Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Пръстенът се нарича комутативен, асоциативен, анти-комутативен. Линг пръстен в алгебра

Пръстен е абелова група на добавяне с умножение. за които са валидни следните свойства: и ,
Пръстен се нарича комутативен, ако ,
Пръстен се нарича асоциативен, ако ,
Пръстен се нарича анти-комутативен, ако ,
Пръстен се нарича пръстен Лий, ако ,
Във всеки пръстен , наистина и ,
елемент в пръстена се нарича единица, ако ,

Определение. Полето е комутативен, асоциативен пръстен с единица, в която всеки ненулев елемент има инверсия.

Определение. Тялото е асоциативен пръстен с единица, в която всеки ненулев елемент е обратим.

примери:

- кватернионно поле. Това наистина ще бъде поле, оттогава , ако матрицата е ненулева, затова има обратна: ,

Определение. нека - поле. пръстен което е векторно пространство по-горе Тя се нарича - чрез алгебра , ако ,

Упражнение. В антикоммутативната алгебра (пръстен) идентичността е удовлетворена ,

Упражнение. нека - асоциативна алгебра, ние поставяме , Докаже, че относно ново умножение е алгебра на Ли.

Определение. елемент алгебра с единица, наречена обратима, ако ,

Определение. елемент се нарича ляв ( десен ) делител на нула , ако ( ).

Оферта. Всички обратими елементи на асоциативна алгебра с единица образуват група чрез умножение. Обратимият елемент не може да бъде нулев делител.
Доказателство.
                ако - обратимо тогава - обратими ,
ако - обратимо тогава - обратими ,
Следователно, това е наистина група за умножение.
нека обратими и след това което противоречи на дефиницията на нулев делител.

Определение. Алгебра се нарича домейн, ако няма нулеви делители.

Определение. subalgebra в алгебра се нарича подпространство, което е пръстен, за който са изпълнени свойствата:
1) ,
2) не е празно

нека - асоциативен -алгебра с единица, и нека , Обмислете много - всички такива крайни количества.

Упражнение. е най-малката субалгебра с единица съдържащ елемента ,

Определение. идеален пръстени (алгебри) се нарича подгрупа на адитивна група (подпространство), така че ако , след това и , Т.е. идеалът поддържа умножение в ляво и дясно на всички елементи на пръстена (алгебра).

Определение. Пръстен (алгебра) се нарича прост, ако в него има само два идеала: 0 и то само.

Оферта. Нека един идеал в асоциативна алгебра с единица съдържа обратим елемент, след това идеалът съвпада с цялата алгебра.
Доказателство.
                нека - обратими и. \ t , ако след това следователно ,

Разследването. Всяко тяло, всяко поле е винаги просто.

нека - асоциативна комутативна алгебра с 1 и , Обмислете много ,

Упражнение. - идеален интериор съдържащ ,

наречен основният идеал, генериран от елемента ,
Лекция 12 (19.11.2001)

Определение. Комутативната асоциативна област (без нулевите делители) с единица се нарича пръстен (алгебра) на основните идеали , ако има някакъв идеал в него.

Например в пръстена на цели числа Всеки идеал винаги е подгрупа, т.е. , т.е. всеки идеал е основният и този пръстен на основните идеали.

Теорема. нека - поле. след това - пръстен от основни идеали.
Доказателство.
                нека и , нека - най-малко полином. нека тогава можем да разделим за с останалата част: където също или , но следователно , защото при тогава беше най-малка степен , т.е. , следователно - основният идеал, генериран от полином и - пръстен от основни идеали.

Упражнение. Докаже, че пръстенът не пръстен от основни идеали. Забележка: помислете за идеала - всички полиноми с нулеви свободни членове и докаже, че не е просто.

Помислете за пръстена ,

Теорема. - пръстен от основни идеали.
Доказателство.
                От това се извежда аналог на евклидовия алгоритъм (разделяне с остатъка). Въвеждаме нормата след това ,

Лема. нека след това има такива че , и ,
Доказателство.
Помислете за всички номера на формуляра , Получаваме нещо като решетка, страната на квадрата е , Вземете произволен номер , Тя ще падне в един от тези квадрати, след което разстоянието от не до някакъв връх на площада няма да бъде повече ,
Като число вземете номер до беше този връх. - вектор от този връх до , след това ,

А сега нека , , Ние избираме така, че скоростта му е минимална. Освен това, аргументирайки се както в предишната теорема с полиноми (прилагайки делението, описано по-горе с останалата част), ще открием, че всички останали числа са делими от него, т.е. - основният идеал и - пръстен от основни идеали.

Сега ще се обърнем към разглеждане на некомутативни пръстени. нека - асоциативен пръстен с единица, , нека - квадратни матрици с коефициенти от пръстен ,

Упражнение. ,

Теорема. нека , след това такава ,
Доказателство.
                нека , Докаже, че , нека и след това следователно , по същия начин следователно ,
нека след това , Ето защо, , т.е. всички матрични коефициенти от в идеалния случай , следователно , нека , - произволна матрица на , след това , следователно , т.е. ,

Припомнете си, че звъни (алгебра) нарича се просто, ако в него има само два идеала: нула и самия.

Разследването. ако - Тогава тялото - обикновен пръстен.

Определение. показ наречен хомоморфизъм на алгебра, ако
1) ,
2) ,
3) ,
Един изоморфизъм е биективен хомоморфизъм.
Един автоморфизъм е изоморфизъм на алгебра върху себе си.
Мономорфизмът е инжективен хомоморфизъм.
Епиморфизмът е сюръективен хомоморфизъм.
Ядрото на един хомоморфизъм е пълното предисловие на нула. ,

Оферта. ,
Доказателство.
                нека след това ,
нека , след това ,

Упражнение. тогава и само ако - мономорфизъм.

нека където - тяло. след това но в само за идеал: нула и самата. Следователно - нула или мономорфизъм.

нека след това - подгрупа в (добавка), и нормално, следователно - факторна група (чрез добавяне), т.е. , след това

Оферта. умножение и умножение чрез скалари правилно.
Доказателство.
, ,
, , ,
,
Следователно умножение правилно.
,
Следователно умножението от скалари правилно.

Идеалите и групите фактори са изградени във всеки пръстен (не само в асоциативен или комутативен). - факторна алгебра (фактор пръстен).
Помислете за хомоморфизъм , t.ch. (естествен хомоморфизъм).

Упражнение. е епиморфизъм и ,

Теорема (за хомоморфизъм). нека след това - изоморфна субалгебра ,
Доказателство.
                Определяме изоморфизма както следва: (виж теоремата за хомоморфизма в теорията на групите). Нека проверим някои свойства на изоморфизма (останалите са проверени в теория на групата):

следователно това е изоморфизъм.

примери:
1) , homomorphism където - остатък от разделянето за след това ,
2) , homomorphism където след това ,
3) , homomorphism където след това ,

ако - подполе в след това е над алгебра , Всички автоморфизми подобен на алгебра образуват група от Галуа ,





Вижте също:

Алгебрични групи

Дискретни подгрупи в алгебра

Алгебра на Вейл

Теорема: Всяка целочислена правоъгълна матрица се свежда до диагонална форма чрез елементарни преобразувания на редове и колони.

Абелева група в алгебра

Връщане към съдържанието: Алгебра

2019 @ ailback.ru