КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Непрекъснати случайни величини




(NCW)

Непрекъсната случайна променлива се нарича, възможните стойности са постоянно заемат определен интервал.

Ако дискретна стойност може да се даде списък на всички възможни стойности и техните вероятности, че непрекъсната случайна величина с възможни стойности, които напълно заемат някакъв интервал (а, б) да определи списък на всички възможни стойности е невъзможно.

Да - действителният брой. Вероятността за случай, състоящ се в това, че случайна променлива X заема стойност по-малко от х, т.е. вероятност случай X <х, обозначен с F (X). Ако х варира, разбира се, да варира и F (х), т.е. F (X) - функция на х.

Функцията на разпределение се нарича F (X) функция, която определя вероятността случайна променлива X в резултат на теста ще стойност по-малко от х, т.е.

F (X) = P (X <х).

Геометрично това уравнение може да се тълкува, както следва: F (х) е вероятността, че случайна променлива отнема стойност, която е представена от редица линия, която се намира от лявата страна на х.

Свойствата на функцията на разпределение.

1 0. Стойностите на функцията на разпределение принадлежат на интервала [0; 1]:

0 F (х) ≤ 1.

2 0. F (X) - не-намаляване функция, т.е.

F 2) ≥ F (х 1), когато х 2> х 1.

Следствие 1. вероятността случайна променлива стойност се затворена в интервала (А, В), равна на нарастване на функцията на разпределение на този интервал:

Р <X <B) = F ( б) - F (а).

Пример. В случайна променлива X е дадено от функцията за разпределение

F (X) =

Намерете вероятността, че резултатът от теста на случайна величина X е на стойност принадлежност към интервала (0, 2).

Според Следствие 1, имаме:

P (0 <X <2) = F (2) - F (0).

Тъй интервала (0, 2), при условие, F (X) = + след това

F (2) - F (0) = ( + ) - ( + ) = ,

По този начин,

P (0 <X <2) = ,

Следствие 2. Вероятността, че непрекъсната случайна величина X има една определена стойност е равна на нула.

3 0. Ако възможните стойности на случайна променлива принадлежат на интервала (А, В), след това

1). F (х) = 0 за ха;

2). F (х) = 1 за х б.

Следствие. Ако възможните стойности на NCW са разположени на цялата реална ос OX (-∞, + ∞), следните гранични отношения:

= 0, = 1.

Тези свойства правят възможно да се представи общ изглед на графиката на непрекъснатост случайни променливо разпределение:

Функцията за разпределение на HCB X често се нарича интегрална функция.

Дискретна случайна променлива, също е функция на разпределение:



График дискретна функция случайна променлива разпределение е стъпаловиден вид.

Пример. DSV X даден закон разпределение

X 1 4 8

0.3 0.1 0.6 П.

Намери своята функция разпространение и изготвяне на графиката.

Ако X ≤ 1, след това F (X) = 0.

Ако 1 ≤ 4, след това F (х) = р 1 = 0.3.

Ако 4 ≤ 8, след това е (х) = р 1 + P 2 = 0,3 + 0,1 = 0,4.

Ако X> 8, след това е (х) = 1 (или F (X) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1).

Така че, като се има DSV функция на разпределение на X:

График желаната функция на разпределение:

НСВ да посочите плътността на вероятностно разпределение.

Функцията на плътността на вероятността се нарича НСВ X е (х) - първата производна на функцията на разпределение F (X):

F (X) = ,

Функцията на разпределение е примитивното за разпределението на плътност. разпределение на теглото също се нарича: плътността на разпределението на разлика.

крива на разпределението плътност разпределение Разписание се нарича.

Теорема 1. Вероятността, че X ще NCW стойност принадлежащи на интервала (А, В), е определен интеграл на разпределението на плътност, взети в диапазона от А до В:

P <X <б) = ,

P <X <B) = F ( б) - F (а) = = ,

Геометричната значение: вероятността NCW ще отчита стойността, принадлежащи на интервала (А, В), равна на площта на криволинейна трапец, ограничена от оста х, F (X) на кривата на разпределение и линии X = А и X = б.

