Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram

Примери за решаване на проблеми в механиката




Пример 1 Уравнението на движение на математическа точка по оста Х е x = A + Bt + Ct 2 , където A = 4 m, B = 2 m / s, C = 0.5 m / s 2 . Намерете координатата x 1 , скоростта v 1 и ускорението a 1 в момента t 1 = 2 s.

Решението . Координатът x 1 се намира чрез заместване на числовите стойности на коефициентите A , B , C и времето t 1 = 2 s в уравнението на движението:

x 1 = (4 + 2 · 2 - 0.5 · 2 2 ) m = 6 m.

Моментната скорост е равна на първата производна на времевата координата:

,

Ускорението на точката ще бъде намерено като първата производна на скоростта във времето:

,

В момент t 1 = 2 s:

v 1 = (2 - 2 · 0.5 · 2) m / s = 0 m / s , и 1 = 2 (0.5) = - 1 m / s 2 .

Знакът минус показва, че посоката на вектора на ускорението съвпада с отрицателната посока на координатната ос.

Размерите на търсените стойности са очевидни.

Пример 2 Камъкът се отлива под ъгъл а = 45 ° към хоризонта. Определете най-голямата надморска височина и обхват, ако началната скорост на камъка v 0 = 20 m / s.

Решението . Пренебрегвайки съпротивлението на въздуха, можем да приемем, че ускорението на камъка в въпросното движение е постоянно и равно на ускорението на свободното падане. , От векторите на ускорението и начална скорост насочена под ъгъл, не равен на нула, движението на камъка е криволинейно, траекторията на която лежи в равнината X 0 Y. Това е криволинейно движение в резултат на добавянето на две праволинейни движения: еднакви по оста 0 X с скорост v x = v 0 x = v 0 · cos a; еднакво променливи по оста 0 Y.

В точката на хвърляне компонентите на скоростта са равни на:

v 0 x = v 0 cos a, v 0 y = v 0 sin a

В произволно време t, скоростта на движение на камъка

v x = v 0x = v 0 cos a, v y = v 0y + a y = v 0 sin a - gt .

В най-високата точка на траекторията (в момент t 1 ) v y1 = 0, тогава

v 0 sin a - gt 1 = 0, t 1 = ,

Най-голямата височина на повдигане ще бъде открита от уравнението на движението на камъка
0 Y ос:

,

Времето за повдигане на камъка до най-високата му височина е равно на времето на падане на земята.

Тогава общото полетно време

,

Най-дълъг обхват

,

Подменяйки числовите стойности, получаваме

, ,

Анализ на размерите на неизвестните количества:

,

Пример 3 Маховик, който се върти с постоянна честота n 0 = 10 s -1 , когато спирането започва да се върти еднакво бавно. Когато спирането е спряло, въртенето на маховика отново става еднородно, но с честота n 0 = 6 s -1 . Определете ъгловото ускорение e на маховика и продължителността t на спиране, ако по време на равномерно бавно въртене маховикът е направил N = 50 оборота.

Решението . Ъгловото ускорение на маховика е свързано с началната w и крайна w ъглови скорости от съотношението откъде

,

Но тъй като j = 2p N , w = 2p n , тогава

,

Определя се продължителността на спиране, като се използва формулата, свързваща ъгъла на въртене j със средната ъглова скорост νw на въртене и време t :


border=0


j = áwñ t .

Чрез условието на проблема ъгловата скорост линейно зависи от времето и затова можем да пишем

;

след това ,

оттук ,

Подменяйки числовите стойности, намираме

Знакът минус при ъгловото ускорение показва, че маховикът се върти бавно.

Анализ на размерите на неизвестните количества:

,

Пример 4 Две противоположно насочени сили F 1 = 40 N и F 2 = 100 N се прилагат към краищата на еднакъв прът.

напрежението на пръта в напречното сечение, което разделя пръчката на две части в съотношение 1: 2.

