КАТЕГОРИИ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) П Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военно дело (14632) Висока технологиите (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къщи- (47672) журналистика и SMI- (912) Izobretatelstvo- (14524) на външните >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) История- (13644) Компютри- (11121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) култура (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23,702) Matematika- (16,968) инженерно (1700) медицина-(12,668) Management- (24,684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образование-(11,852) защита truda- (3308) Pedagogika- (5571) п Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) oligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97182) от промишлеността (8706) Psihologiya- (18,388) Religiya- (3217) с комуникацията (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) спортно-(42,831) Изграждане, (4793) Torgovlya- (5050) превозът (2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596 ) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Telephones- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно (12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Интеграли зависимост от параметър

Michurinsk-Наукоград 2012

абстрактен

"Parametric интеграли"

Завършен:

студент

икономически

факултет

21 E група

Baharev AS

Проверка:

1. непрекъснатостта на интеграла на параметъра

Помислете за интеграл

F (у) =

зрителното поле

Когато е е определен в област D (затворен), X 1 (у), X 2 (у) са непрекъснатост определени в [с, г].

Теорема. Ако е е непрекъсната от D, X 1 (у), X 2 (у) са непрекъснато в [с, г], тогава F (у) е непрекъсната върху [с, г].

Доказателство. Функция е ние определяме правоъгълник [а, б] [с , г] , съдържащ област D, както е показано на фигурата, както следва: да е (х, у) = F1 (у), у) за определен у, [с, г] и "XI [а, х 1 (у)], подобно на дясната страна на поле F на (х, у) = F2 (у), у) на у, [с, г] и" XI [х 2 (у), б]. Ще бъде обозначен с F (х, у) за удължаване на определението на функцията все още. Тази функция ще бъде непрекъснато в [а, Ь] [с , г].

Следваща | F (ш + Dy) - F (ш) | = = £ + + £ М | Dx 1 | + (б - а) д + M | Dx 2 |.

Тя използва ограниченията на F функцията и еднаквото непрекъснатост.

Определение. Да предположим, че F функция (х, у) се определя на [а, Ь] за всеки yÎY. Тя се казва, че е (х, у) клони равномерно г (х) на [а, Ь] с 0, ако y®y

"Д> 0 $ г> 0" XI [а, Ь] " Yiu г (у 0): | е (х, у ) - г (х) | <д.

Това може да бъде доказано, че ако е (х, у) е непрекъсната iravnomerno доближи до г (х) на [а, Ь] y®y на 0, функцията г (х) е непрекъсната върху [а, Ь].

Доказателство. Ние запиша неравенството

| Г (х) -G (х 0) | = | г (х) -f (х, у) + F (х, у) -f (х 0, у) -G (х 0) + е (х 0, у) | £ | г (х) -f (х, у) | + | е (х, у) -f (х 0, у) | + | г ( х 0) - е (х 0, у) |. За дадена първо да изберете н о х квартал на 0, така че в този квартал | е (х, у) Г (х 0, у) | <д, за който и да е у в някои квартал на у 0. Това може да стане поради еднаквото непрекъснатостта на F функция (х, у). на | г (х) -f (х, у) |, | г (х 0) - е (х 0, у) | Може да се направи по избор в близост до у = 0 за всички х в единна конвергенция на е (х, у) на грам (х).

Теорема. Ако е (х, у) е непрекъснато и равномерно клони към г (х) на [а, Ь] y®y на 0, тогава

,

Доказателство. | Б - един | д.

1. интеграция на интеграли зависимост от параметър

Да предположим, че регионът е както домен от тип А и Б. От формули експресиращи двойно неразделна над многократно последвано от следната формула

F (у) =

2. Диференциране на интеграли зависимост от параметър

Теорема (Lejbnits). Ако е и непрекъснато в [а, б] [с , г], след това F (у) =

диференцируема на [с, г] и ,

Доказателство.

= = , 0 <р <1. след това



£ ,

От това неравенство и равномерна непрекъснатост необходимия резултат.

Да разгледаме домен от тип В, е показано на фигурата и функция F, определена на правоъгълника [а, б] [с , г], съдържащ региона D.

