КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Conformal картографиране. Начални функциите на комплексна променлива 1 страница




Лекция №4.

Геометрично, функция на комплексна променлива w = F (Z) определя картографиране на набор от Z - самолет в редица w-равнина. Point w Î G се нарича изображението на Z при картографирането w = F (Z), на точка Z Бих - прототип точка w един.

Ако всеки Z съответства на само една стойност на W = F (Z), функцията се нарича недвусмислено (W = | Z |, W = , W = Re Z, и т.н.) Ако някои Z отговаря на повече от една стойност на W, се нарича много ценен функция (W = Arg Z).

ако (Т.е., в различни точки на D функция приема различни стойности), функцията W = F (Z) се нарича един листов в областта D.

С други думи, едновалентен функция W = F (Z) дори един картографиране на домейн D Г. Когато едновалентен картографиране w = F (Z) обратния образ на всяка точка w и Г се състои от един-единствен елемент: : , Следователно Z може да се разглежда като функция на променливата W, специфичното G. Той е обозначен Той нарича обратната функция.

Ако област D, има най-малко една двойка точки , F функцията (Z) се нарича в multisheet D.

Ако картирането w = F (Z) е поливалентен до D (например, w = Z н), в този случай, някои стойности на W и Г съответства на повече от една точка Z Î D: F (Z) = w Следователно, обратно картографиране не е уникален, е много ценен функция.

Уникален за зона D, функцията w = F (Z) се нарича клон на мулти-ценен функция F, ако стойността на е в нито една точка Z Î D съвпада с една от стойностите на F в този момент.

С цел да се подчертаят оценяват клоновете на мулти-ценен функция, се процедира, както следва: D е разделена на univalence на площ функция w = F (Z), така че няма две от областите, не е нужно общи вътрешни точки и така, че всяка точка Z Î D принадлежи към една от тези области или на границите на някои от тях. Във всяка от тези области univalence определяне на обратна функция на W = F (z). Тя е уникална клон на мулти-ценен функция ,

Концепцията за конформна картографиране

Пример. Намерете разтягане съотношение и ъгъла на въртене на точка Z = 2 при показване аз ,

■ Намерете производната на и стойността му в даден момент ,

Якост на коефициент К модул се получава: ,

J за ъгъла на въртене е аргументът на деривата. точка Тя се намира в четвъртото тримесечие на оттам ,

Пример 3.5. Определя коя част на самолета при картографирането w = Z 2 е простряна, и какво - е компресиран.

■ Намерете производната w ¢ = 2 Z. Stretch фактор във всяка точка е равна на Z к = | W ¢ (Z) | = 2 | Z |. В множеството от точки в комплексната равнина, за които к> 1, т.е. 2 | Z |> 1, или Представлява част от една равнина, която се простира в рамките на картирането. Следователно, картирането w = Z 2 обиколки външен вид опъната и вътрешната част - Сгъстен.



Дисплей w = F (Z) се нарича конформна (т.е., запазва формата си) в точка, Ако той запазва ъгли между криви, и има опън имот постоянството квартал.

Всяка карта, която е инсталиран с помощта на аналитична функция F (Z) е конформна по всички точки, където ,

Показване нарича конформна в областта, ако е конформна във всяка точка на терена.

Conformal картографиране, в която се съхранява на посоката на ъглите се нарича конформна картографиране Ι вид. Conformal картографиране, в която посоката на ъглите е обърната, наречен конформна картографиране ΙΙ вид (например, ).

В теорията и практиката на конформни съпоставяния са поставени и решени два проблема.

Първата задача е да се намери в образа на линия или зона за даден дисплей - директен проблем.

Втората цел е да се намери функцията извършване на картографирането на линията или област в друга дадена линия или район - обратния проблем.

При решаването на директен проблем се вземе предвид, че изображението на Z 0 при картографирането W = F (Z) е точка W 0, така че W 0 = F (Z 0), която е резултат от заместване на Z 0 F (z). Следователно, за да намерите набор от изображения е необходимо за решаване на система, състояща се от две отношения. Един от тях определя функцията за картографиране w = F (Z), а другият - на уравнението на линията, ако се реши проблема с намирането на съответствие на изображението, или неравенството, което определя множеството от точки на обратния образ, ако ние решим проблема на дисплея области. И в двата случая, процедурата за вземане на решение се свежда до изключването на променливата Z на две определени отношения.

Правило 3.3. За да намерите линията на изображението дава с уравнението F (X, Y) = 0 (или изрично у = к (х)), картирането w = F (Z), трябва да бъде:

1. Изберете реални и въображаеми части на F на функция (Z): ф = Re F (Z), V = Im F (Z).