Решението . Ако силите F1 и F2 са еднакви, тогава силата на опън в която и да е част на пръта ще бъде същата и равна на силите, приложени към краищата на пръта. Пръчката в този случай ще бъде в покой. Но тъй като сумата на силите, действащи върху пръчката, е ненулева, пръчката ще се движи с ускорение, величината и посоката на която се определя от втория закон на Нютон

,

където m е масата на пръчката.

Тъй като силите F 1 и F 2 са противоположно насочени и действат по права линия (пръчка), геометричната сума може да бъде заменена с алгебрична:

,

С ускореното движение на пръта, силите на опън в различни участъци са различни. За да определим силата на опън, прилагаме следния метод: разделяме пръчката на две части в интересуващия ни участък и изхвърляме един от тях, например левия. Действието на лявата страна отдясно замества силата на опън Т. В резултат на действието на силовата разлика ( F 2 - T ), останалата част от пръта с маса m 1 трябва да се движи с ускорение



,

равно на ускорението на целия прът. Тъй като пръчката е хомогенна, тогава m 1 = m / 3 и следователно, приравнявайки полученото изражение за ускорение, получаваме израза за силата на опън T

T = F 2 - ( F 2 - F 1 ) / 3.

Подменяйки стойностите на F 1 и F 2 , получаваме

Т = 100 - (100 - 40): 3 = 80 N.

Размерът на стойността е очевиден.

Пример 5 Топка с маса m 1 , движеща се хоризонтално с определена скорост v 1 , се сблъска с фиксирана топка с маса m 2 . Топките са абсолютно еластични, ударени направо. Каква част от w от нейната кинетична енергия прехвърли първата топка към втората?

Решението . Делът на енергията, предавана от първата топка на втората, се изразява чрез съотношението

,

където T 1 е кинетичната енергия на първата топка преди удара; u 2 и - скорост и кинетична енергия на втората топка след удара.

За да определим w, трябва да намерим u 2 . Възползваме се от факта, че при абсолютно еластично въздействие едновременно са изпълнени два закона за запазване: импулс и механична енергия.

От закона за запазване на инерцията, като се има предвид, че втората топка е била в покой ( v 2 = 0), имаме

m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 2 u 2 .

Според закона за запазване на енергията в механиката

,

Решавайки тези две уравнения заедно, откриваме

,

Подменяйки този израз във формулата за w , получаваме

,

От тази връзка може да се види, че частта от прехвърлената енергия зависи само от масите на сблъскващите се топки. Делът на предаваната енергия няма да се промени, ако топките се разменят.

Пример 6 Две топки с маса m 1 = 2,5 kg и m 2 = 1,5 kg се движат един към друг със скорости v 1 = 6 m / s и v 2 = 2 m / s. Определете: 1) скоростта на топките след удара; 2) кинетичните енергии на топките преди и след удара; 3) част от кинетичната енергия на топките, която се превръща във вътрешна енергия. Стачката се счита за пряка, нееластична.

Решението . Нееластичните топки не възстановяват първоначалната си форма след удара. Следователно, няма сили, които да тласкат топките един от друг, а след удара топки ще се движат заедно със същата скорост u . Определяме тази скорост според закона за запазване на инерцията. Тъй като топките се движат в една права линия, този закон може да бъде написан в скаларна форма

m 1 v 1 - m 2 v 2 = ( m 1 + m 2 ) u ,

откъде ,

Посоката на скоростта на първата топка се приема като положителна.

Кинетичните енергии на топките преди и след взаимодействието ще се определят по формулата

,

Сравнението на кинетичните енергии на топките преди и след удара показва, че в резултат на нееластичното въздействие на топките, тяхната кинетична енергия намалява, поради което се увеличава вътрешната им енергия. Съотношението на кинетичната енергия на топките, които отидоха за увеличаване на вътрешната им енергия, определяме от съотношението

,

Заменете числовите стойности и направете изчисленията:

Размерът на неизвестните количества е очевиден.

