КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Интеграция чрез заместване




Директен интеграция

Основни формули за интеграция

1. C - константа * 1.
2. , N ≠ -1
3. + C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Изчисляване на интеграли, използващи пряко използване на прости таблици на интеграли и основните свойства на неопределени интеграли се нарича директна интеграция.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Това е най-разпространеният метод за интегриране на сложна функция, която се състои в превръщане на интеграл чрез промяна към друга променлива на интеграция.

Ако интеграл е трудно да се доведе до масата с помощта на елементарни преобразувания, в този случай се използва методът на заместване. Същността на този метод се състои в това, че чрез въвеждане на нова променлива успява да намали този неразделна новата интеграл, което е сравнително лесно взети веднага.

За интеграцията на метода на заместването използва схема за решение:

1) на подинтегрален заменя с нова променлива;

2) да се открие разлика от двете страни на замяната;

3) всички подинтегрален се изразява по отношение на нова променлива (след което масата е трябвало да бъде неразделна);

4) в резултат на масата, за да открие най-интеграл;

5) да извърши промяната на обратен.

Намери интегралите:

пример 1 , Заместването: cosx = т, -sinxdx = DT ,

Решение:

Пример 2. ∫e -x3 х 2 DX смяна: -x 3 = т, -3x 2 DX = DT, Решение: ∫e -x3 х 2 DX = ∫e т (-1/3) DT = -1 / 3д T + C = -1 / 3д -x3 + C

Пример 3. Заместването: 1 + sinx = т, cosxdx = DT ,

Решение: ,

Раздел 1.5. Определен интеграл, методи за изчисление.

Концепцията на претенция 1 на определен интеграл

Задачата. Намерете функцията на нарастване, примитивен за F на функция (х), в прехода от стойността на х до стойност на б.

Solution. Предполагаме, че интегрирането на резултатите: ∫ (х) DX = F (х) + C.

След F (X) + С1, където С 1 - даден брой ще бъде един от примитивите на функциите на дадена функция F (X). Ние го прави увеличение в прехода от стойността на аргумента на стойност б намерите. Ние получаваме:

[F (X) + C 1] X = б - [F ( X) + C 1] X = A = F (б ) + C 1 - F (а) -С 1 = F (б) -F (а )

Както можете да видите, от гледна точка на нарастване на примитивна функция F (х) + C 1 не е постоянна величина C 1. И като С 1 означава даден номер, този резултат се стига до следното заключение: прехода на х стойността на х = А до стойността на х = б всички функции F (X) + С, примитивите за дадена функция е (х) Те имат същото увеличение равна на F (б) -F (а) .



Това нарастване се нарича определен интеграл и се обозначава със символа: и прочетете: интеграл от А до точка Б на F на функция (х) DX за или, накратко, на интеграл от А до Б, на е (х) DX.

номер се нарича долната граница на интеграция, броят на б - отгоре; сегмент ≤ х ≤ б - сегмент на интеграция. Тук се предполага, че F на подинтегрален (х) е непрекъсната за всички х, което отговаря на следните условия: а  х  б

Определение. СТЪПКА примитивна функция F (X) + C при прехода от стойността на аргумента X X = А към стойността на х = б, равна на разликата F (б) -F (а) , се нарича определен интеграл и е обозначен с: така че ако ∫ (X) DX = F ( X) + С, след това = F (б) -F (а ) - това равенство се нарича формулата на Нютон - Лайбниц.

Претенция 2 Основните свойства на определен интеграл

Всички свойствата, посочени в предложението, че адресирано интегрируеми функции в съответните интервали.

  1. В определен интеграл с една и съща граница е равна на нула:
  2. При преместване на границите на интеграция, за неразделна знак е обратна:

= -

  1. Дължината на интеграцията може да бъде разделена на две части: = + Когато <C <б
  2. Постоянен коефициент може да се приема извън неразделна знака: С = ,
  3. Интегралът на алгебрични сумата от функции е същата алгебрични сумата на интегралите на всички компоненти:

п. 3 A директно изчисляване на определен интеграл

За да се изчисли определен интеграл, където можете да намерите на неопределен интеграл, е формула на Нютон - Лайбниц

=

т.е. определен интеграл е равен на разликата между стойността на примитивна функция в горните и долни граници на интеграция.