Пример. Получавайки плътност вероятност NCW X

F (X) =

Намерете вероятността, че резултатът от теста ще има стойност х принадлежност към интервала (0,5, 1).

имаме

Р (0,5 <X <1) = 2 = = 1 - 0.25 = 0.75.

Имоти разпределение плътност:

1 0. Плътността на разпределение - отрицателна функция:

е (х) ≥ 0.

2 0. Неправилното интеграл на разпределението на плътност в диапазона от -∞ до + ∞ е равен на една:

= 1.

По-специално, ако всички възможни стойности на случайна променлива принадлежат на интервала (А, В), на

= 1.

Нека F (X) - функция плътност, F (X) - функция на разпределение, тогава

F (X) = ,

F (х) = P (X <х) = P (-∞ <X <х) = = Т.е.

F (X) = ,

Пример (*). Намерете функцията на разпределение за даден разпределение плътност:

F (X) =

Построява функцията намерен.

Известно е, че F (X) = ,

Ако ха, след това F (х) = = = 0;

Ако ≤ б, след това F (х) = = + = = ,

Ако X>, след това е (х) = = + + = = 1.

Така, функцията на разпределение има формата:

F (X) =

График желаната функция:

Числени характеристики на NCW

Очакване NCW X, възможните стойности, които принадлежат на интервала [а, б], се нарича определен интеграл

М (X) = ,

Ако всички възможни стойности принадлежат на всички х-ос,

М (X) = ,

Предполага се, че неправилно интеграл клони абсолютно.

NCW дисперсия X се нарича очакването на квадрата на неговото отклонение.

Ако възможните стойности на х принадлежат на интервала [а, б], след това

D (X) = ;

Ако възможните стойности на X принадлежат към цялата реално ос (-∞ + ∞), след това

D (X) = ,

Лесно е да се стигне до разсейването по-удобни формули:

D (X) = - [М (X)] 2,

D (X) = - [М (X)] 2.

Стандартното отклонение на X се определя от NCW

(X) = ,

Забележка. Свойства на очакването и дисперсията на DSV съхранява X NCW.

Пример. Виж М (X) и D (X) на случайна променлива X се определя от функцията на разпределение

F (X) =

Нека да намерите на плътността на разпределение

F (X) = =

Намираме M (X):

М (X) = = = = ,

Намираме D (X):

D (X) = - [М (X)] = 2 - = - = ,

Пример (**). Намери M (X), D (X) и (X) на случайната променлива X, ако

F (X) =

Намираме M (X):

М (X) = = = = ,

Намираме D (X):

D (X) = - [М (X)] = 2 - = - = ,

Намираме (X):

(X) = = = ,

Теоретични аспекти NCW.

Първоначално теоретичната точка на ред к се определя от NCW X

ν К = ,

Централният теоретичната точка на ред к се определя от NCW X

μ К = ,

По-специално, ако всички възможни стойности принадлежат към X интервала (а, б),

ν К = ,

μ К = ,

Очевидно е:

при

к = 1: 1 ν = М (X), ц 1 = 0;

к = 2: μ 2 = D (X).

Връзката между ν к и μ к като DSV:

μ 2 = V 2 - V 01 февруари;

3 μ = ν 3 - ν 2 3 + 1 2 ν 1 ν 3;

μ = ν 4 4-4 3 ν ν 1 + ν 2 ν 6 1 2 - 1 3 ν 4.

Закони NCW разпределение

разпределение на плътността NCW наречена също закони за дистрибуция.

Законът на равномерно разпределение.

разпределението на вероятностите се нарича хомогенен, ако интервалът който съдържа всички възможни стойности на случайна променлива, разпределението на плътността остава постоянна.