Пример 7 Ракетата е монтирана на повърхността на земята, за да се пусне във вертикална посока. При каква минимална скорост v 1 , докладвана на ракетата при изстрелване, ще се премести ли от повърхността с разстояние, равно на радиуса на Земята ( R s = 6,37 · 10 6 m)? По всякакъв начин, с изключение на силата на гравитационното взаимодействие на ракетата и Земята, пренебрегвайте.

Решението . Минималната скорост на ракетата може да се намери, като се знае минималната кинетична енергия T 1 . За да определим Т1 , използваме закона за запазване на механичната енергия за затворена система, в която действат само консервативни сили. Ракетно-земната система може да се счита за затворена, в която действа единствено консервативната сила - гравитационното взаимодействие.

Като инерционна референтна система избираме референтна система, свързана с центъра на Земята.

Според закона за запазване на механичната енергия

T1 + P1 = T2 + P2 ,

където T 1 , P 1 и T 2 , P 2 са кинетичната и потенциалната енергия на ракетната система Земя в начална (на повърхността на Земята) и терминална (на разстояние, равно на R s от повърхността на Земята).

В избраната референтна рамка кинетичната енергия на земята е нула. Следователно Т1 е просто началната кинетична енергия на ракетата,

,

Потенциалната енергия на системата в първоначалното състояние

,

Когато ракетата се движи от повърхността на Земята, нейната потенциална енергия се увеличава, а кинетичната енергия намалява. В крайното състояние кинетичната енергия T 2 = 0 и потенциалът

,

Подменяйки изразите T 1 , P 1 и T 2 , P 2 във формулата на закона за запазване на механичната енергия, получаваме

,

Обърнете внимание на това ( g 0 е ускорението на свободното падане на повърхността на Земята). след това

,

Анализ на размерите: ,

Пример 8 Чрез блока под формата на твърд диск с маса m = 80 g се хвърля тънка гъвкава нишка, към краищата на която са окачени товари с маса m 1 = 100 g и m 2 = 200 g. ме? Триенето и теглото на нишката са пренебрегнати.

Решението . Използваме основното уравнение на динамиката на транслационните и ротационните движения. За да направим това, ще разгледаме силите, действащи на всеки товар поотделно и върху блока. Две сили действат върху първия товар: гравитацията и силата на еластичност (силата на опън на конеца ).

Нека проектираме тези сили върху оста Х , която ще насочим вертикално надолу, и ще напишем уравнението на движението (втория закон на Нютон):

m 1 g - T 1 = - m 1 a .

Уравнението на движението за второто натоварване:

m 2 g - T 2 = m 2 a .

Под влияние на две моменти на сила по отношение на оста на въртене 0 блокът придобива ъглово ускорение , Според уравнението на динамиката на въртене

,

където - моментът на инерция на блока (непрекъснат диск) около оста 0.

Според третия закон на Нютон

,

Съвместно решение на трите уравнения дава

,

След като съкратим до r и прегрупираме членовете, откриваме

,

Размерът на a е очевиден. Заместване на числовите данни и изчисляване

,

Пример 9 Платформата под формата на твърд диск с радиус R = 1,5 m и маса m 1 = 180 kg се върти по инерция около вертикалната ос с честота n = 10 min –1 . В центъра на платформата има човек с тегло m 2 = 60 kg. Каква линейна скорост v по отношение на пода на помещението ще има човек, ако отиде до ръба на платформата?

Решението . Платформата се върти по инерция. Следователно моментът на външните сили около оста на въртене, който съвпада с геометричната ос на платформата, е нула. При това условие ъгловият момент L на системата платформа - човек остава постоянен:


L = I w = const,

където I е моментът на инерция на платформата с човек около оста на въртене; w е ъгловата скорост на платформата.

Моментът на инерция на системата е равен на сумата от инерционните моменти на телата, които образуват системата, затова I = I 1 + I 2 , където I 1 и I 2 са моментът на инерцията на платформата и на лицето.