От тази формула може да се види от порядъка на оценка на определен интеграл:

1) Намерете неопределен интеграл на дадена функция;

2), получен в примитивен заместител на аргумент, първо горната, а след това на долната граница на интеграла;

3) В резултат на заместване на горната граница, за да се изважда от резултата на смяна долна граница.

Пример 1: Оценяване на интеграл:

Пример 2: Изчислете интеграл:

Претенция 4 Изчисляването на определен интеграл чрез заместване

Изчисляване определен метод неразделна заместване е както следва:

1) на подинтегрален заменя с нова променлива;

2) да намерите най-новите граници на определен интеграл;

3) Да се ​​намери разлика от двете страни на замяната;

4) Всички подинтегрален се изразява по отношение на нова променлива (след което масата е трябвало да бъде неразделна); 5) да се изчисли определен интеграл получава.

Пример 1: Изчислете интеграл:

Заместването: 1 + cosx = т, -sinxdx = DT ,

РАЗДЕЛ 1.6. Геометричната смисъла на определен интеграл.

Площта на криволинейна трапец:

Известно е, че определен интеграл на интервала представлява площта на криволинейна трапец, ограничена от графиката на функцията F (X).

Площта на фигурата, ограничена от някои от линиите може да се намери с помощта на определени интеграли, ако знаете, че уравненията на тези линии.

Нека интервала [А; б] непрекъсната функция у = ƒ (х) ≥ 0. Нека да намерите областта на трапец.

Площта на фигурата, ограничена от оста х 0, две вертикални линии х = а, х = В и графиката на функцията Y = ƒ на (х) (фигура) се изчислява по формулата:

Това е геометрична смисъла на определен интеграл.

Пример 1: Изчислява областта на фигурата, ограничена от :. Y = х 2 + 2, у = 0, X = -2 и х = 1.

Решение: Рисуване (имайте предвид, че Y уравнение = 0 комплекта х-ос).


A: S = 9 единици 2

Пример 2: Изчислява областта на фигурата, ограничена от линиите Y = - F Х, Х = 1 и координатните оси.

Решение: Направете чертеж.
Ако криволинейна трапеца е напълно под х-оста, а след това му площ може да се намери по формулата:

В този случай:

Отговор:

Внимание! Ако от вас се иска да се намери областта на фигурата с помощта на определен интеграл, районът е винаги положително! Ето защо просто смята формула се появява отрицателен.

Раздел 1.7. Използването на определен интеграл

Претенция 1 Изчисляване на обема на тялото на въртене

Ако криволинейна трапецовидни в непосредствена близост до оста вол и правите линии, Y = A, Y = В, и графиката на у = F (X) (Фигура 1), размерът на въртене на тялото се определя чрез формула, съдържаща интеграл.

Количеството на въртене на тялото е равна на:

Пример:

Намерете обема на тялото, ограничена от повърхността на линия въртене около оста х в х 0≤ ≤4.

Решение: V

3 единици. Отговор: 3 единици.

РАЗДЕЛ 3.1. Обикновени диференциални уравнения

Моята 1 Понятие за диференциално уравнение

Определение. Диференциално уравнение е уравнение, което съдържа функция на набор от променливи и техните производни.

Общ изглед на уравнението = 0, където F-известна функция на неговите аргументи, разположен в определена област; х - независима променлива (променливата, на която диференцирани); Y - зависима променлива (този, от който са взети производните и това, което трябва да се определи); - А производно на зависимата променлива от независимата променлива х.

Моята 2 Основната концепция на диференциално уравнение

Поръчка диференциално уравнение е от порядъка на най-високата производна, която е включена в нея.

Например:

- Уравнение от втори ред, - Уравнение от първи ред.

Всяка функция, която се отнася променливите и се занимава с диференциално уравнение в истинско равенство, наречена разтвор на диференциално уравнение.

