КАТЕГОРИИ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) П Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военно дело (14632) Висока технологиите (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къщи- (47672) журналистика и SMI- (912) Izobretatelstvo- (14524) на външните >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) История- (13644) Компютри- (11121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) култура (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23,702) Matematika- (16,968) инженерно (1700) медицина-(12,668) Management- (24,684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образование-(11,852) защита truda- (3308) Pedagogika- (5571) п Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) oligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97182) от промишлеността (8706) Psihologiya- (18,388) Religiya- (3217) с комуникацията (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) спортно-(42,831) Изграждане, (4793) Torgovlya- (5050) превозът (2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596 ) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Telephones- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно (12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Кубични уравнения с реални коефициенти




Разтворът на кубични уравнения с формула Cardano

За фенове и ценители

Ние изпълнени разтвор трином кубични уравнения формула карданови след решени уравнение, по-висока от втора степен, като се използват различни специални техники. Но има метод за решаване на кубични уравнения с произволни сложни коефициенти съгласно формулата, когато корените са изразени по отношение на коефициентите на уравнението.

Да предположим, че даден кубически уравнение (1) с произволни сложни коефициенти.

решение

Замяна в уравнението (1) нов неизвестна променлива х у: получаване на уравнение:

Поставяме получи трикратно кубически уравнение на формата: (2).

Вече знаем, че последното уравнение се решава чрез Кардано формула:

(1)

(2)

(3)

Ако коефициентите на квадратното уравнение, непълна (4) - реални числа, главната роля се играе от израз Стоейки в Кардано формула под знака на квадратния корен.

Знакът на този израз е противоположна на тази на изразяване

,

която се нарича дискриминантата на квадратното уравнение, непълна. В последвалата дискусия се използва и показва, че това е знак на дискриминантата.

1. Нека D <0. В този случай, във формулата Кардано под знака на всеки един от квадратните корени на положително число е на стойност и следователно под знака на всеки един от корените на куб са реални числа. Коренът на куб на реално число има една реална стойност и две спрегнати комплексни корени. нека е действителната стойност на корена ; то стойността радикален съответстващо на въз основа на формула , Също ще бъде валиден, с оглед на факта, че броят на стр.

По този начин, основата Уравнение (4) е валиден. Другите две корените откриваме чрез заместване на (3) корените на единство и от експресията (5):

(5)

,

,

Тези две корени, се дължат на реални числа и спрегнати комплексни числа, с коефициент на имагинерната част е различно от нула, тъй - тези номера са различни стойности кубични корени.

Така, ако D <0, уравнението (4) има един реален и две сложни конюгат корени.

2) Да D = 0. В този случай,

,

нека е действителната стойност на радикала ; след това също ще, с оглед на равнопоставеността , А реално число, и , Чрез заместване във формули (3) през и с помощта на очевидна равенство , Получаваме:

,

Така, ако D = 0, истина всички корените на уравнение (4) е валиден, като две от тях са равни помежду си ..



3) И накрая, D> 0. В този случай, във формулата Cardano под знака на корен квадратен от отрицателно реално число трябва, следователно, съгласно признаците на куб корени са спрегнати комплексни числа. По този начин, всички стойности на корените и сега ще бъде комплексни числа. Сред корените на уравнението (4) трябва, обаче, да съдържа поне един валиден. Нека да е корен

,

Тъй като сумата от числата са валидни и и И техният продукт е равна на Числата, и свързани един с друг като квадратни корени на уравнението с реални коефициенти. Но тогава свързани един с друг, а броят на и Както и на броя на и От което следва, че корените на уравнението (4)

,

Тя също така ще са реални числа.

Ние открихме, че и трите корени на уравнението (4) е в сила, и че е лесно да се покаже, че никой от тях не са равни. В действителност, в противен случай изборът на корена х 1 може да се осъществи по такъв начин, че уравнението х 2 = х 3, където

,

т. е. , Което е ясно невъзможно.

Така, ако D> 0, уравнението (4) има три различни реални корени.

Сега се счита последния случай показва, че практическата стойност на формула Кардано е много малък. В действителност, дори когато D> 0 всички корените на уравнението (4) с реални коефициенти са реални числа, но търсенето на Cardano формула изисква добив на куб корени на комплексни числа, които могат да направят преход към тригонометрични формата на тези номера. Ето защо, в главната сметка с помощта на корен губи практическа стойност. Чрез методите, които излизат извън обхвата на настоящата глава, че е възможно да се докаже, че в този случай корените на уравнението (4) изобщо по никакъв начин не могат да бъдат изразени по отношение на коефициентите с помощта на корените с реални и радикални изразяване. Този случай е решението на уравнение (4), се нарича който не може да бъде намален (да не се бърка с който не може да бъде принуден полином!).


Пример 1. Решаване на уравнението от формула Cardan

,

решение

слагам получаваме ,

,

тук следователно

,

- уравнението има един реален и две сложни конюгат корени.

Според формули (1)

ние откриваме , , ,

Другите две корените всички формули

,

отговори на: ,

Пример 2. Решаване на уравнението от формула Cardan

,

решение

Превръщаме уравнение, като се раздели от двете страни, като коефициентът на .., т.е., от 27, получаваме уравнението: ,

слагам получаваме ,

,

, ,

тук следователно

,

- уравнение има три реални корени, а две от тях са равни.

съгласно формула

,

ние откриваме ,

отговори на: ,

Пример 3. За решаване на уравнението използване Cardan формула

,

решение

заместване Той причинява това уравнение за формата

,

, ,

тук следователно

,

- уравнение има три различни реални корени, но ако останем в областта на реалните числа, формула Кардано за това уравнение не се прилага, въпреки че неговите корени са реални числа ,

отговори на: ,

задача 1

Решаване на уравнението от формула Cardan

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. ,