2. От системата изключи х и у. Тази връзка - уравнение изображение на линията.

Правило 3.4. За да се намери образа на линията при картографирането w = F (Z), трябва да бъде:

1. Запишете линия уравнение в параметрична форма Z = Z (т) или в сложна форма ,

2. В зависимост от вида на линията на уравнението да се помисли, когато е необходимо:

- Ако линията е разположен в параметрична форма, за да замени на изразяване Z (т) до w = F (Z);

- Ако линията е разположен в комплекс под формата на изричното Z w = F (Z), т.е. и , Следван от заместване Z и в Equation линия. Тази връзка - уравнение изображение на линията.

Правило 3.5. За да намерите тази област от изображението, което трябва да се използва един от следните два начина.

Първият метод.

1. Напишете уравнението на границите на полето. Намерете образа на определен район в съответствие с правилата 3.3 или 3.4 на границата.

2. Изберете произволна точка вътре в дадена област и да намерят своя имидж по тази картографиране. Площта, която принадлежи към получената точка е желан начин, определен район.

Вторият метод.

1. За да се експресира Z в съотношение W = F (z).

2. заместител, получен в претенция 1. изразяване неравенство при определянето на дадена територия. Тази връзка - желаното изображение.

Пример. Намерете образа на кръга | Z | = 1 с помощта на функцията за картографиране w = Z 2.

1 път (според правилото 3.3).

1. Нека Z = X + Iy, w = ф + IV. Тогава ф + IV = х 2 - Y 2 + I 2 XY. Ние получаваме:

2. изключва х и у от тези уравнения. За да направите това, ние се повиши първото и второто уравнение на площада, и се добавя:

ф 2 + V 2 = х 2 -2 х 4 у 2 + Y 4 Y 2 2 х 2 = х 2 х 4 у 2 + Y 4 2 =2 + у 2) 2.

Предвид третото уравнение, ние получаваме: U 2 + 2 V = 1 или | w | 2 = 1, т.е. | w | = 1. По този начин, в образа на кръга | Z | = 1 е кръга | w | = 1 пресича два пъти. Това следва от факта, че, тъй като w = Z 2, на Arg w = 2Arg Z 2 п.к.. Ето защо, когато точка Z описва пълен кръг | Z | = 1, а след това му образ описва кръг | w | = 1 два пъти.

2 метод (като правило 3.4).

1. Ние напише уравнението на единичната окръжност в параметрична форма: Z = електронната го (0 £ т £ 2 стр).

2. Заместник Z = я по е във връзка w = Z 2: w = д аз 2 т = cos2 т + аз sin2 тон . Следователно, | w | 2 2 2 = COS т + греха 2 2 т = 1, т.е. | w | = 1 - уравнение на изображението.

Пример. Намерете уравнението на образа на линията Y = X по картографирането W = Z 3.

■ Тъй като кривата дадено изрично, тогава ние прилагаме правилото 3.3.

1. w = Z 3 = (х + Iy) = х 3 х 2 3 3 3 Iy х (Iy) 2 + (Iy) = х 3 3-3 2 XY + I (3 х 3 гг 2).

Следователно,

2. В резултат на системата, заместим Y = X: Премахване на х от тези уравнения, получаваме V = -u.

Така начин ъглополовяща I и III квадранта XY система е ъглополовящата II и IV квадранта uOv система.

1. функция Linear

Линейна функция е функция на формата

w = Я + б, (4.1 )

където A, B - комплексни константи.

Тази функция се определя , , Следователно, ако Тогава линейна функция произвежда конформна картографиране на целия комплекс равнина. Така всички криви допирателна завърта на същия ъгъл Arg А и напрежението във всички точки равна , Ако = 1, тогава Следователно не разтягане и завъртане. В този случай, ние получаваме w = Z + б. Това упражнение картографиране да се смени цялата равнина вектор ,

Като цяло, преместване на експоненциален формата на комплекс брой ние получаваме , Следователно, линеен картографиране е състав на три геометрични трансформации:

w 1 = RZ - прилика с коефициент R = | а |;

w 2 = д Й w 1 = rze Й - въртене от J = ARG на около точка О;

w = w 2 + б = повторно Й Z + б - паралелен превод от вектора ,

Следователно, картирането w = Я + б променя линейните размери на всяко парче в самолета | а | време превръща тази цифра от ъгъл на J = Arg А около произхода, и го измества в посока на вектора стойността си.

