КАТЕГОРИИ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) П Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военно дело (14632) Висока технологиите (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къщи- (47672) журналистика и SMI- (912) Izobretatelstvo- (14524) на външните >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) История- (13644) Компютри- (11121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) култура (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23,702) Matematika- (16,968) инженерно (1700) медицина-(12,668) Management- (24,684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образование-(11,852) защита truda- (3308) Pedagogika- (5571) п Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) oligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97182) от промишлеността (8706) Psihologiya- (18,388) Religiya- (3217) с комуникацията (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) спортно-(42,831) Изграждане, (4793) Torgovlya- (5050) превозът (2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596 ) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Telephones- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно (12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

квадратните форми

Квадратичен форма е (х 1 х 2, ..., х п) на п променливи се нарича сумата всеки член на която е квадратна на една от променливите, или продукта на две различни променливи, се приема с някои коефициент: е (х 1 х 2, ..., хп) = (а у = а СИ).

Матрица, съставена от тези коефициенти, се нарича матрица квадратна форма. Винаги е симетрична матрица (т.е. матрица, симетрично спрямо главния диагонал, а у = а СИ).

В матрица нотация, квадратна форма F (X) = X T AX, където

, В действителност,

Например, квадратното форма, пишем в матрична форма.

За да направите това, ние откриваме, матрицата на квадратното форма. Нейните диагонални елементи са равни на квадратите на коефициентите на променливите, както и други елементи - Половината от съответните коефициенти на квадратното форма. следователно

Нека колона матрица променлива X получава nondegenerate линейна трансформация матрица колонна Y, т.е. X = CY, където С - неособена матрица п-ти ред. Тогава квадратното формата
F (X) = X T AX = (CY) T A (CY ) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y.

По този начин, когато не-дегенеративен линейна трансформация с матрицата на квадратна форма има формата: A * = C T АС.

Например, ние откриваме квадратичен форма е (Y 1 Y 2), получена от квадратното формата на е (х 1 х 2) = 2х + 1 2 4 1 х с 2 - 3 2 2 линейна трансформация.

В квадратна форма, наречена каноничен (има каноничната форма), ако всички коефициенти на у = 0 за аз ≠ й, т.е.
е (х 1 х 2, ..., хп) = с 11 х 1 + 2 х 2 2 22 + ... + на NN х п = 2.

Неговата матрица е диагонал.

Теорема (доказателството не е дадено тук). Всяка квадратна форма може да бъде намалено до каноничната форма като се използва не-линейна дегенеративен трансформация.

Например, намаляване на каноничната форма на средната квадратична стойност
е (х 1 х 2 х 3) = 2х + 1 2 4 1 х с 2 - 3 2 2 х 2 х 3.

За да направите това, първо изберете точен квадрат с променлива х 1:

е (х 1 х 2 х 3) = 2 (х 1 2 + 2 2 + 1 х 2 х 2) - 2 2 2 - 2 2 3 2 3 х 2 = (х 1 + х 2) 2 - 5x 2 2 - х 2 х 3.

Сега изберете точен квадрат с променлива х 2:

е (х 1 х 2 х 3) = 2 (х + 1 х 2) 2-5 (2 х 2 - 2 * х 2 * (1/10) х 3 + (1/100) 3 х 2) - (5/100) х 02 март =
= 2 (х + 1 х 2) 2-52 - (1/10) х 3) 2 - (1/20) х 3 2.

Тогава не-дегенеративен линеен у трансформация 1 = х 1 + х 2, Y 2 = х 2 - (1/10) х 3 и Y 3 = х 3 това води до квадратна форма канонична форма F на (Y 1, Y 2, Y 3) = 2y януари 2 - 5 г 02 февруари - (1/20) у2 на март.

Имайте предвид, че каноничен форма на квадратна форма дефинирани еднозначно (едно и също квадратна форма може да се намали до канонични образуват различни методи [1]). Въпреки това, получено по различни начини канонични форми имат редица общи свойства. По-специално, броят на термини с положителен (отрицателно) форма на квадратични коефициенти не зависи от метода на редукция за образуване на този вид (например, в примера винаги ще бъде два отрицателни и един положителен коефициент). Това свойство се нарича законът на инерцията на квадратните форми.



За да проверите това, с други думи носят една и съща квадратното формата на каноничната форма. На първо превръщане на X 2:
е (х 1 х 2 х 3) = 2х + 1 2 4 1 х 2 - 3 2 2 х 2 х 3 = -3 Н 2 2x 2 х 3 + 4 х 2 1 + 2 х 2 = 1 - 3 (х 2 2 -
- 2 * х 2 ((1/6) х 3 + (2/3) х 1) + ((1/6) х 3 + (2/3) х 1) 2) - 3 ((1/6) х 3 + (2/3) х 1) 2 + 2х 1 = 2
-3 = (х 2 - (1/6) х 3 - (2/3) х 1) 2 - 3 ((1/6) х 3 + (2/3) х 1) 2 + 2х 1 2 = F (у 1, Y 2, Y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 3 2 + 2y, където Y 1 = - (2/3) х 1 + х 2 - (1/6) х 3, Y 2 = (2/3) х 1 + (1/6) х 3 и Y 3 = х 1. Тук, когато положителен коефициент 2 Y 3 и две отрицателен коефициент (-3) за Y 1 и Y 2 (и когато се използва друг метод се получава положителен коефициент 2 за Y 1 и две отрицателно - (-5) 2 и Y (-1 / 20) при Y 3).

