КАТЕГОРИИ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) П Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военно дело (14632) Висока технологиите (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къщи- (47672) журналистика и SMI- (912) Izobretatelstvo- (14524) на външните >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) История- (13644) Компютри- (11121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) култура (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23,702) Matematika- (16,968) инженерно (1700) медицина-(12,668) Management- (24,684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образование-(11,852) защита truda- (3308) Pedagogika- (5571) п Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) oligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97182) от промишлеността (8706) Psihologiya- (18,388) Religiya- (3217) с комуникацията (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) спортно-(42,831) Изграждане, (4793) Torgovlya- (5050) превозът (2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596 ) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Telephones- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно (12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

интервалните оценки




11.1. Доверителни интервали и ниво на доверие.

Доверителни интервали за параметрите нормално разпределени

общото население.

Статистическа обработка на резултатите от наблюденията трябва да бъде не само да намерите прогноза неизвестния параметър θ, но също така и да се характеризира точността на тази оценка. За тази цел, ще се въведе понятието за доверителния интервал.

Доверителен интервал за θ параметър се нарича интервал 1, θ 2), включващ (покриващи) на θ истинската стойност с предварително определена вероятност р = 1 - α, т.е. Р [1 θ 2] = 1 α.

Номер 1 - α се нарича коефициент на доверие, както и стойността на α - степен на значимост. Статистика θ 1 = θ 1 1, ..., хп) и θ 2 = θ 2 1, ..., хп), определена за пробата х 1, ..., хп от населението неизвестен параметър θ, наречена долните и горните граници на доверителния интервал.

Условия P 1 2] = 1 α означава, че в една голяма серия от независими експерименти, в които всеки от получената проба с размер N, средната (1 - α) · 100% от общия брой на изградените доверителните интервали съдържа θ истинска стойност.

Дължината на доверителния интервал, характеризиращи интервал оценка на точността зависи от п на размера на извадката и доверителна вероятност 1 - а: чрез увеличаване на доверието на пробата размер интервал дължина намалява и нивото на доверие се приближава до единство - увеличава. Избор на нивото на доверие се определя от конкретните условия. ; Α, равна на 0,90 - 1 стойности обикновено се използват 0,95; 0.99.

В отговор на някои проблеми прилагат едностранно доверителни интервали, границите на които се определят от условията: P 2] = 1 α или P 1 <θ] = 1- α.

В този случай, интервали се наричат ​​в лявата страна и доверителните интервали, с десен волан.

За да намерите доверителен интервал за параметър θ, е необходимо да се знае, статистика на закона за разпределение = 1, ..., х п), която стойност е оценка на θ параметър.

За най-малката дължина доверителен интервал за даден обем проба п и предварително определено ниво на доверие 1 и оценка параметър θ трябва да се предприемат ефективни или асимпотично ефективна оценка.

Помислете за един от методите за конструиране на доверителни интервали. Да приемем, че има статистика Y = Y ( , Θ) такива, че:

а) Y разпределение закон е известен и не зависи от θ;

б) Y функция ( , Θ) е непрекъсната и строго монотонна по отношение на θ.
Нека (1 -α) - предварително определено ниво на доверие, а / 2 и 1- а / 2 - Y квантил статистики за разпределение поръчки a / 2 + 1 -α / 2sootvetstvenno. След това, с вероятност от 1 -α, неравенството в / <2 Y ( , Θ) <у 1- а / 2.



Решаването на този неравенство за θ, намери границата θ аз и θ 2 на доверителния интервал за θ. Ако разпределението на плътността на статистика Y е симетричен около оста у, тогава на доверителния интервал, има минимална дължина, и ако разпределението е асиметрична, продължителността е в близост до най-ниската.

Пример 46. Нека х 1 х 2, ..., хп - проба от нормална обща популация. Виж доверителен интервал за средната стойност М при условие, че дисперсията на населението е добре известно и σ 2, и нивото на доверие е 1 -α.

Решение. Като прогноза очакване проба се взема предвид м , За нормално разпределена извадка на населението означава изчислите м е ефективна. Пробата означава в този случай, че има нормално разпределение ,

Помислете Статистика Като нормално разпределение N (0,1), независимо от стойността на параметъра т. Освен това, U т като функция на непрекъснат и строго монотонна. след това , Където А / 2 и ф 1- а / 2 - квантил на нормално разпределение N (0,1).

решаване на неравенство по отношение на R, ние откриваме, че с вероятност 1 състояние:

,

Тъй като връзката квантил свързани нормално разпределение и / 2 = -u 1- а / 2, полученият доверителен интервал за тон може да се запише, както следва:

11.2. Доверителни интервали за вероятността за успех в схемата на Бернули

и параметъра λ на разпределението на Поасон.