Линейният карта има кръгла особеност, че е превежда в Z-равнина кръг w-равнина кръг (и обратно); директно се превръща в пряка.

Пример. Намерете образа на оста у с картографирането w = 2 ИЗ-3i.

1 път (според правилото 3.4). Уравнението на оста е избран в параметрична форма.

1. Тъй като действителната форма на уравнение Oy ос: х = 0, - ¥ <у <+ ¥ , в сложна форма е написан като г = Iy, - ¥ <у <+ ¥. Това параметрично уравнение е избрано като у параметър.

2. Заместник Z = Iy в израза w = 2 ИЗ-3i: w = -2 у -3 аз, - ¥ <у <+ ¥. Това уравнение изображение в параметрична форма (Y - параметър). Отбелязването на реални и въображаеми части, получаваме уравнението на изображението в реално форма: ф = -2 Y, V = -3 или V = -3, - ¥ <ф <+ ¥. Това е уравнението на линия в uOv равнина, успоредна на реалната ос.

2 метод. Използвайте кръгови собственост на линейно преобразуване - директен начин е прав. Тъй като линията се определя чрез задаване на две точки, това е достатъчно, за оста у, за да изберете всеки две точки и да намерят своите изображения. Линията, преминаваща през тези точки, и ще се търси. Ние избираме точка Z 1 = 0, Z = 2 Аз, техните образи W 1 = -3 аз, w аз 2 = -2-3 при показване лежат на линия Им w = -3.Sledovatelno, начин на Y-ос е линията V прав = - 3.

3 метод (геометричен). От отношението W = 2 ИЗ-3i това следва, че 2 = I, В = -3 I, | а | = 2 , Така че, като се има предвид линия (Y-ос) трябва да се завърти под ъгъл по отношение на произхода и след смяна до 3 единици. Разтягане на два пъти не се променя геометричната форма базовата линия, тъй като преминава през началото.

Пример. Намери някаква линейна функция, която очертава кръга | Zi | = 1 върху кръга | тегловни 3 | = 2.

■ Задачата е, че обратният проблем на теорията за съпоставяне - за дадено изображение и предварително изображение, за да намерите съответната карта. Без допълнителни условия проблемът не е уникално решение. Ето геометрична метод на разтвор.

1. Преместете центъра на кръга на произхода. За да направите това, ние прилагаме картирането w 1 = Zi.

2. W 1 се прилага равнината картографиране, което дава напрежение до 2 пъти, т.е. W 2 = 2 W 1.

3. Shift кръга в 3 единици на дясно: w = w 2 + 3. И накрая, ние получаваме: w = 2 (зи) 3, т = 2 Z + 3-2 I - неизвестна функция.

Можете да изберете различен ред на геометрични операции - не първото преместване и ротация или разтягане.

2. фракционна-линейна функция

Фракционен нарича линейна функция на формата

, (4.2)

където А, В, С, D - комплексни числа, така че , ,

Свойства на линейните дробни преобразувания

1 ° Съответствие

Дисплей W = L (Z) е конформна изобщо крайни точки на комплексната равнина, с изключение на ,

2 ° Кръговата особеност

Образът на една права линия или кръг с фракционна-линейна картографиране w = L (Z) е права линия или кръг (където изображението на една права линия може да бъде или в кръг или права линия, и образа на един кръг - както пряко, така и кръг). Лесно е да се установи, че картографирането W = L (Z) всички прави линии и кръгове, минаваща през точката движи в права равнина (w), и всички прави линии или кръгове, без да преминават през точка D, - в равнината на кръга (w).

3 ° инвариантността на кръст съотношението

отношение консервирани по фракционна-линейна картографиране, т.е. инвариант. Това съотношение се нарича напречно съотношение на четири точки. По този начин, фракционна-линейна трансформация е еднозначно определена от три точки и техните изображения: , За тези двойки да намерите фракционна-линейна функция на по формулата:

, (4.3)

Тази формула може да се прилага, когато някои от цифрите, и Z к т к ¥ прилага по отношение на това, ако ние използваме следното правило: разликата, в която символът ¥ възниква трябва да се заменят с една.

4 ° Опазване на симетрия

Ако точките Z 1 и Z 2 са симетрични по отношение на една линия или кръг г, а след това за всеки фракционна линеен картографиране W = L (Z) на техните изображения W 1 и W 2 са симетрични по отношение на образа на г: ,

Симетрия спрямо линията се разбира в обичайния смисъл.

