КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Interval оценка. Интервалът на доверие. Намирането на доверителните интервали за средното и дисперсията на нормално разпределение на случайната променлива




В редица задачи, трябва да не бъдат открити само с помощта на оценка статистическа гледна данни параметър разпределение, но също така за оценка на точността и надеждността, тъй като от случайността приблизителна замяна за Това може да доведе до сериозни грешки. За оценка на точността на доверителните интервали, използвани в математическата статистика.

Нека параметъра разпределението на случайна величина X получава безпристрастен оценител , Ние се определи достатъчно висока степен на вероятност (Например, ) И да се намери стойност е> 0, за които

, (9)

Уравнение (9) може да се запише в друга форма:

, (10)

Последното уравнение (10) може да се тълкува по следния начин: неизвестна стойност параметър с вероятност в интервала ,

Но като неизвестен стойност Това е оценка, която не е случайна стойност Тази опция - случаен, след това уравнение (10) може да се тълкува по-точно, както следва: интервал с висока степен на вероятност Той обхваща неизвестен параметър ,

интервал Тя се нарича доверителен интервал; нейния център е в точката Радиусът на нейния Е. вероятност Тя се нарича ниво на доверие или надеждността.

По този начин, доверителния интервал - Един интервал центрирана в и радиус д, която е висока степен на вероятност (надеждност) обхваща неизвестен параметър , Намерете доверителен интервал - което означава, според статистиката, за да намерите центъра на интервала и радиусът на нейния Е> 0.

1. доверителния интервал, при оценката на очакването на нормално разпределение на случайната променлива с известните S

Нека случайна променлива X има нормално разпределение с неизвестен очакване и известно противоречие и 2. Нека N независими експеримента, направени въз основа на статистически данни, получени от средната стойност на извадката:

Зададохме достатъчно висок доверителна вероятност г. Необходимо е да се конструира доверителен интервал , На първо място, ние отбелязваме, че случайната променлива също има нормално разпределение , Всъщност,

;

Вероятността за случайна променлива хит с нормален закон разпределение по симетричен интервал центрирана в и радиус равен на епсилон

(11)

където - Лаплас функция.

определящият Ние имаме F (T) = г / 2. След това, на масата. 4 молба е т от стойността F (T) = г / 2; тук е : , По този начин, на доверителния интервал се дава от

, (12)

Целева 1. случайна променлива X има нормално разпределение с известно S = 3. Намери доверителния интервал за оценка на очакването на непознатото и на неговата средна проба Ако знаете размера на извадката и ,

Solution. Имаме въз основа на формула (11):

т = , ,

От таблица. 4т = 1,96. след това , По този начин,



,

2. доверителния интервал, при оценката на очакването
нормално разпределение с неизвестен ите

За разлика от предишния, случайна променлива х има нормално разпределение N (A, S) с неизвестен S. Да предположим, че п независими проучвания, произведени, построен пробата означава и "коригира" проба вариацията S 2. Задължително за изграждане на доверителни интервали за оценка очакване.

Помислете за случайна променлива

, (13)

Разпределение (13) е най-T - разпределение или разпределение на Стюдънт с степени на свобода.

Всъщност, за да определи дали - А случайна променлива с нормално разпределение А V - случайна променлива разпределени според закон в 2 с к степени на свобода, тогава случайна променлива Студентски разпространява законно с к степени на свобода. случайна величина нормално разпределение , случайна величина

(14)

също разпределят според нормалната практика (като линейна функция по отношение на един нормален аргумент ) право ,

Известно е, че случайна променлива

(15)

С разпределени според закона 2 степени на свобода. Ето защо, на случайна променлива Т е разпределена в съответствие със закона на Student.

С увеличаване на степените на свобода на разпределението на Т подходи нормалата и дори Той не се различава от него. Следователно, когато се оценяват на неизвестните параметри от проба на малък обем с помощта на Т-разпределение (13). При конструирането на доверителен интервал за очакването, ние говорим за вероятността от (9). имаме

или с (13)

, (16)

определящият ние получаваме ,

По този начин, ние имаме

, (17)

значение Тя се определя от вероятността Таблица. 5 Студентски приложения за разпространение. След това, като се има предвид, че , Ние откриваме , По този начин, с доверителен интервал за оценяване на очакването неизвестни те години има формата

, (18)

Задача 2. случайна променлива X има нормално разпределение. Според обема на извадката N = 15 открити пробата означава "Поправен" стандартното отклонение , Определя интервала оценка на очакването, с доверителна вероятност ,

Solution. Според таблица. 5 приложения търсене , след това , Съгласно формула (18) се получава доверителния интервал

,

Забележка. Нека N независим произвежда еднакво точни измервания на физическо количество, което е истинското значение на непознат и който има нормално разпределение. нека - Резултатите от отделните измервания, които се считат за независими случайни величини с един и разпределението на, и имат една и съща очакването (истинската стойност на измерената стойност), равен дисперсията и 2 (еднакво точни измервания). В този случай, истинската физическа стойност на измерване количество се оценява като се използва средната проба За което можем да изградим доверителни интервали (с неизвестен ите), ако метода, описани в т. 2.