Имайки това предвид, законът за запазване на момента ще приеме формата:

( I 1 + I 2 ) w = const или ( I 1 + I 2 ) w = ,

където стойността на моментите на инерция I 1 и I 2 се отнася до началното състояние на системата; - до финала.

Моментът на инерция на платформата няма да се промени при прехода на човек:. Моментът на инерция на човек спрямо оста на въртене ще се промени: I 2 = 0 - в първоначалното състояние; - в крайното състояние.

Да заместим израза за инерционните моменти, началната ъглова скорост на въртене на платформата с човек (w = 2p n ) и крайната ъглова скорост ( където v е скоростта на лицето спрямо пола):.

,

След прости трансформации получаваме

,

Ще изчислим:

,

Анализ на размерите: ,

, Пример 10 Определете релативистичния импулс p и кинетичната енергия T на електрона, движещ се със скорост v = 0.9 s (където c е скоростта на светлината във вакуум).

Решението . Експресия за релативистичен импулс

,

където ,

В релативистичната механика кинетичната енергия Т на частица се определя като разликата между общата енергия Е и остатъчната енергия Е 0 на тази частица, т.е.

T = E - E 0

Тъй като Е = mc 2 и Е 0 = m 0 c 2 , ò, като се вземе предвид зависимостта на масата от скоростта, получаваме

,

Изчисляваме

В извънсистемни единици (1 eV = 1.6 · 10 -19 J) имаме: T = 0.66 MeV.

Анализ на размерите:

,

6 Задачи за тестова работа номер 1

1.1. Уравнението на движение на материална точка по оста х е
x = A + Bt + Ct2 , където А = 2 m, B = 1 m / s, C = - 0.5 m / s 2 . Намерете x координатата, скоростта v и ускорението a на точката в момента t = 2 s .

1.2. Материалната точка се движи по права линия според уравнението
x = 6t - t 3/8. Определете средната скорост на точка в интервала от време t 1 = 1.2 s и t 2 = 6 s, както и скоростта на точката в тези точки във времето.

1.3. Материалната точка се движи по права линия. Уравнението на движението е x = 3 t + 0.06 t 3 . Намерете скоростта и ускорението на точката в моменти t 1 = 5 s и t 2 = 12 c. Какви са средните стойности на скоростта и точката на ускорение за този интервал от време?

1.4. Зависимостта на изминатия път от материална точка по време се изразява чрез уравнението S = 0.25 t 4 - 9 t 2 . Намерете екстремната стойност на точката на скоростта. Изградете графика на скоростта на точката спрямо времето.

1.5. Зависимостта на пътя от времето на движение на тялото в права линия се изразява чрез уравнението S = 4 + 40 t - 4 t 2 . Намерете скоростта и ускорението във времевите точки 0, 3, 5 s. Изграждайте графики на скоростта и ускорението.

1.6. Движението на материална точка на равнината се дава от уравнението

,

където а = 0.5 m; w = 5 rad / s. Определете модула за скорост ½ ½ и нормален модул за ускорение ½ ½.

1.7. Движението на материална точка се дава от уравнението

,

където A = 10 m, B = –5 m / s 2 , C = 10 m / s. Начертайте траектория на точката. Намерете изрази ( t ) и ( t ). За момента от време t = 1 c се изчислява: 1) модул на скоростта ½ ½; 2) модул за ускорение ½ ½; 3) нормален модул за ускорение ½.

1.8. Движението на точка на равнина по кръг с радиус R = 4 m се дава от уравнението където x е криволинейна координата, A = 10 m B = - 2 m / s, C = 1 m / s 2 . Намерете тангенциална a t , нормална а n и завършете точката на ускорение в момент t = 2 s.

1.9. Движението на точка по крива се дава от уравнението x = A 1 t 3 и y = A 2 t , където A 1 = 1 m / s 3 , A 2 = 2 m / s. Намерете уравнението на траекторията на точката, нейната скорост v и общото ускорение a при време t = 0.8 s.

