са специфичните обеми на веществото в две фазови състояния; T и p са температурата и налягането на фазовия преход; q 12 - специфичната топлина на фазовия преход на вещество

8 Примери за решаване на проблеми в молекулярната физика
и термодинамиката

Пример 1. Намерете моларната маса на смес от кислород с маса m 1 = 25 g и азот с маса m2 = 75 g

Решението. Моларната маса на сместа е масовото съотношение на сместа m cm към количеството на веществото от сместа, т.е.

m cm = m cm / n виж (1)

Масата на сместа е равна на сумата от масите на компонентите на сместа:

m cm = m 1 + m 2 ,

количеството на сместа от вещества

n cm = n 1 + n 2 = m 1 / m 1 + m 2 / m 2 .

Като заменим във формулата (1) изразите за m cm и n cm , получаваме

След изчисленията се намира m cm = 30 × 10 -3 kg / mol.

Пример 2. Хелий с капацитет V = 10 l съдържа хелий под налягане p 1 = 1 MPa и при температура T 1 = 300 K. След като m = 10 g хелий е взет от цилиндъра, температурата в цилиндъра намалява до T 2 = 290 К. Определя се налягането р 2 на хелия, който остава в балона.

Решението. За решаването на проблема използваме уравнението на Менделеев-Клапейрон, прилагайки го към крайното състояние на газа,

където m 2 е масата на хелия в балона в крайното състояние; m е моларната маса на хелия; R е универсалната газова константа.

Експресирайте желаното налягане

р2 = т2 RT 2 / ( mV ). (1)

Масата m 2 на хелия се изразява чрез масата m 1 , съответстваща на първоначалното състояние на газа, и масата на хелия, взета от цилиндъра.

m 2 = m 1 - m . (2)

Масата m 1 на хелия се намира и от уравнението на Менделеев-Клапейрон за първоначалното състояние на хелия.

m1 = mp 1 V / ( RT 1 ). (3)

Подменяйки изразите на маса (2) и (3) в (1), намираме

Проверете дали получената формула дава единица налягане. За да направим това, в дясната си страна, вместо символите на ценностите, ние заместваме техните единици. От дясната страна на формулата са два термина. Очевидно първото дава

единица налягане, тъй като първият фактор ( T2 / T1 ) е безразмерен, а вторият е натиск. Проверете втория термин:

Pascal е единица налягане. Извършваме изчисления, като се има предвид, че m = 4 × 10 -3 kg / mol. Получава се р2 = 0.364 МРа.

Пример 3. Намерете средната кинетична енергия на движение на една кислородна молекула при температура 350 K, както и кинетичната енергия на движението на всички молекули кислород с тегло 4 g.

Решението. За всяка степен на свобода на една молекула газ има една и съща средна енергия <e i > = 1/2 kT , където k е константата на Boltzmann, T е термодинамичната температура на газа. Трансляционното движение на двуатомна кислородна молекула отговаря на три степени на свобода, на ротационно на две. Тогава средната кинетична енергия на молекулата

<e> = 5 2 kT . (1)

Кинетична енергия на движение на всички газови молекули

Е к = N <e> (2)

Броят на всички газови молекули

N = n N = N A m / m. (3)

Като заменим израза N с формулата (2), получаваме

Е к = 5 kTN A m / (2m) = 5 RTm / (2m). (4)

Извършваме изчисления, като се има предвид, че за кислород, m = 32 × 10 -3 kg / mol:

де = 1.21 х 10 -20 J; Е до = 910 j.

Пример 4. Използвайки разпределителната функция на молекулите на идеалния газ чрез относителни скорости, определете броя на молекулите, чиито скорости са по-малки от 0.002 от най-вероятната скорост, ако обемът на газа съдържа N = 1.67 × 10 24 молекули.

Решението. Числото d N ( u ) на молекулите, чиито относителни скорости лежат в диапазона от u до u + d u ,

където N е броят на молекулите в обема на газа.

С условието на задачите, v m = 0.002 v v , следователно u max = v max / v v = 0.002, Тъй като u << 1, тогава exp (- u 2 ) »1 - u 2 . Пренебрегвайки u 2 << 1, изразът за d N ( u ) може да бъде записан като

Интегрираме този израз над u в диапазона от 0 до u max , намираме

Изчислявайки, получаваме D N = 10 16 молекули.

Пример 5. Изчислете специфичния топлинен капацитет при постоянен обем и постоянно налягане на неон и водород, като вземете тези газове като идеални. Също така се изчислява специфичната топлина на сместа от тези газове, ако масовите фракции на неон и кислород са съответно 80 и 20%.