Теорема. Ако е и неговото производно непрекъснато в [а, Ь] [с , г] х 1 (у), X 2 (у) са непрекъснато на [с, г] производни на F (у) = също има производно

+ - ,

Доказателство. Разглеждане на функцията F (Y, U, V) = , За това има непрекъснати частични производни (Не е ясно, е непрекъснатостта на функцията ). Разнообразяване на съставния функция F (у) = = F (Y, X 1 (у), X 2 (у)) се получи желаният равенството. приемственост функция = От униформа непрекъснатостта на функцията ,

§2. Неправилни интеграли зависимост от параметър

3. Единна конвергенция неадекватно неразделна на параметъра

Помислете за интеграл

(1)

, YÎY.

Да предположим, че в някакъв неразделна у (1) е неадекватно. Така че, ако и у неразделна (1) има уникална функция в б, а след това състоянието на сближаване на (1) ще съществуват границите на допустимите

,

Ако в даден у интегрални клони, след това за всяка HI [а, б) неразделна (Наречен остатък) няма да има условие за сближаване може да се запише като , В случай на различия на тази интегрална, естествено да се предположи, че условието не е доволен. По този начин, състоянието на сближаване ще бъде по-нататък в писмена форма

,

Определение. Сближаване на Y се нарича равномерно конвергентна неразделна на Y, ако

"Д> 0 $ г> 0" HI (BD, б) " yÎY: (За интеграл от втория вид)

"Д> 0 $ М" HI (М + μ) "yÎY: (За интеграл от първи вид)

Вайерщрас M-тест за единна конвергенция (за интеграл от втория вид)

Ако $ г (х) на [а, Ь), интегрируеми на всяка [а, з), HI ( BD, б) така, че

1) | е (х, у) | £ г (х), с £ х <Ь, "yÎY

2) клони,

интеграла (1) клони равномерно върху Y.

Твърдението следва от неравенството ,

Теорема: Нека и е (х, у) е определен и непрекъснато на [а, б) за всички х yÎY. Ако часа за всяка функция е (х, у) клони равномерно г (х) на [а, BH] y®y при 0 неразделна клони равномерно върху Y, клони. след това

,

Доказателство.

= ,

могат да бъдат направени произволно малка от силата на еднаквото сближаването на функция е (х, у) на грам (х). интеграл Това може да се направи произволно малък, защото на единна конвергенция на интеграла , интеграл Това може да се направи произволно малък от сближаването на интеграла ,

Коши критерий за единна конвергенция. За единна конвергенция на интеграла необходими и достатъчни за

"Д> 0 $ г> 0" у, Y "з ¢, з ¢¢ I (BD, б): ,

Достатъчност. Когато състоянието за "у, Y" з ¢, з ¢¢ I (BD, б) може да премине към граничната з ¢¢ ® б. След това, за "у, Y" з ¢ Î (BD, б): Това означава, че единна конвергенция на интеграла ,

Необходимост. Има "е> 0 $ г> 0" у, Y "HI (BD , б): , След това, когато ч ¢, з ¢¢ I (BD , б) ще се извършва ,

4. непрекъснатостта на интеграла на параметъра

Теорема 2 Ако е (х, у) е определен и непрекъснато на [а, б) "[с , г], интеграл на F (у) = клони равномерно върху [с, г], след това неразделна е непрекъсната функция.

Доказателство.

| F (Y + Dy) - F (у) | = £ + + ,

Второто и третото интеграли могат да бъдат направени по-малко от предварително определената цел д ч от единна конвергенция на интеграла , След избиране на първата съставна з може да бъде направен по-малък от предварително определена д избора на достатъчно фин дял в единна функцията непрекъснатост.

5. Интегриране на интеграли зависими параметри

Теорема. Ако F функция (х, у) е определен и непрекъснато на [а, б) "[с , г], интеграл на F (у) = клони равномерно върху [с, г], след това

= = ,

Доказателство. За всеки час в разумни граници

= , Това предполага необходимата декларация, като се има предвид, че клони равномерно върху [с, г], за да когато h®b.