1.10. Точката се движи по окръжност с радиус R = 4 м. Законът за неговото движение се изразява с уравнението x = 8 - 2 t 2 . Намерете времето t , когато нормалната точка на ускорение a n = 9 m / s 2 ; скорост v , тангенциална a t и пълна и ускорение на точка в този момент от времето (x е криволинейна координата).

1.11. Две коли преминават по два прави и взаимно перпендикулярни пътя към пресечната точка с постоянна скорост v 1 = 50 km / h v 2 = 100 km / h. Преди началото на движението първата кола беше от пресечката на разстояние x 0 = 100 km, а втората - y 0 = 50 km. След колко време след началото на движението разстоянието между машините ще бъде минимално? Каква е относителната скорост на автомобила?

1.12. Три четвърти от скоростта на колата
v 1 = 60 km / h, останалата част от пътя - при скорост v 2 = 80 km / h. Каква е средната скорост на колата от земята?

1.13. До влака в съответствие с предните буфери на локомотив е човек. В момента, когато влакът започва да се движи с ускорение а = 0.1 m / s 2 , човекът започва да върви в същата посока със скорост v = 1.5 m / s. Колко време влакът настига с човек? Определете скоростта на влака в този момент и пътя, пропътуван през това време от човека.

1.14. Камък със скорост v 0 = 15 m / s се хвърля хоризонтално от кула с височина h = 25 m. Намерете: 1) колко дълго камъкът ще бъде в движение; 2) на какво разстояние х от основата на кулата ще падне на земята; 3) с каква скорост ще падне на земята; 4) какъв ъгъл j

Ще направите ли окончателен вектор на скоростта с хоризонта в точката на падане на земята? Не се взема предвид въздушното съпротивление.

1.15. От балкона хвърляха топката вертикално нагоре с начална скорост v 0 = 5 m / s. Чрез t = 2 топката падна на земята. Определете височината на балкона над земята и скоростта на топката по време на падането.

1.16. Тялото се изхвърля вертикално от кулата със скорост v 0 = 10 m / s. Височина на кулата h = 12.5 м. Напишете уравнението на движението на тялото и определете средната скорост на земята < v> от момента на хвърлянето до момента, в който тя падне на земята.

1.17. Тялото започва да пада със скорост v 0 = 15 m / s, като е на височина h = 200 м. Определете кога ще достигне тялото до земната повърхност, ако първоначалната скорост v 0 е насочена: а) нагоре; б) надолу. Докаже, че скоростта на кацане и в двата случая е една и съща.

1.18. Изхвърлен камък хоризонтално пада на земята при t = 0.5 s на разстояние l = 5 m хоризонтално от мястото на хвърляне. 1) От каква височина е хвърлен камъкът? 2) Каква е първоначалната скорост v 0, която е бил хвърлен? 3) Колко бързо е паднал на земята? 4) Какъв ъгъл j е траекторията на камъка с хоризонта в точката на падането му на земята? Не се взема предвид въздушното съпротивление.

1.19. Топката беше хвърлена със скорост v 0 = 10 m / s под ъгъл а = 40 ° към хоризонта. Намерете: 1) колко висока H ще вдигне топката; 2) на кое разстояние L от мястото на хвърляне той ще падне на земята; 3) колко време ще бъде в движение? Не се взема предвид въздушното съпротивление.

1.20. Куршумът се изстрелва с начална скорост v 0 = 200 m / s под ъгъл а = 60 ° към хоризонта. Определете максималната височина H на изкачване, обхвата L на полета и радиуса R на кривината на траекторията на куршума в най-високата му точка. Въздушната съпротива е пренебрегната.

1.21. Линейната скорост v 1 точки по обиколката на въртящия се диск е 3 m / s. Точките, разположени на D R = 10 по-близо до оста, имат линейна скорост v 2 = 2 m / s. Определете честотата на въртене n на диска и неговата ъглова скорост w.