Решението. Специфичната топлина на идеалните газове се определя от формулите

За неон (моноатомен газ) броят на степените на свобода е i = 3 и m 1 = 20 × 10 -3 kg / mol. следователно

с v1 = 3 × 8.31 / (2 × 20 × 10 -3 ) = 624 J / (kg × K), с p1 = 1040 J / (kg × K).

За водород (двуатомни газове), i = 5 и m 2 = 2 × 10 -3 kg / mol.

c v2 = 1.04 × 10 4 J / (kg × K), с р2 = 1.46 × 10 4 J / (kg × K).

Специфичната топлина на сместа при постоянен обем с v ще бъде намерена както следва. Топлината, необходима за нагряване на сместа върху D T, се изразява по два начина:

Q = c v ( m 1 + m 2 ) D T , (1)

Q = ( c v, 1 m 1 + c v, 2 m 2 ) D T. (2)

Приравнявайки дясните страни (1) и (2) и разделяйки двете страни на полученото равенство с D T , получаваме

с v ( m 1 + m 2 ) = c v, 1 m 1 + c v, 2 m 2 .

От тук или с V = c V, 1 w 1 + c V, 2 w 2 ,

където w1 = т1 / ( т1 + т2 ) и w2 = т2 / ( т1 + т2 ).

Аргументирайки по същия начин, получаваме формулата за изчисляване на специфичния топлинен капацитет на сместа при постоянно налягане

с p = c p, 1 w 1 + c p, 2 w 2 .

Направете изчисления:

c v = (6,24 × 10 2 × 0,8 + 1,04 × 10 4 × 0,2) = 2580 J / (kg × К);

c p = (1,04 × 10 2 × 0,8 + 1,46 × 10 4 × 0,2) = 3752 J / (kg × К).

Пример 6. Някаква маса кислород при налягане p 1 = 10 5 Pa заема обем от 10 l. Газът първо се нагрява при постоянно налягане до обем 30 литра и след това при постоянен обем до налягане р2 = 0.5 МРа. Намерете промяната във вътрешната енергия на газа D U 1 a2 , извършената от него работа A 1 a2 и количеството топлина, абсорбирана от газа Q 1 a2 . За да направите подобни изчисления в случай на обратното следване на процесите: първо по изохора, след това по изобара (Фигура 3 крива 1–2). Сравнете резултатите от изчисленията и в двата случая.

Решението . Физическата система е идеален газ - кислород. Вътрешната енергия е функция на състоянието на системата. Следователно, промяната във вътрешната енергия по време на прехода от едно състояние в друго

винаги е равна на разликата между стойностите на вътрешната енергия в тези състояния и не зависи от съвкупността от процесите, които са довели до такъв преход на системата:

Тук температурите на газа в началното и крайното състояние се изразяват от уравнението на Менделеев-Клапейрон.

Работата, извършена от газ в разглеждания случай,

A 1 a2 = A 1 a + A a 2 .

При изобарен процес A 1 a = p 1 ( V 2 - V 1 ), с изохоричен A a2 = 0. С оглед на това

И 1 a2 = p 1 ( V 2 - V 1 ).

В съответствие с първия закон на термодинамиката

Q 1 a2 = D U 1 a2 + A 1 a2 = i ( 2 V 2 - p 1 V 1 ) / 2 + p 1 ( V 2 - V 1 ).

Подменяйки числовите стойности, получаваме

D U 1 a2 = 14 × 10 3 J; A 1 a2 = 2 × 10 3 J; Q 1 a2 = 16 × 10 3 j.

Във втория случай преходът от състояние 1 към състояние 2 преминава през междинно състояние b . Търсените стойности могат да бъдат намерени, както следва:

A1b2 = p2 ( V2 - V1 );

Q 1b2 = i ( p 2 V 2 - p 1 V 1 ) / 2 + p 2 ( V 2 - V 1 ).

Подменяйки числовите стойности, получаваме

D U 1b2 = 14 × 10 3 J; Abb2 = 10x103J ; Q 1b2 = 24 × 10 3 J.

Сравнявайки резултатите в първия и втория случай, отбелязваме това

D U 1 a2 = D U 1b2 ; A 1b2 > Ai a2 ; Q 1b2 > Q 1a2 .