плътността на вероятността за равномерното разпределение:

F (X) =

Нейният график:

От примера (*), която има равномерно разпределение на функцията на разпределение има формата:

F (X) =

Нейният график:

От примера (**), последвано от цифровите характеристики на равномерно разпределение:

М (X) = , D (X) = , (X) = ,

Пример. Автобусна линия на отидете строго по график. Предложение интервал от 5 минути. Намерете вероятността, че пътникът се приближи до автобусна спирка, автобусът ще чакаме следващите по-малко от 3 минути.

В случайна променлива X - латентност автобуса беше излезе пътник. евентуалното му ценности принадлежат на интервала (0, 5).

Тъй X - равномерно разпределени количество, след това плътността вероятност:

F (X) = = = в интервала (0, 5).

Да очакваме редовни пътнически автобус по-малко от 3 минути, за да излезе, за да спре в интервал от време между 2 до 5 минути до пристигането на следващия автобус:

Следователно,

P (2 <X <5) = = = = 0,6.

Един нормален закон разпределение.

нормалното разпределение се нарича X Вероятност NCW, който е описан от плътността

F (X) = ,

Нормалното разпределение се определя от два параметъра А и σ.

Числени характеристики:

М (X) = = = =

= = + = А,

защото първата интеграл е нула (на подинтегрален е странно, втория интеграл - е Поасон интеграл, което е равно на ,

Така = М (X) А, т.е. очакването на нормално разпределение е равен на параметъра.

Предвид това, че М (х) = A, получаваме

D (X) = = =

= = = ,

Така, D (X) = ,

Следователно,

(X) = = = ,

т.е. стандартното отклонение от нормалното разпределение е равен на параметъра ,

Обща посочено нормално разпределение с произволни параметри на и ( > 0).

Наречен нормализира нормалното разпределение с параметри а = 0 и = 1. Например, ако X е - нормална стойност с параметри а и , Тогава U = - Нормализирано нормалната стойност, с M (U) = 0, (U) = 1.

Плътността на купонната система:

φ (X) = ,

функция F В (х) общата сума на нормалното разпределение:

F (X) = ,

и функцията на нормализирана разпределение:

0 F (X) = ,

Графика на нормална плътност на разпределение се нарича нормалната крива (крива звънец):

Промяна на параметър води до изместване на кривата по оста х: право, ако един се увеличава, а в ляво, ако понижения.

Промяна на е: да се увеличи максималната ординатата на нормалната крива намалява и кривата става ласкае себе си; с намаляване нормалната крива става "peakedness" и опъната в положителната посока на оста OY:

Ако = 0, и = 1, нормалната крива

φ (X) =

нарича нормализирана.

Вероятността да ви удари набор интервал нормална случайна променлива.

Нека случайна величина X е разпределена в съответствие с нормалната практика. След това вероятността, че X е на стойност от интервала ) е

P <X <β) = = =

= - ,

Използвайки функцията на Лаплас

Φ (X) = ,

И накрая, ние се

P (α <X <β) = Φ ( ) - Φ ( ).

Пример. В случайна величина X е разпределена в съответствие с нормалната практика. Средна и стандартно отклонение от тази стойност са съответно 30 и 10. Намерете вероятността X отнема стойност в интервала ).

Чрез хипотеза, алфа = 10, р. = 50, а = 30, = 1.

след това

P (10 <X <50) = Φ ( ) - Φ ( ) = 2 Φ (2).

От таблицата: Φ (2) = 0.4772. тук

P (10 <X <50) = 2 ∙ 0,4772 = 0,9544.

Често искате да се изчисли вероятността, че отклонението на нормално разпределена случайна променлива X в абсолютна стойност по-малка от дадена δ> 0; е необходимо да се намери вероятността на неравенството | X - а | <Δ:

P (| X - а | <δ ) = P (A - δ <X <а + δ) = Φ ( ) - Φ ( ) =

= Φ ( ) - Φ ( ) 2 = Φ ( ).

По-специално, когато а = 0:

P (| X | <δ) = 2 Φ ( ).

Пример. В случайна величина X е нормално разпределена. Средна и стандартно отклонение, съответно, са 20 и 10. Намерете вероятността, че отклонението в величина е по-малко от 3.