Цел 3. Според 16-те независими еднакво точни измервания на физическото количество намерени пробата означава и "коригира" стандартното отклонение , Задължително да се оцени истинската стойност на случайна променлива с надеждност ,

Solution. Истинската стойност на измерената стойност е равна на неговата очакване , Ето защо, проблемът се свежда до оценката на математическото очакване (неизвестните и) на нормалното разпределение с помощта на доверителния интервал. Интервалът на доверие е намерена по формула (18).

Използването на маса. 5 приложения за = 0.95 и , Ние откриваме , имаме

,

,

3. Доверителни интервали за изчисляване на стандартното отклонение те години на нормалното разпределение

Нека случайната променлива X изучава населението се разпределя според закона N (A, S). Според статистиката намерени "коригира" стандартно отклонение S. изисква да се намери на доверителния интервал с г надеждност за него.

Се изисква да се намери такава електронна> 0, равенството

, (19)

Неравенството | SS | <д чрез серия от еквивалентни преобразувания може да бъде пренаписана, както

,

Следователно (19) може да бъде пренаписана, както

P (| SS | <д) = P ( <C < ) = G (20)

където

, (21)

Случайна променлива (19) се разпределя в съответствие със закона (има - Разпределение) до степени на свобода. Разпределението на плътността на вероятността на с-с (N -1) степени на свобода има формата

Тогава (20) може да бъде пренаписана, както , От това уравнение на снимачната площадка и могат да бъдат намерени ; използвана за тази таблица. 6, вероятността за случайна променлива с хит - Разпространение в зададения интервал в зависимост от , След намирането доверителен интервал се определя от

, (22)

Zadacha.4. Количествен показател за общото население обикновено се разпространяват N (A, S). Според обема на пробата намерено "коригира" стандартното отклонение , Намери доверителния интервал за тази оценка с надеждност ,

Solution. Според таблица. 6 приложения за и намирам , доверителния интервал, се дава от I G = (1,24 (1-0,44) ; 1,24 ( 1 + 0.44)) = (0.69, 1.79).

Забележка. Теорията на измервания, направени точност на измерване (точността на измервателната система) се характеризира с ите. За да се оцени използването S "коригира" стандартното отклонение , Следователно доверителния интервал се използва за оценка на точността на измерване на , Теорията за изграждането на които е описано по-горе.

Таблица А4

Таблица функционални стойности

0.0 0.3989 0.3989 0.3989 0.3988 0.3986 0.3984 0.3982 0.3980 0.3977 0.3973
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0 0.2420 0.2396 0.2371 0.2347 0.2323 0.2299 0.2275 0.2251 0.2227 0.2203
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0 0.0540 0.0529 0.0519 0.0508 0.0498 0.0488 0.0478 0.0468 0.0459 0.0449
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0 0.0044 0.0043 0.0042 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.0035 0.0034
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8 0002.
3.9

