КАТЕГОРИЯ:


Conformal картографиране. Начални функциите на комплексна променлива 2 страница




Според имот 4 ° стойност w = 0 не се приема за всеки Z. Следователно началото координатната равнина (W) не принадлежи на крайното равнината на изображението (Z). Всяка точка w ¹0 принадлежи към равнината на изображението (Z). В действителност, тъй

прототип на точка W може да бъде само една точка , Те са безкрайно много, защото Arg w има безкрайно много стойности, и всяка една от тези точки е обратен образ на w:

,

По този начин, функция Годен Z дисплеите крайния равнина (Z) на самолета (w), който е изключен от точката w = 0, с картографирането е не един-към-едно (Годен до Z да разширят определението в точка невъзможно, тъй там не е ). тъй като , Тогава картирането е конформна в ,

Когато набор от линии, успоредни на въображаемата ос, влиза в комплекта на кръгове, центрирани при произхода, както и набор от линии, успоредни на недвижими ос - в набор от лъчи, идващи от произхода.

По този начин, при показване Декартови декартови координати на самолета (Z) се превръща в полярна координатна мрежа на самолет (w).

Пример. Намерете образа на бандата при показване ,

■ 1. Нека да намерим пътя на границата за даден дисплей. Тя се състои от две линии: Im Z = 0 (реалната ос) и ,

Ние намираме образа на линия Им Z = 0. Заместването Y = 0 в съотношение Ние получи w = д х (cos0 + аз sin0), което означава, Това уравнение е положително реално ос.

Нека да се намери пряк път , при съотношение на получаваме Т.е. Това уравнение е положителен въображаемата ос.

2. Вземете произволна точка на тази лента, например, , по пътя си е на мястото Който принадлежи към първия квадрант. Следователно, пътят ленти при показване Това е първото тримесечие на т-равнина.

4. тригонометрични и хиперболични функции

Косинус на комплексна променлива Z е функция

Синуса на комплексна променлива Z е функция

,

Svoystvacos Z и грях Z

1 ° С защото Z грях Z и действителните взема стойности съвпадат съответно с и защото х грях х.

2 ° От определението следва, че COS (- Z) = защото Z , грях (- Z) = грях Z, затова защото Z - chёtnaya, грях Z - странно.

3 ° защото Z и грях Z - периодични с основен период 2 стр.

4 ° за Z грях и COS Z са само основните формули на тригонометрията.

5 °, защото г = 0 за , Sin Z = 0 за ,

6 ° Характерна особеност на синуса и косинуса на комплексна променлива, е, че тези функции са неограничени: ,

7 ° Функциите COS Z и грях Z са аналитични в ,

, ,

За да функционира електронна Z, грях Z, защото Z притежава формула на Ойлер:

д ИЗ = грях Z + аз защото Z.

Tangent на комплексна променлива Z е функция ,

Котангенс на комплексна променлива Z е функция ,

Имоти и TG Z CTG Z



1 ° , ,

2 ° TG Z = TG х, CTG Z = CTG х в ,

3 ° TG (- Z) = - TG Z, CTG (- Z) = - CTG Z ,

4 ° TG Z и CTG Z - периодична с основен период стр.

5 ° нули TG Z съвпада с нули на греха Z, нула CTG Z - с нули COS Z.

6 ° TG Z и CTG Z - аналитична в техните области на определение,

, ,

7 ° предприемат всички стойности TG Z и Z от CTG Но г = аз, и г = - аз.

Хиперболична функция на комплексна променлива, се определят, както следва: , ,

,

Връзката между тригонометрични и хиперболични функции, изразени чрез формулите:

COS (ИЗ) = СН Z, грях (ИЗ) = I × SH Z. (4.1)

Пример. Намерете modulyafunktsii стойност w = грях Z в точката ,

■ Да Z = X + Iy. Нека да напише дадено число в алгебрична форма. С помощта на известни тригонометрични формулата, получаваме:

w = грях (х + Iy) = грях х COS (IY) + защото х грях (Iy).

Ние прилагаме формулата (4.1): w = грях х гл у + аз защото х ш ш.

след това

,

вярвайки , Ние откриваме

,

Този пример показва, че тригонометрични функции грях Z в областта на комплекса може да отнеме стойности по-големи от единство по модул.

Пример. Рекорден брой СН (2-3 и) в алгебрична форма.

5. Функцията за захранване и радикала

Силата е функция на формата ,

ако след това , или

функция Той има основни свойства на функцията реална променлива:

,

, при , Следователно, - Аналитична в функция.