Ако разпределението на населението не е нормално, а в някои случаи и с голямо количество проби може да се изгради на доверителни интервали за неизвестните параметри приблизително, като се използват пределните теореми от теорията на вероятностите и получената асимтотична разпространението и оценката.

Пример 47. Да н независими проучвания, успехът дойде х пъти. Намери доверителен интервал за вероятност р на успех в един съдебен процес.

Решение. Ефективната оценка на вероятността успех р в един съдебен процес е относителната честота = Н = X / ч. Чрез теорема DeMoivre-Лаплас относителната честота ч е асимптотично нормално разпределение Когато Q = 1 - стр.

Помислете Статистика Кой има асимптотично нормално разпределение N (0,1), независимо от стойността стр. За голяма п, тогава имаме

,

Следователно ние откриваме, че вероятността ≈1 неравенството

,

Смяна на стойностите на р и р са отляво и отдясно на записаните горе своите оценки = Н и 1 = -Н, ние получаваме доверителен интервал за вероятността за успех на Схема

,

Пример 48. При проверка 100 части голяма партида 10 открити дефектни части.

а) Намерете приблизителна 95% доверителен интервал за пропорцията на дефектни части в цялата страна.

б) Какво е трябва да се приема минималния размер на пробата, за да се гарантира, че с вероятност 0.95 може да се твърди, че процентът на дефектните части на цялата страна е различна от честотата
поява на дефектните части в проба, не е повече от 1%?

решение .a) оценка на съотношението на дефектните елементи в партидата на пробата е = Н = 10/100 = 0,1. Чрез прилагане маса (Р1) и да намерят квантил 1- а / 2 = 0.975 и = 1.96. Тогава доверието на 95%

интервал за съотношението на дефектните части в страната, се дава приблизително 0,041 <р <0.159.

б) представлява интервал Inequality получава доверие

,

което е изпълнено с вероятност ≈1 - α = 0,95. Тъй като според условията на проблема , За да се определи неравенства п получат

,

От това следва, че и п ≥ (0,3 · 196) 2 = 3457,44. Така, минималният размер на проба от п = 3,458.

11.3. Доверителни интервали за р на коефициент на корелация.

Нека проба I, у,), J = 1,2, ... , п, получено от популация с бивариантен нормално разпределение и г - проба коефициент на корелация. За достатъчно големи п Статистика Той е с приблизителен нормално разпределение ,

интервал на доверие за Arth ρ има формата

,

интервал на доверие за ρ се изчислява по хиперболичен тангенс р = то Z таблици. (Виж приложение P8 маса).

Пример 49. Селективно корелационен коефициент, изчислен въз основа на обема на проба от 10 г = -0,64. Намерете 90% доверителен интервал за коефициент на корелация р на.

Решение. Според таблицата на приложения (P8) намери Arth (-0,64) = -Arth0,64 = -0,76.

Тъй като и 0, 95 = 1645 след доверителен интервал за Arthρ има формата , т.е. -1,38 <Arthρ <-0,14.

Позовавайки се на Таблица P8 получаване на 90% доверителен интервал за коефициента на корелация: - 0881 <-0139.

11.4. Примери доверителни интервали.

1. интервал на доверие за очакването на нормална случайна променлива с известно отклонение σ 2 има формата ,

тук стойност определя от нивото на доверие е дадено от таблицата със стойностите на γ В коя ,

2. интервал на доверие за очакването на нормална случайна променлива с неизвестен отклонение σ 2 има формата ,

където оценка Тя се изчислява по формулата И стойността на Тя се определя за дадена доверителна вероятност γ размер проба п чрез използване на таблица за справка ,

3. интервал на доверие за вариацията σ 2 нормална случайна променлива е от формата

,

където п - размер на пробата; - оценка на σ, определя по формулата ; и - корените на уравнения , В която подинтегрален функция F п-Х (X) е плътността на хи-квадрат разпределение с п -1 степени на свобода.

уравнение и при дадено ниво на доверие γ решен с помощта на таблицата на приложение. При определяне на входове тази маса

са V = N - 1 и При определяне на - V = N - 1 и ,

4. Да п - брой на независими проучвания, това е - броят на повторения на едно събитие А, р - вероятността на дадено събитие А във всеки процес.

Да разгледаме случая, когато п е достатъчно голяма, а стойността на р е твърде близо до нула или до един, така че ние можем да използваме асимтотична DeMoivre-Лаплас. Доверителен интервал р е дадено от р 1 <р <п 2, където , ,

и γ - определя от предварително определена вероятност доверие γ използвайки таблица - приложение квантил стойности. Да разгледаме случая M = 0. След това долната граница доверие е нула, горният , Ако т = п, границите на долната и горната част на достоверност са, съответно, и единство.