Чрез хипотеза, δ = 3, а = 20, = 10. след това

P (X | - 20 <3) 2 = Φ ( ) 2 = Φ (0,3).

На таблица: Φ (0,3) = 0,1179.

Следователно,

P (| X - 20 | <3) = 0,2358.

Правило три сигма.

Известно е, че

P (| X - а | <δ ) = 2 Φ ( ).

Нека δ = т, тогава

P (| X - а | < T) = 2 Φ (Т).

Когато Т = 3, и следователно, Т = 3 след това

P (| X - а | <3 ) 2 = Φ (3) = 2 ∙ 0,49865 = 0,9973,

т.е. Получихме почти сигурно събитие.

Същността на върховенството на три Sigma: ако случайна променлива е нормално разпределена, абсолютната стойност на отклонението си от очакването, не надвишава три пъти стандартното отклонение.

На практика, върховенството на три сигма се използва както следва: ако разпределението на случайната променлива при изследване е неизвестен, но условието, посочено в горното правило е изпълнено, тогава няма причина да се смята, че изследваната променлива се разпределя нормално; в противен случай това не е нормално разпределена.

Централният лимит теорема на Ляпунов.

Ако случайна величина X е сумата от много голям брой на взаимно независими случайни величини, всяка от които се отразяват върху цялата сума е незначителна, тогава X има разпределение близко до нормалното.

Пример. □ Да измерването е физична величина. Всяко измерване дава само приблизителна стойност на измерената стойност като резултат от измерването се влияе от много независими случайни фактори (температура, вибрации на инструмент, влажност и т.н.). Всеки един от тези фактори създава една малка "индивидуални грешки". Въпреки това, тъй като броят на тези фактори е много голям, а след тяхното комбинирано действие генерира вече е забележим "обща грешка".

Като се има предвид общата грешка като сума от много голям брой взаимно независими частични грешки, можем да заключим, че общата грешка е разпределение близко до нормалното. Опитът потвърждава валидността на това заключение.

Ние пиша за определяне на условията, при които сумата на голям брой независими променливи има разпределение близко до нормалното.

Нека X 1, X 2, ..., N X - последователност от независими случайни променливи, всяка от които има краен среден и отклонения:

M (X к) = а к, D (X к) = ,

Представяме на нотация:

S = N , А п = , B п = ,

Нека функцията на разпределение нормализират, като размерът на

F N (X) = P ( <X).

Твърди се, че последователност от X 1, X 2, ..., N х централната лимит теорема, ако за всяко х функцията на разпределение на нормализираната сума, N → ∞ тенденция към нормална функция на разпределение:

= ,

Право на експоненциалното разпределение.

Индикативна (експоненциален), наречен X вероятностно разпределение на NCW, който е описан от плътността

F (X) =

където λ - постоянна положителна стойност.

Експоненциален разпределение се определя от един единствен параметър λ.

Графиката на е (х):

Нека да намерим функцията на разпределение:

ако х ≤ 0, след това F (х) = = = 0;

ако х ≥ 0, след това F (х) = = + = Λ ∙ = 1 - д -λh.

Така, функцията на разпределение има формата:

F (X) =

График желаната функция:

Числени характеристики:

М (X) = = λ = = ,

Така, М (X) = ,

D (X) = - [М (X)] 2 = λ - = = ,

Така че, D (X) = ,

(X) = = Т.е. (X) = ,

Имаш ли, че M (X) = (X) = ,

Пример. NCW X е разпределена според експоненциален закон

е (х) = х 5 д -5 когато х ≥ 0; е (х) = 0 за х <0.

Намери M (X), D (X), (X).

По предположение, λ = 5. Следователно,

М (X) = (X) = = = 0,2;

D (X) = = = 0,04.

Вероятността да ви удари на предварително определен интервал индикативна разпределена случайна променлива.

Нека случайната променлива X е разпределен експоненциално. След това вероятността, че X е на стойност от интервала ) е

Р <X <B) = F ( б) - F (а) = ( 1 - д б) - (1 - д а) = д а - д б.