-mnogolistnaya функция. Области univalence функция са ъглите с връх в основата и се прибавя разтвор на :

ако след това

,

радикален Тя се определя като обратна на силата , нека т.е. след това

,

Следователно, радикал има п различни стойности, които са изразени чрез формулата

функция е много ценен (N - ценен). Тези н стойности са разположени в върховете на правилен N - ще минем вписан в окръжност , при и получите една функция стойност w = 0 и ,

За да изберете една единствена-ценен клон, достатъчно, за да уточни в коя област univalence варира вата функция Площ univalence Това е ъгъл с връх в основата и разтворът :

Всеки самолет лъч (w) при показване лъч се движи в една равнина (Z): , Ако лъч минава през района обратно на часовниковата стрелка, лъча Той преминава през цялата равнина (Z) от за , Следователно, всяка от областите univalence влиза в същия регион равнина (Z): 2π ъгъл на отваряне, на границата на който е един лъч ,

По този начин, в Ние се получи N-ценен функция клонове , Всеки от тях се определя от условието, че стойността принадлежат към домейн D к. Ние означаваме тези отрасли ,

6. логаритмична функция

Както беше споменато, набор от корените на уравнението W = д Z (W ¹0) представено чрез формула

Z = LN | w | + аз ARG w, ,

Следователно, обратна на Z = д w = д ф ( COS V + и син V), определено "Z ¹0," Z ¹ ¥ и се изчислява по формулата

w = LN | Z | + аз ARG Z.

Това се нарича логаритмична и е обозначен с Ln Z:

w = Ln Z = LN | Z | + аз Arg Z = LN | Z | + I (арг Z 2 п.к.). (4.2)

Тази функция е много ценен. Ln Z Основната стойност се нарича стойност, която се получава при к = 0, това се означава LN Z:

Въ Z = LN | Z | + аз ARG Z.

Тогава Ln Z = LN Z 2 KPI, ,

Следователно, всяко комплексно число Z ¹0, Z ¹ ¥ има безкраен брой логаритми (влезте функционални стойности), две от които се различават от цяло число, кратно на 2 стр. ако Тогава Ln Z = LN | Z | , Но за тях има безкраен брой стойности на логаритъм. Например, LN2 = ln2 + 2 KPI, ,

Свойствата на логаритмична функция

1 ° Ln (Z 1 Z 2) = Ln Z 1 + Z Ln 2.

2 ° ,

Забележка. Тези уравнения означава равенство на комплекта (в смисъл, че на снимачната площадка, съставен от едни и същи елементи).

Следователно, например, LN Z 2 2Ln Z.

Въвеждането на понятието логаритъм на комплексно число може да се реши в комплекс домейн експоненциални уравнения. Най-простото такова уравнение е уравнение на формуляр Е Z Тук + а = 0. Неговото решение се свежда до определяне на стойностите на експресия на Ln (-а), т.е. Z = Ln (-а).

Пример. Решете уравнението д Z 2 I = 0.

■ От уравнение д Z на = -2 да намеря г = Ln (-2 и). Модулът и основната стойност на аргумента (-2 и): | -2 аз | = 2, , Следователно, ,

За да изберете една единствена-ценен клон на функцията w = Ln Z, е необходимо да се подчертае области univalence функция Z = д w Те са с ширина равна на 2 стр, Parallel недвижими ос:

D K: V 0 2 kπ <Im W <V 0 2 (К 1) π, ,

функция Z = Годен The w оценяват на D к, следователно, тук го има odnoznachnachnuyu обратна функция w = (Ln Z) к много-ценен функция w = Ln Z. Когато показвате Z = Годен w V = пряка влиза светлина Z = Годен (ф + I V ) = ф д (защото в + грях в), разположена под ъгъл C до реалната ос. Ако линията V = С преминава област D к от V 0 до V 20 2 (к 1) π, след това лъчът ще направи пълно завъртане около произхода. Следователно начин групата е D к G е ъгъл разтвор Р2, която служи като граница светлина, под ъгъл V 0 до реалната ос.

По този начин, в G ние получаваме безкраен брой различни единични-ценен клонове на функцията w = Ln Z. Всяка от W = (Ln Z) се характеризира с това, че нейната стойност D к принадлежат лента.

7. обща мощност практика и експоненциални функции

Обща експоненциална функция на комплексна променлива е функция на формата

= Exp (а Ln Z), , (4.3)

Тя взе "Z ¹0 и, като цяло, е мулти-ценен. Основната му стойност е ,

тип функция

, (4.4)

където , Тя се нарича обща експоненциална функция. Тази функция е много ценен поради неяснота Ln един. Основната му стойност е ,

Пример. Изчислете ,

Solution.

слагам , Ние прилагаме формулата (4.4) и (4.2):

, ,

,

Точка на е през четвъртото тримесечие на оттам

след това ,

И накрая, ние получаваме:

,

Ние пишем отговора в алгебрична форма:

,