1.22. Намерете радиуса на въртящото се колело, ако е известно, че линейната скорост v 1 точка, разположена на ръба, е 2,5 пъти по-голяма от линейната скорост v 2 точка, разположена на 5 cm по-близо до оста на колелото.

1.23. Колелото, след t = 1 min след началото на въртенето, придобива скорост, съответстваща на честотата на въртене n = 720 rpm. Намерете ъгловата скорост на колелото и броя на оборотите на колелото през това време. Движението се смята за равно ускорено.

1.24. Определете ъгловата w и линейната скорост v , както и центростремителното ускорение и n точките, разположени на земната повърхност: 1) на екватора; 2) на географската ширина на Москва (j = 56 °).

1.25. На цилиндър, който може да се върти около хоризонтална ос,

навита нишка. До края на темата прикрепена тежест, на която е дадена възможност да слезе. Движейки се равномерно ускорението, гредичката при t = 3 s спадна до h = 1.5 m . Определить угловое ускорениеe цилиндра, если его радиус R = 4 см.

1.26. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5 м друг от друга, вращается с угловой скоростью, соответствующей частоте n = 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол j = 12°. Найти скорость пули.

1.27. Вал вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте n = 180 об/мин. С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равным 3 рад/с 2 . 1) Через какое время вал остановится? 2) Сколько оборотов он сделает до остановки?

1.28. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением а t . Найти нормальное ускорение а n точки через D t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна v = 10м/с.

1.29. Колесо радиусом R = 10 см вращается с постоянным угловым ускорением e = 3,14 рад/с 2 . Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую и линейную скорости; 2) тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

1.30. Велосипедное колесо вращается с частотой n = 5 с –1 . Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени D t = 1 мин. Определить угловое ускорение e и число оборотов N , которое сделает колесо за это время.

1.31. Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению j= А + Вt + Сt 3 , где А = 3 рад ; В = – 1 рад/с ; С = 0,1 рад/с 3 . Определить тангенциальное а t , нормальное а n и полное а ускорения точек на окружности диска в момент времени t = 10 с.

1.32. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота колеса от времени дается уравнением j = А + Вt + Сt 3 , где В = 2 рад/с; С = 1 рад/с 3 . Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через D t = 2 с с начала движения: 1) угловую скорость w и линейную v скорость; 2) угловое e, тангенциальное а t и нормальное ускорения а n .

1.33. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота от времени дается уравнением j = А + Вt + Сt 2 + Dt 3 , где В = 1 рад/с; С = 1 рад/с 2 ; D =1 рад/с 3 . Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно а n =3,46 · 10 2 м/с 2 .

1.34. Материальная точка движется по окружности радиусом R = 1,2 м. Уравнение движения точки j = Аt + Вt 3 , где А = 0,5 рад/с; В = 0,2 рад/с 3 . Определить тангенциальное а t , нормальное а n и полное а ускорения точки в момент времени t = 4 с.

1.35. Шарик подвешен на нити длиной l = 1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться равномерно по окружности в горизонтальной плоскости с периодом T = 1,57 с. Определить линейную скорость v и центростремительное ускорение а n при движении шарика по окружности.

1.36. Стержень длиной l = 0,5 м вращается вокруг перпендикулярной к нему оси, при этом один его конец движется с линейной скоростью 0,314 м/с. Найти линейную скорость v 2 другого конца стержня относительно оси вращения, если частота вращения n = 0,5 с –1 . Сравнить центростремительные ускорения концов стержня.

1.37. Лента конвейера, натянутая на барабан радиусом R = 0,1 м, движется относительно неподвижной системы отсчета, связанной с осью барабана, со скоростью v = 1,2 м/с. Определить, имеется ли проскальзывание ленты конвейера по поверхности соприкосновения с барабаном, вращающимся с частотой n = 2 с –1 . Какова скорость v отн ленты относительно барабана в местах его контакта с ее поверхностью?