Тази теорема може да се обобщи

Теорема. Ако F функция (х, у) е определен и непрекъснато на [а, б) "[с , г), неразделна клони равномерно върху "[C, H] интеграл клони равномерно върху "[а, х] и има един повтарят интеграли

,

След това има още една, и равенството

= ,

Без доказване.

6. Разграничаване на интеграли зависимост от параметър

Лема. Ако F функция (х, у) е непрекъсната върху [а, б) "[с , г], след това сближаването на интеграла състояние е еквивалентно на всяка последователност Н N ®b серия ,

По същия начин, за еднаквото конвергенция.

Теорема. Нека функция F (х, у) и непрекъснато на [а, б) "[с , г]. ако клони за всички у и клони равномерно върху [с, г], след това функцията F (у) = непрекъснато диференцируема в този интервал и

,

Доказателство: Нека з н ®b. съгласно лема

F (у) = = , ,

След това нанесете теоремата на диференциация на функционална серия.

Пример. Ойлер гама функция F (р) = , P> 0.

Непрекъснатостта на (0, μ).

Помислете два неразделна , ,

1) £ , PI [д, 1). Вайерщрас М-тест.

- за своя PI [1, ¥).

2) £ , PI [1, Г]. Вайерщрас М-тест.

£ , PI (0, 1].

Нека докажем формулата

(1)

За да направите това, х ® XY замяна. G (п) = = = ,

Бета 2. Функцията Ойлер (Р, Q) = , P> 0, р> 0.

направите промяната , Dx = ,

На (Р, Q) = = ,

На (Р, Q) = (2)

3. Някои свойства на Ойлер функции

От (1) следва, че

, , Интегриране, , Когато се използва (2)

D В (р, Q) = D D ,

В (р, 1-р) = T D = = ,

T (1) = 1, Т (р + 1) = р Т (р).

Имайте предвид, че от тази формула, че функцията Гама достатъчно да се знае интервала (0, 1/2).

интеграл клони равномерно върху [е, А], 0 <д <A. Следователно, неразделна параметър може да се различава. Помислете за интеграл ,

В квартала на нула | LN х | £ за д> 0 съществува С 1 (д).

В квартал на безкрайност | LN х | £ за д> 0, съществува C 2 (д).

Интегрална е (к) (п) = клони равномерно върху всяка компактна. Това следва от разчетите £ + , PI [е, А]. Тук, за правомощията на логаритъм от следните оценки:

В квартала на нула неразделна клони за 0 <а <1, наистина на тон х б - .. на LN к х = ,

В околностите на безкрайността клони, наистина

Ха -1 | LN к х | £ С Ха т. К. и освен това ,

4. Примери за изчисляване на неправилни интеграли зависими параметри

Формула Frullani. F функцията (х) е непрекъсната и неразделна Той съществува за всяко А> 0.

= , = = = = = - F (0) ,

= F (0) ,

Интегриране на части интегралите се изчисляват

, А ³ 0 , А ³ 0.

Друг начин: Нека г = -a + IB, Отде горните формули.

Изчислете

,

, = + C.

= = Þ С = 0.

Поасон неразделна

I = ,

I 2 = = = = = = ,

Интегралната I = ,

Интегриране на части I = = = ,

= I, , I = C , I (0) = = = , I = ,

Изчислете неразделна F (А, В) = , А> 0, Ь> 0 (1)

(2)

от (2) F (А, В) = C + (Ь).

= = =

F (А, В) = + C (б) = + C (б).

р LN б = F (б, б) р = LN 2 + C (б), С ( б) = р ,

<== предишната лекция | Следващата лекция ==>
| Интеграли зависимост от параметър

; Дата на добавяне: 02.07.2015; ; Прегледи: 144; Нарушаването на авторски права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикува материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Edu Doc (2013 - 2017) на година. Не е авторът на материала, и предоставя на студентите възможност за безплатно обучение и употреба! Най-новото допълнение , Ал IP: 11.45.9.26
Page генерирана за: 0.104 сек.