Трябва също да се отбележи, че рангът на квадратното форма се нарича ранг на квадратното форма е равен на броя на ненулевите каноничен форм фактори и не се променя при линейни трансформации.

Квадратичен форма е (X) се нарича с положителен (отрицателен) определя дали за всички стойности на променливи не едновременно равни на нула, е положителен, т.е. F (X)> 0 (отрицателен, т.е.
F (X) <0).

Например, квадратна форма F 1 (X) = х 1 2 + х 2 2 - положително определен защото представлява сумата от квадратите и квадратичен форма е 2 (X) = -x 1 + 2 х 2 1 х 2 х 2 2 - отрицателен определен, защото е може да бъде представена в F на форма 2 (X) = - (х 1 - х 2) 2.

В повечето практически ситуации, да се установи категорично знак на квадратното форма е малко по-сложно, така че за тази цел един от следните теореми (ние ги изложи без доказателство).

Теорема. В квадратна форма е положителен (отрицателно) определено единствено и само ако всички свои собствени стойности са положителни матрица (отрицателно).

Теорема (критерий Sylvester). Квадратичната форма е положително определена единствено и само ако всички основни непълнолетните на тази форма са положителни.

Главна (ъгловата) второстепенен к-тия ред на матрицата п-ти ред се нарича фактор на матрицата, състояща се от първите к редовете и колоните на А ().

Имайте предвид, че за отрицателно квадратните форми се редуват определени признаци основните малолетни и непълнолетни лица, първият непълнолетния, за да е отрицателен.

Например, за да разгледа определен знак квадратна форма е (х 1 х 2) = 2х + 1 2 4 1 2 х + 3 2 2.

Метод 1: Изграждане матрица квадратна форма А =. Характерните уравнението ще има формата = (2 - л) *
* (3 л) - 4 = (6 - 2л - 3 л + L 2) - 4 = л 2 - 5л + 2 = 0; D = 25-8 = 17;
, Следователно, квадратна форма - положително определена.

Метод 2. Главен Мала първи ред матрица D 1 = а 11 = 2> 0. Основната малка втори ред D 2 = 6 - 2 = 4> 0 По този начин, съгласно критерия Sylvester квадратна форма - положително определена.

Проучване на друг определен знак квадратна форма, е (х 1 х 2) = -2x + 4 1 2 1 х с 2 - 3 2 2.

Метод 1: Изграждане матрица квадратна форма А =. Характерните уравнението ще има формата = (-2 - л) *
* (- 3 л) - 4 = (6 + 2л + 3L + L 2) - 4 = L + 2 5л + 2 = 0; D = 25-8 = 17;
, Следователно, квадратна форма - отрицателен определен.

Метод 2. Главен Мала първи ред матрица D 1 = а 11 =
= -2 <0 Мала основната втори ред D 2 = 6 - 2 = 4> 0 По този начин, съгласно критерий Sylvester квадратна форма - отрицателни определени (основни непълнолетни алтернативни признаци, вариращи от минус).

И като друг пример разглежда в определен знак квадратна форма е (х 1 х 2) = 2х + 1 2 4 1 х с 2 - 3 2 2.

Метод 1: Изграждане матрица квадратна форма А =. Характерните уравнението ще има формата = (2 - л) *
* (- 3 л) - 4 = (-6 - 2л + 3L + л 2) - 4 2 = L + L - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
, Един от тези числа е отрицателен, а другият - положително. Признаци на собствени стойности различни. Вследствие на това квадратно формата може да бъде нито отрицателно, нито положително определена, т.е. Това квадратна форма не е определена (може да отнеме стойности на двата знака).

Метод 2. Главен Мала първи ред матрица D 1 = а 11 = 2> 0. Основната малка втори ред = 2 = D -6 - 4 = -10 <0 Следователно, от Sylvester квадратичен критерий не е определена форма (основни признаци. малолетни и непълнолетни, са различни, като първата от тях - е положителен).

<== предишната лекция | Следващата лекция ==>
| квадратните форми

; Дата на добавяне: 01/04/2014; ; Отзиви: 640; Нарушаването на авторски права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикува материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Edu Doc (2013 - 2017) на година. Не е авторът на материала, и предоставя на студентите възможност за безплатно обучение и употреба! Най-новото допълнение , Ал IP: 66.249.93.205
Page генерира за 0.03 секунди.