Пример 7. Намерете ефективността на четиритактов двигател с вътрешно горене. Да се ​​има предвид, че смес от въздух с горивни пари и въздух с продукти на горене се държи с достатъчна точност като идеален газ с адиабатен индекс g. Схемата на реалния цикъл е показана на фигура 4, а идеалният - на фигура 5.

Решението. В състояние 1 в камерата след изгаряне на компресираната въздушно-горивна смес се намира газ под високо налягане p 1 . Обемът на газа V 1 .. Работният цикъл започва. С разширяването на газа при адиабат 1-2 се извършва положителна работа. В състояние 2 (долна мъртва точка) разширяването достига максимум и буталото е в крайно положение. Обемът V 2 е равен на сумата от обемите на горивната камера и цилиндъра. След отваряне на изпускателния клапан налягането в бутилката спада до близко до атмосферното. В реален цикъл изпускателният клапан започва да се отваря преди буталото да достигне долната мъртва точка 2, така че преходът 2-3 не е строго изохоричен. В раздел 3-4 се получава изхвърляне на продуктите от горенето, останали в бутилката. В горната мъртва точка 4, изпускателният вентил се затваря и входящият клапан се отваря. В секция 4-5 се засмуква въздушно-горивната смес (за карбураторни двигатели) или въздух (за дизелови двигатели). В точка 5 смукателният клапан се затваря и в раздел 5-6 работната смес се компресира. Отрицателна работа е свършена. В точка 6 сместа се запалва и налягането в компресионната камера се увеличава до p 1 . В един идеален цикъл, ние вярваме, че точки 5 и 3 съвпадат, пътят 3-4 съвпада с 4-5, а в процеса 3-4-5 не се извършва никаква работа.

Работете в цикъл, основан на мол от веществото

,

където Т1 и Т6 са температури на газа в състояния 1 и 6.

Тъй като g –1 = ( С p m - С V m ) / С V m = R / С V m , тогава

,

Енергията, изразходвана за повишаване на температурата на мол от газ от T 6 до T 1 ,

Q = С V m ( T 1 - T 6 ).

Ефективност на цикъла

Съотношението V 2 / V 1 се нарича коефициент на компресия. Колкото по-голяма е степента на компресия, толкова по-висока е ефективността. Установено е, че ефективността, изчислена по получената формула, е надценена с приблизително два пъти в сравнение с действителната ефективност в истински двигатели с вътрешно горене. Източниците на несъответствие са значителни отклонения на условията, възприети за идеалния цикъл от условията на функциониране на реалния цикъл.

Пример 8. Идеален газ, изпълняващ цикъл на Карно, произведена работа
A = 600 J. Температурата T 1 на нагревателя е 500 K, температурата на хладилника T 2 = 300 K. Определя топлинната ефективност на цикъла и количеството топлина, дадена на хладилника в един цикъл.

Решението. Цикъл на топлинна ефективност Карно

h = (Т1 - Т2) / Т1.

Количеството топлина, дадено на хладилника

Q 2 = Q 1 - A ,

където Q 1 = A / h е количеството топлина, получено от нагревателя. Подменяйки израза за Q 1 във формулата за Q 2 , получаваме

Q2 = А (1 / h - 1).

Изчислявайки, намираме: 1) h = 0.4; 2) Q 2 = 900 J.


Пример 9. Определете промяната на ентропията D S с изотермично разширение на азот с тегло 10 g, ако налягането на газа спадне от 100 до 50 kPa.

Решението. Промяната на ентропия, като се има предвид, че процесът е изотермичен,

(1)

Съгласно първия закон за термодинамиката, количеството топлина, произведено от газа, е Q = D U + A. За изотермичен процес D U = 0, Q = A. Газова работа в изотермичен процес

Подменяйки израза за работа във формулата (1), намираме желаната промяна в ентропията:

Изчислявайки, получаваме DS = 2,06 J / K.

Пример 10. Намерете константи a и b на ван дер Ваалс за един мол хлор, ако е известно, че критичната температура на хлора е Tcr = 417 K, а критичното налягане pcr = 7.6 MPa. Определете вътрешната енергия на газа, ако при температура от 273 К той заема обем от 2 литра.

Решението. Физическата система е един мол реален газ, чието състояние на състоянието може да бъде записано като

където а и b са ван дер ваалсови константи; V m - обемът на един мол.

Критичните параметри се определят от константите а и b както следва:

P kr = a / (27 b 2 ); T kr = 8 a / (27 Rb ); V kr = 3 b .

Изразявайки a и b чрез критичната температура и критично налягане, намираме