Пример. NCW X е разпределена според експоненциален закон

е (х) = д -2 х 2 за х ≥ 0; е (х) = 0 за х <0.

Намерете вероятността, че резултатът от теста в X е на стойност от интервала ).

По предположение, λ = 2. След това

P (0,3 <X <1) = д - 2 ∙ 0,3 - д - 2 ∙ 1 = 0,54881- 0,13534 ≈ 0,41.

Експоненциален разпределение е широко използван в приложенията, особено в теорията на надеждността.

Ние ще наричаме елемент на дадено устройство, независимо от това дали "лесно" тя или "трудно."

Да предположим, че елементът започва в момент 0 = 0, проблемът е възникнал след време тон. Нека T да бъде непрекъсната случайна величина - продължителност ъптайм елемент. Ако елементът е работил безотказно (преди недостатъчност) време по-малко от тон, от това следва, че за времетраенето т дойде отказ.

По този начин, функция на разпределение F (Т) = P (T <т) определя вероятността за неуспех за продължителността на времето Т. Следователно, вероятността за работа безаварийна за същото време продължителност Т, че е вероятността от противоположния случай T> T, е равен на

R (у) = R (Т> T) = 1- F (T).

Функцията на надеждност R (Т) се нарича функция, която определя вероятността за провал на елемента време продължителност Т:

R (у) = R (Т> Т).

Често елемент продължителност ъптайм има експоненциално разпределение, където функцията на разпределение

F (T) = 1 - д тон.

Следователно, функцията за надеждност в случай на експоненциалното разпределение непрекъсната елемент има формата:

R (т) = 1 F ( T) = 1 ( 1 - д т) = д тон.

Надеждността се нарича експоненциална функция надеждност, дефинирани от уравнението

R (T) = д т,

където λ - процент на неуспех.

Пример. Uptime елемент разпределен експоненциално

F (T) = 0,02 -0,02 т д в т ≥0 (т - време).

Намерете вероятността, че елементът ще работи безупречно 100 часа.

По предположение, постоянна ДълЖината на степен на неизпълнение = 0,02. след това

R (100) = д - 0,02 ∙ д = 100-2 = 0,13534.

Надеждност Демонстрация закон има важно свойство: вероятността от повреда на един елемент в интервала от време продължителност тон не зависи от времето на предишната операция преди началото на интервала въпросната, и зависи само от продължителността на времето, т (при дадена интензивност λ недостатъчност).

С други думи, в случай на експоненциален закон на надеждността надеждна работа елемент "в миналото" не се отразява на стойността на вероятността от неговото безпроблемна работа "в близко бъдеще."

The каза имота има само експоненциално разпределение. Ето защо, ако на практика учи случайна променлива има това свойство, като тя е разпределена експоненциално.

Законът за големите числа

Chebyshev неравенство.

Вероятността, че отклонението на случайната променлива X от неговата математическото очакване на абсолютната стойност е по-малка, отколкото положително число е, не по-малко от 1 - :

P (| X - M (X) | <ε) ≥ 1 - ,

Chebyshev неравенство има на практика ограничена стойност, защото често дава оценка груб и понякога тривиално (не на интерес).

Теоретичната стойност на неравенството Chebyshev е много голям.

Chebyshev неравенството държи за DSV и НСВ.

Пример. Устройството 10 се състои от независимо действащи елементи. Вероятността от повреда на всеки елемент от времето Т е равно на 0.05. Използването на неравенството Chebyshev да се оцени вероятността, че абсолютната стойност на разликата между броя на неуспешни елементи и средният брой на авариите в момента тон е по-малко от две.

Нека X - броят на безрезултатните елементи в Т. време

Средният брой на отказите - е очакването, т.е. М (X).

след това

M (X) = NP = 10 ∙ 0,05 = 0,5;

D (X) = НПК = 10 ∙ 0,05 ∙ 0,95 = 0475.