1.38. На вал намотана нить, к концу которой подвешена гирька. При равномерном движении гирьки за t = 10 с с вала размоталось l = 1,2 м нити. Каков радиус R вала, если частота его вращения n = 6 с –1 ? Определить величину и направление ускорения точки, находящейся на поверхности вала.

1.39. Винт турбореактивного самолета вращается относительно оси, направленной вдоль вала двигателя, с частотой n = 35 с –1 , причем посадочная скорость самолета относительно Земли равна v 0 = 45 м/с. Определить число оборотов N винта самолета за время пробега самолета, если длина посадочной дистанции составляет L = 650 м. Движение самолета считать равнопеременным.

1.40. В опыте по определению ускорения свободного падения один раз шарик падает с высоты h = 0,5 м на неподвижный горизонтально расположенный диск, другой раз – с той же высоты на тот же диск, вращающийся с частотой n = 2 с –1 . При этом диск успевает повернуться относительно оси вращения на угол 230°. Определить ускорение свободного падения шарика.

1.41. К нити подвешен груз массой m = 1 кг. Найти натяжение нити, если нить с грузом: 1) поднимается с ускорением а = 5 м/с 2 ; 2) опускается с тем же ускорением а = 5 м/с 2 .

1.42. Масса лифта с пассажирами равна m = 800 кг. Найти, с каким

ускорением и в каком направлении движется лифт, если известно, что натяжение троса, поддерживающего лифт, равно: 1) Т 1 = 120 Н; 2) Т 2 = 9 кН.

1.43. Какую силу надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за время t = 30 с прошел путь S = 11 м? Масса вагона m = 16 т. Во время движения на вагон действует сила трения, равная 0,05 силы тяжести вагона.

1.44. На столе стоит тележка массой m 1 = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязана гиря массой m 2 = 1 кг?

1.45. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязаны грузы массами m 1 = 1,5 кг и m 2 = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

1.46. Два бруска массами m 1 = 1 кг и m 2 = 4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F = 10 Н, направленную горизонтально? Какова будет сила T натяжения шнура, соединяющего бруски, если силу 10 Н приложить: к первому бруску? ко второму бруску? Трением пренебречь.

1.47. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон тормозится, и его скорость равномерно изменяется за время D t = 3 с от v 1 = 18 км/ч до v 2 = 6 км/ч. На какой угол a отклонится при этом нить с шаром?

1.48. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью: 1) в гору с уклоном 1 м на каждые25 м пути; 2) под гору с тем же уклоном.

1.49. Наклонная плоскость, образующая угол a = 25° с плоскостью горизонта, имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения m тела о плоскость.

1.50. Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол a = 4°. 1) При каком предельном значении коэффициента трения тело начнет скользить по наклонной плоскости? 2) С каким ускорением будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения равен0,03? 3) Сколько времени потребуется для прохождения при этих условиях l = 100 м пути? 4) Какую скорость тело будет иметь в конце этих 100 м?

1.51. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 45°. Зависимость пройденного телом расстояния l дается уравнением l = Сt 2 , где С = 1,73 м/с 2 . Найти коэффициент трения тела о плоскость.

1.52. Снаряд массой m = 10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью 800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха

пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления k = 0,25 кг/с.

1.53. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила F тяги мотора равна0,2кН. Считая силу сопротивления F с пропорциональной скорости, определить скорость v лодки через D t = 20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления k = 20 кг/с.

1.54. На тело массой m действует сила, пропорциональная времени, F =kt. Найти уравнение движения тела при условии, что при t = 0 тело имеет начальную скорость v 0 .

1.55. Катер массой m = 2 т трогается с места и в течение времени t = 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость v = 4 м/с. Определить силу тяги F мотора, считая ее постоянной. Принять силу сопротивления F с движению пропорциональной скорости. Коэффициент сопротивления k = 100 кг/с.

1.56. Тело, имеющее постоянную массу, до торможения двигалось равномерно, а в момент остановки тормозная сила достигла значения F ост = 40 Н. Определить тормозную силу через 3 с после начала торможения, если тормозной путь в зависимости от времени изменялся по закону l = DtBt 3 , где D = 196 м/с , В = 1 м/с 3 .