Общото решение на първи ред диференциално уравнение е функция от и произволна константа C, заден това уравнение в една идентичност на ,

Най-общото решение писмено в неявна форма = 0 се нарича общо интеграл.

Особено разтвор на уравнението = 0 е разтвор, получен от общия разтвор за фиксирана стойност - Фиксиран брой.

Проблемът за намиране на конкретно решение на диференциално уравнение от п-ти ред (п = 1,2,3, ...), което отговаря на първоначалните условия на формата

,

Той призова проблемът Коши.

3 от първите, за диференциални уравнения с множество променливи

В диференциално уравнение от първи ред Това се нарича уравнение с множество променливи, ако може да бъде представена като Тя може да бъде пренаписана, както , ако , интегриране: ,

За решаване на уравнението на този вид е необходимо да:

1. Разделете променливите;

2. Интегриране на уравнението с разделени променливи, намери общото решение на това уравнение;

3. Намерете конкретно решение, което отговаря на първоначалните условия (ако е посочено).

Пример 1. Решете уравнението , Намери конкретно решение, което отговаря у = 4, когато х = -2.

Решение: Това уравнение с разделени променливи. Интегриране, ние се намери общо решение на уравнението: , За повече прости решения под формата на общ постоянен срок на правото може да бъде представена във формата на C / 2. имаме или - Най-общото решение. Заместването в общото решение ценности у = 4 и х = -2, получи 4 + 16 = C, където C = 12.

Така, специално решение, което отговаря на това условие формата

Пример 2. Намерете конкретно решение на уравнението ако при ,

Решение: , , , , , общия разтвор.

Заместник стойността на х и у в конкретно решение: , , частично решение.

Пример 3. Намерете общото решение на уравнението , Решение: , , , - Най-общото решение.

Претенция 4 диференциални уравнения от по-висок порядък

Уравнението на формата или решен с двойно интегриране: , където , Интегриране на тази функция, получи нова функция на е (х), който е обозначен с F (х). По този начин, ; , Интегриране отново: или Y = F (X) , Общо разтвор на уравнение Съдържащи две произволни константи и ,

Пример 1. Решете уравнението ,

Решение: , , ,

Пример 2. Решете уравнението , Решение: , , ,

Раздел 3.2. Числено серия и нейните членове

1. Определяне на брой серии е израз на формата + + ... + + ... (1)

където , , ..., ... - Numbers, принадлежащи към определен брой система.

Така че, можем да говорим за действителното серия, за което В R, сложна поредица, за която C, I = 1, 2, ..., N, ...

За договорени нотация серия използва знака на сумиране , а именно

+ + ... + + ... = , (2)

Определение 2. Numbers , , ..., ... Позова на брой членове (2); а н е наречен общ план на поредицата. Понякога общият термин е по-удобно да се напише така че индексът п е п = 0, 1, 2, ...

3. Определяне на номер (3) се нарича геометрична прогресия.

Ако, например, = 1, р = 1/2, ние получаваме редица 1 + + + ... + + ... = ,

Определение 4. брой = 1 + + + ... + + ..., Състоящ се от числа, тя се завърта на естествените числа, наречен хармоничните серии.

Други примери за серията:

= 1 + + + ... + + ...

= 1 + + + ... + + ...

Дефиниция 5. Сумата от първите н условията на серията се нарича частична сума от серията.

тест на Alembert. Теорема. Като се има предвид броя на (1) с положителни условия. Нека приемем, че и там е = ,

След това:

1) Ако <1, след серия (1) клони;

2) Ако > 1, след серия (1) се отклонява;

3) Ако = 1, то е необходимо да се използва още един знак за конвергенция.

Пример 1: Да се разследва за конвергенция на серията: , Решение: Тук И следователно <1. Така серията клони.

Пример 2: да се изследва за конвергенция на серията + + + ... + + ... = ,

Решение: = = = <1. Така серията клони.

Пример 3: Разглеждане на сближаването на серията: ,

Решение: Имаме = = = = ,

Раздел 3.3. Основи на теорията на вероятностите и математическа статистика