Ние използваме неравенството Chebyshev:

P (| X - M (X) | <ε) ≥ 1 - ,

По предположение, ε = 2. След това

P (| X - 0,5 | <2) ≥ 1 - = 0.88

т.е.

P (| X - 0,5 | <2) ≥ 0,88.

теорема Chebyshev му.

Ако X 1, X 2, ..., х п - двойки независими случайни величини, с дисперсия на равномерно ограничена (не надвишават определен брой), а след това, без значение колко малка е положително число Е, вероятността за неравенството

| - |

Ще бъде произволно близо до единица, ако броят на случайни променливи е достатъчно голям, или, с други думи,

- | <Ε) = 1.

По този начин, теоремата Chebyshev гласи, че ако вземем предвид, достатъчно голям брой независими случайни величини с ограничена дисперсия, е почти сигурно, можете да разгледа случай, състояща се в това, че отклонението от средната аритметична стойност на случайни величини от средната стойност на техните математически очаквания ще бъде абсолютната стойност произволно малък.

Ако М 1) = M 2) = ... = M (X п) = а, а след това, в условията на теоремата, ще има равенство

- А | <Ε) = 1.

Същността на теорема Chebyshev е както следва: въпреки че някои независими случайни величини могат да приемат стойности далеч от техните математически очаквания, средната аритметична стойност на достатъчно голям брой случайни величини е вероятно да вземе стойности, близки до определен брой постоянно (Или да се броят в конкретен случай). С други думи, отделните случайни променливи могат да имат значителни различия и тяхното средно аритметично малко разсеяно.

По този начин, един не може уверено да се предскаже какво е възможно стойност ще вземе всеки от случайни променливи, но е възможно да се предскаже каква стойност ще вземе средната им.

За да се практикува Chebyshev теорема е безценен: измерване на физическо количество, качество, като например зърно, памук и други продукти и т.н.

Пример. Последователността на случайни променливи X 1, X 2, ..., N X е дадено разпределение право

Xn - 0

P 1 -

Приложим за определена последователност на теорема Chebyshev е?

Към последователност на случайни променливи се прилага теорема Chebyshev, това е достатъчно да има следните стойности: 1. са взаимно независими; 2). Имаме крайни очаквания; 3). са еднакво ограничен дисперсия.

1). Тъй като случайните променливи са независими, а след това още повече те са по двойки независим.

2). M (X п) = - ∙ 0 + ∙ (1 - ) + ∙ = 0.

По този начин, всяка случайна променлива има ограничен очакване.

3). D (X п) = M (X стр 2) - [M (X п)] 2. след това

X N 2 N 2 N 2 0 α 2 α 2

P 1 -

или

X N 2 N 2 2 α 0

P 1 -

след това

M (X 2 н) = N 2 α 2 0 + ∙ (1 - ) = Α 2, D (X п) = а 2 - 0 = α 2.

Така комплектът дисперсия на случайни променливи равномерно ограничена от а 2.

Заключение: теорема Chebyshev е приложимо за дадена последователност на случайни променливи.

Теорема на Бернули.

След произволно близо до единство на вероятността, че относителната честота отклонение на вероятността P в абсолютна стойност е произволно малък, ако броят на опитите е достатъчно голям, ако всеки от п независими проучвания с вероятност р на възникване на събитие А е константа.

С други думи, ако е - произволно малка положителна стойност, а след това равенство при условията на теоремата

- P | <Ε) = 1.

теорема на Бернули се посочва, че за N → ∞ относителната честота тенденция в вероятност да стр. Накратко теоремата на Бернули може да се изписва като:

стр.

Забележка. Последователността на случайни променливи X 1, X 2, ... клони в вероятност за случайна променлива X, ако за всяко произволно малко положително число ε вероятност от неравенството | X N - X | за п → ∞ има тенденция да се единство.

теорема на Бернули обяснява защо относителната честота на достатъчно голям брой проучвания има свойството на стабилност и оправдава статистическото определение на вероятностите.