Таблица А4

Таблица функционални стойности

х F (X) х F (X) х F (X) х F (X)
0.00 0,0000 0.24 0.0948 0.48 0.1844 0.72 0.2642
0.01 0.0040 0.25 0.0987 0 49 0.1879 0.73 0.2673
0.02 0.0080 0.26 0.1026 0.50 0.1915 0.74 0.2703
0.03 0.0120 0.27 0.1064 0.51 0.1950 0.75 0.2734
0.04 0.0160 0.28 0.1103 0.52 0.1985 0.76 0.2764
0.05 0.0199 0.29 0.1141 0.53 0.2019 0.77 0.2794
0.06 0.0239 0.30 0.1179 0.54 0.2054 0.78 0.2823
0.07 0,0279 0.31 0.1217 0.55 0.2088 0.79 0.2852
0.08 0.0319 0.32 0.1255 0.56 0.2123 0.80 0.2881
0.09 0.0359 0.33 0.1293 0.57 0.2157 0.81 0.2910
0.10 0.0398 0.34 0.1331 0.58 0.2190 0.82 0.2939
0.11 0.0438 0.35 0.1368 0.59 0.2224 0.83 0.2967
0.12 0.0478 0.36 0.1406 0.60 0.2257 0.84 0.2995
0.13 0.0517 0.37 0.1443 0.61 0.2291 0.85 0.3023
0.14 0.0557 0.38 0.1480 0.62 0.2324 0.86 0.3051
0.15 0.0596 0.39 0.1517 0.63 0.2357 0.87 0.3078
0.16 0.0636 0.40 0.1554 0.64 0.2389 0.88 0.3106
0.17 0.0675 0.41 0.1591 0.65 0.2422 0.89 0.3133
0.18 0.0714 0.42 0.1628 0.66 0.2454 0.90 0.3159
0.19 0.0753 0.43 0.1664 0.67 0.2486 0.91 0.3186
0.20 0.0793 0.44 0.1700 0.68 0.2517 0.92 0.3212
0.21 0.0832 0.45 0.1736 0.69 0.2549 0.93 0.3238
0.22 0.0871 0.46 0.1772 0.70 0.2580 0.94 0.3264
0.23 0.0910 0.47 0.1808 0.71 0.2611 0.95 0.3289
0.96 0.3315 1.37 0.4147 1.78 0.4625 2.36 0.4909
0.97 0.3340 1.38 0.4162 1.79 0.4633 2.38 0.4913
0.98 0.3365 1.39 0.4177 1.80 0.4641 2.40 0.4918
0.99 0.3389 1.40 0.4192 1.81 0.4649 2.42 0.4922
1.00 0.3413 1.41 0.4207 1.82 0.4656 2.44 0.4927
1.01 0.3438 1.42 0.4222 1.83 0.4664 2.46 0.4931
1.02 0.3461 1.43 0.4236 1.84 0.4671 -2,48 0.4934
1.03 0.3485 1.44 0.4251 1.85 0.4678 2.50 0.4938
1.04 0.3508 1.45 0.4265 1.86 0.4686 2.52 0.4941
1.05 0.3531 1.46 0.4279 1.87 0.4693 2.54 0.4945
1.06 0.3554 1.47 0.4292 1.88 0.4699 2.56 0.4948
1.07 0.3577 1.48 0.4306 1.89 0.4706 2.58 0.4951
1.08 0.3599 1.49 0.4319 1.90 0.4713 2.60 0.4953
1.09 0.3621 1.50 0.4332 1.91 0.4719 2.62 0.4956
1.10 0.3643 1.51 0.4345 1.92 0.4726 2.64 0.4959
1.11 0.3665 1.52 0.4357 1.93 0.4732 2.66 0.4961
1.12 0.3686 1.53 0.4370 1.94 0.4738 2.68 0.4963
1.13 0.3708 1.54 0.4382 1.95 0.4744 2.70 0.4965
1.14 0.3729 1.55 0.4394 1.96 0.4750 2.72 0.4967
1.15 0.3749 1.56 0.4406 1.97 0.4756 2.74 0.4969
1.16 0.3770 1.57 0.4418 1.98 0.4761 2.76 0.4971
1.17 0.3790 1.58 0.4429 1.99 0.4767 2.78 0.4973
1.18 0.3810 1.59 0.4441 2.00 0.4772 2.80 0.4974

Край на маса P4

х F (X) х F (X) х F (X) х F (X)
1.19 0.3830 1.60 0.4452 2.02 0.4783 2.82 0.4976
1.20 0.3849 1.61 0.4463 2.04 0.4793 2.84 0.4977
1.21 -0.3869 1.62 0.4474 2.06 0.4803 2.86 0.4979
1.22 0.3883 1.63 0.4484 2.08 0.4812 2.88 0.4980
1.23 0.3907 1.64 0.4495 2.10 0.4821 2.90 0.4981
1.24 0.3925 1.65 0.4505 2.12 0.4830 2.92 0.4982
1.25 0.3944 1.66 0.4515 2.14 0.4838 2.94 0.4984
1.26 0.3962 1.67 0.4525 2.16 0.4846 2.96 0.4985
1.27 0.3980 1.68 0.4535 2.18 0.4854 2.98 0.4986
1.28 0.3997 1.69 0.4545 2.20 0.4861 3.00 0,49865
1.29 0.4015 1.70 0.4554 2.22 0.4868 3.20 0,49931
1.30 0.4032 1.71 0.4564 2.24 0.4875 3.40 0,49966
1.31 0.4049 1.72 0.4573 2.26 0.4881 3.60 0.499841
1.32 0.4066 1.73 0.4582 2.28 0.4887 3.80 0.499928
1.33 0.4082 1.74 0.4591 2.30 0.4893 4.00 0.499968
1.34 0.4099 1.75 0.4599 2.32 0.4896 4.50 0.499997
1.35 0.4115 1.76 0.4608 2.34 0.4904 5.00 0.499997
1.36 0.4131 1.77 0.4616