1.57. Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения m= 0,4, найти частоту n вращения, при которой кубик соскользнет с диска.

1.58. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила F , с которой летчик давит на сиденье в нижней точке, больше силы тяжести летчика, если скорость самолета v = 100 м/с.

1.59. Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии l = 0,8 м от поверхности цилиндра. Коэффициент трения m покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С какой минимальной скоростью v min ­ должен ехать мотоциклист? Каков будет при этом угол j наклона его к плоскости горизонта.

1.60. Какую наибольшую скорость v max может развить велосипедист, проезжая закругление радиусом R = 50 м, если коэффициент трения скольжения m между шинами и асфальтом равен 0,3? Каков угол j отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению?

1.61. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением e = 3 рад/с 2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню, через точку, делящую стержень в отношении 1:3. Определить вращающий момент М .

1.62. Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращается с частотой n = 8 с –1 . К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную

колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал остановился через t = 10 с. Определить коэффициент трения.

1.63. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты жестко закреплен. Цилиндру предоставлена возможность свободно опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр: 1) сплошной; 2) полый тонкостенный.

1.64. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М тр = 4,9 Н·м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением e= 100 рад/с 2 .

1.65. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением w = А + Вt , где В = 8 рад/с 2 . Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.

1.66. К ободу колеса радиусом R = 0,5 м и массой m = 50 кг приложена касательная сила F = 98,1 Н. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) через какое время после начала действия силы колесо будет иметь скорость, соответствующую частоте вращения 100 об/с.

1.67. Маховик радиусом R = 0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно Т = 14,7 Н. Какова будет частота вращения маховика колеса через D t = 10 с после начала движения? Маховик считать ободом. Трением пренебречь.

1.68. Колесо, имеющее момент инерции I = 245 кг·м 2 , вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил.

1.69. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузики массами m 1 = 100 г и m 2 = 110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трением в блоке пренебречь.

1.70. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с 2 .

1.71. Две гири разной массы соединены нитью и перекинуты через блок, момент инерции которого I = 50 кг·м 2 и радиус R = 20 см. Блок вращается с трением и момент сил трения М = 98,1 Н·м. За да намерите

разность натяжения нити ( Т 1 – Т 2 ) по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с постоянным угловым ускорением e = 2,36 рад/с 2 .

1.72. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m 1 = 0,3 кг и m 2 = 0,5 кг. Определить силы Т 1 и Т 2 натяжения шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно размещена по ободу.

1.73. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение движения шара имеет вид j = А + Вt 2 + Сt 3 , где В = 4 рад/с 2 , С = –1 рад/с 3 . Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент силы М в момент времени t = 2 с.

1.74. Однородный тонкий стержень массой m 1 = 0,2 кг и длиной l = 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси Z , проходящей через точку, которая делит стержень в отношении 1:2. В верхний конец стержня попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси Z ) со скоростью v = 10 м/с, и прилипает к стержню. Масса шарика m 2 = 10 г. Определить угловую скорость w стержня и линейную скорость и нижнего конца стержня в начальный момент времени.

1.75. Горизонтальная платформа массой М = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с угловой скоростью, соответствующей частоте n = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. Какова будет частота вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшает свой момент инерции от 2,94 до 0,98 кг·м 2 ? Считать платформу однородным круглым диском.

1.76. Человек массой m 1 = 60 кг находится на платформе массой m 2 = 100 кг. Какое число оборотов будет делать платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом R 1 = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы v 1 = 4 км/ч. Радиус платформы R 2 = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – материальной точкой.

1.77. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m 1 = 50 кг. На какой угол j повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса платформы m = 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

1.78. Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой n 1 = 6 мин –1 . На краю платформы стоит человек, масса которого m = 80 кг. С какой частотой n 2 будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы

I = 120 кг·м 2 . Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.