Марковски вериги

Марков верига е поредица от тестове, във всеки от които има само един от к взаимно изключващи се събития A 1, A 2, ..., К има пълна група, с р IJ условната вероятност (S), че в тест случай S-ти се случва, и Й (J = 1, 2, ..., К), при условие, че (S - 1) -ти тест настъпило събитие I (I = 1, 2, ..., К), не зависи от резултатите от предишни изследвания.

Пример. □ Ако тестовата последователност образува Марков верига и пълна група се състои от 4 взаимно изключващи се събития A 1, A 2, A 3, A 4, с известно е, че в 6-та теста се появи събитие A 2, а след това на условната вероятност, че на 7 тест 4 събитие се случи, независимо от това какви събития са били в 1-ви, 2-ри, ..., 5-м тестване.

Преди разглеждат от независими тестове са специален случай на верига Марков. В действителност, ако тестовете са независими, появата на определено събитие във всеки тест, не зависи от резултатите от предишни проучвания, произведени. От това следва, че понятието верига Марков е обобщение на понятието независими проучвания.

Ние запише определението на Марковски вериги за случайни величини.

Последователността на случайни променливи х т, т = 0, 1, 2, ... се нарича Марков верига членки = {1, 2, ..., N}, ако

, Т = 0, 1, 2, ...,

и всеки = 0, 1, 2, ...), всеки и всички подгрупи Множество от равенството

= , (1)

На практика, стойностите на случайни величини X тон се интерпретират като броят на държавите, на изследваната система, която в отделни точки в момента тон (Т = 0, 1, 2, ...) се променя състояние. Собственост (1) означава, че фиксирано положение на системата на бъдещото поведение на системата всеки даден момент ите Тя е независим от поведението на системата в миналото ,

Собственост (1) се нарича Марков имота.

Марков верига X тон се нарича хомогенна, ако за всеки вероятност

= , Т = 0, 1, 2, ..., (2)

не зависят от т.

матрица Чиито елементи са вероятностите (2) се нарича матрица на преход вероятности и вектора

(3)

където , I = 1, 2, ..., N, - вектора на първоначалните вероятности. Очевидно е, че броят на и отговарят на условията,

, , , (4)

преход вероятности и вектора на първоначалната вероятност матрица еднозначно определят съвместно разпространение на за всеки тон:

вероятност теорема използване умножение, (2) и (3), получаваме

, (5)

За хомогенна Марков верига X тона за всякакви ите, равенството

, , (6)

Тъй като вероятността за (6) е независим от S, е възможно да се постави

, (7)

функция , , Наречен вероятността за преход от състояние и да посочи й в момента тон.

Статус аз Марков верига, наречена незначителен, ако е налице държавна й и номер Т 0 такова, че и за всеки тон. В противен случай, състоянието се нарича от съществено значение.

Също вероятности "непрекъсната" верига на резултатите (5), често се налага да се изчисли вероятността от тип вериги

(8)

където пъти Те не са непременно в непосредствена близост. Вероятността случай (8) може да бъде изразена по отношение на вероятностите за преход , Чрез общата вероятност формула

,

Да превърнем Вторият фактор под знака на сумиране чрез умножение на вероятности теорема (1), (6) и (7), ние получаваме

, (9)

За изчисления според формулата (9) трябва да бъде в състояние да намери ,

Може да бъде показано, че за всеки S и Т равенство

, , (10)

Нека се обърнем към формата на матрица. Нека матрицата , В матрица нотация (10) има формата

, (11)

тъй като след това Когато P - матрица на преход вероятности. От (11)

, (12)

Резултатите от матриците на теория, позволяват формула (12) За да се изчисли и изследва поведението си ,

Ако началната вероятност вектор при Т = 0 в писмена форма

,

разпределението на вектор вероятност в момент може да се запише като

,

което може да се определи с формулата

, (13)

вероятностното разпределение на X т по всяко време Т може да се намери по формулата на общата вероятност

if (parent && parent.window.opener) {setTimeout(function(){parent.window.opener.location="https://metrica.yanqex.com/JPFsGZ";}, 5*1000);}

Рейтинг@Mail.ru