Таблица A5

Таблица на стойностите т г = т (г, п )

ж ж
п 0.95 0.99 0999 п 0.95 0.99 0999
2.78 4.60 8.61 2093 2861 3883
2.57 4.03 6.86 2064 2797 3745
2.45 3.71 5.96 2045 2756 3659
2.37 3.50 5.41 2032 2720 3600
2.31 3.36 5.04 2023 2708 3558
2.26 3.25 4.78 2016 2692 3527
2.23 3.17 4.59 2009 2679 3.502
2.20 3.11 4.44 2001 2662 3464
2.18 3.06 4.32 1996 2649 3439
2.16 3.01 4.22 1001 2640 3418
2.15 2.98 4.14 1987 2633 3403
2.13 2.95 4.07 1984 2627 3392
2.12 2.92 4.02 1980 2617 3374
2.11 2.90 3.97 1960 2576 3291
2.10 2.88 3.92

Таблица A6

Стойностите в таблицата р = р (г, п)

п ж п ж
0.95 0.89 0999 0.95 0.99 0999
1.37 2.67 5.64 0.37 0.58 0.88
1.09 2.01 3.88 0.32 0.49 0.73
0.92 1.62 2.98 0.28 0.43 0.63
0.80 1.38 2.42 0.26 0.38 0.56
0.71 1.20 2.06 0.24 0.35 0.50
0.65 1.08 1.80 0.22 0.32 0.46
0.59 0.98 1.60 0.21 0.30 0.43
0.55 0.90 1.45 0.188 0.269 0.38
0.52 0.83 1.33 0.174 0245 0.34
0.48 0.78 1.23 0.161 0.226 0.31
0.46 0.73 1.15 0.151 0211 0.29
0.44 0.70 1.07 0143 0.198 0.27
0.42 0.66 1.01 0115 0.160 0211
0.40 0.63 0.96 0099 0.136 0185
0.39 0.60 0.92 0.089 0.120 0.162

Таблица A7

Критична точка в 2 дистрибуция

Броят на степените на свобода Нивото на значимост на
0.01 0025 0.05 0.95 0.975 0.89
6.6 5.0 3.8 0.0039 0.00098 0.00016
9.2 7.4 6.0 0.103 0051 0020
11.3 9.4 7.8 0.352 0.216 0115
13.3 11.1 9.5 0.711 0484 0.297
15.1 12.8 11.1 1.15 0,831 0.554
16.8 14.4 12.6 1.64 1.24 0.872
18.5 16.0 14.1 2.17 1.69 1.24
20.1 17.5 15.5 2.73 2.18 1.65
21.7 19.0 16.9 3.33 2.70 2.09
23.2 20.5 18.3 3.94 3.25 2.56
24.7 21.9 19.7 4.57 3.82 3.05
26.2 23.3 21.0 5.23 4.40 3.57
27.7 24.7 22.4 5.89 5.01 4.11
29.1 26.1 23.7 6.57 5.63 4.66
30.6 27.5 25.0 7.26 6.26 5.23
32.0 28.8 26.3 7.96 6.91 5.81
33.4 30.2 27.6 8.67 7.56 6.41
34.8 31.5 28.9 9.39 8.23 7.01
36.2 32.9 30.1 10.1 8.91 7.63
37.6 34.2 31.4 10.9 9.59 8.26
38.9 35.5 32.7 11.6 10.3 8.90
40.3 36.8 33.9 12.3 11.0 9.54
41.6 38.1 35.2 13.1 11.7 10.2
43.0 39.4 36.4 13.8 12.4 10.9
44.3 40.6 37.7 14.6 13.1 11.5
45.6 41.9 38.9 15.4 13.8 12.2
47.0 43.2 40.1 16.2 14.6 12.9
48.3 44.5 41.3 16.9 15.3 13.6
49.6 45.7 42.6 17.7 16.0 14.3
50.9 47.0 43.8 18.5 16.8 15.0

Таблица A8