Z The точки и Z * са нарича симетрична по отношение на кръга | ZZ 0 | = R, когато те се намират в един лъч, излъчвана от центъра на кръга, а продуктът на техните разстояния от центъра на кръга е равен на квадрата на радиуса му, че е

| ZZ 0 | × | Z * -z 0 | = R 2. (4.4)

Точка симетричен до Z 0, - център на кръга, е очевидно една точка в безкрайността.

5 ° принципа на съответствието на границите на байпас (показване на зоните, ограничени от линиите или кръгове)

Ако фракционна-линейна картографиране г линия или кръг се движи по права линия или кръг ж ¢ а, а след това на домейн D, който ограничава г, се превръщат в един от двата региона, което ограничава ж ¢. В същото време има принцип на кореспонденцията на граници байпас: ако някои байпас линия гр Площ D е вляво (вдясно), след това на съответния ред за байпас г ¢ ¢ D област също трябва да бъде в ляво (дясно).

Пример. Намерете фракционна-линейна функция w = L (Z), така че w (и) = 2 Аз, w (¥) = 1, т (-1) = ¥.

■ Да Z 1 = I, Z = ¥ 2, Z 3 = -1 и w 1 = 2 Аз, w 2 = 1, w = ¥ 3. Ние прилагаме формулата (4.3), на мястото на разликата съдържащ Z и W 2 до ¥ 3:

или ,

Трансформация: - w-Wi + 2 i- 2 = WZ-Wi-Z + аз Û w (Z 1) = Z -2+ аз Û - Най-желаната функция.

Пример. Намерете образа на зона D: при показване ,

■ домейн г е пресечната точка на полу-равнина и екстериора на кръга - времето на самолета Re Z <1 сек хвърлени около.

Ние прилагаме произнесе 3.5 (1 път).

1. На първо място, ние откриваме образа на границата на D, който се състои от две линии, дадени от уравненията Re Z = 1 и , Тъй като и двете линии преминават през единствено число точка Z = 1 тогава техните образи са прави. За всеки ред, ние решаване на проблема с правилото 3.4.

а) Намерете образа на линия Re Z = 1.

Пишем уравнението в комплекс формата: ,

Изразяваме Z в уравнение : Wz-w = IZ Û Z (Wi) = w Û ,

след това , Замествайки тези стойности в уравнение :

,

Това е директен начин Re Z = 1 за дадена карта е директна Im т = 1, успоредна на оста реално.

б) Да се ​​намери образа на кръга ,

Пишем уравнението на кръга във формата | 2 Z -1 | = 1.

Изразяваме Z в уравнение и заместител в уравнение | Z 2 -1 | = 1. получавам , Това уравнение определя набор от точки в комплексната равнина, които са на еднакво разстояние от точките I и - аз. Този комплект е права линия, перпендикулярна на линията, свързваща точката аз и - аз, и минаваща през средата на това, че е реалната ос Im w = 0.

Резултатът е, че образът на границата на D се състои от две прав Im w = 1 и Im w = 0.

2. Сега, в съответствие с претенция 2. Правила 3.5 ще изберат произволна точка, например, г = -1Î D. Това е начин за дадена карта е Разположено между редовете Im W = 1 и УИ W = 0. Следователно, начина, по който даден район, ще се съблича 0 <Im w <1.

3. експоненциална функция

Експоненциална функция на комплексна променлива Z = X + Iy е функция, означена Годен Z (да се чете "експонента Z») и определя по формулата

,

Имоти Годен Z

1 °, ако Тогава Годен Z = Годен х = д х , т.е. върху реалната ос на експоненциална функция на комплексна променлива съвпада с експоненциална функция на реална променлива. Затова, заедно с наименованието на Годен Z се използва като наименование за електронна Z.

2 ° (допълнение теорема) ,

3 ° ,

4 ° ,

,

5 ° Годен Z - периодична функция с главния период от 2 пи, т.е.

Годен (Z + 2 пи) = Годен Z.

Ако 6 ° така че след това ,

ако така че след това ,

следователно Той не съществува.

7 ° Годен Z - многовалентен функция. Области univalence експоненциални функции са пропускателна способност не по-голям от 2 стр, успоредна на реалната ос:

,

Ако, например, след това ,

8 ° The експоненциална функция е аналитична на , (Exp Z) ¢ = Годен Z.

Пример. Намери истинския, имагинерната част на модула и основният аргумент за стойността на д 2- аз.

■ Използване на определението на експоненциална функция на комплексна променлива. Нека Z = 2 -I, х = Re Z = 2, Y = Z = Im -1.

след това , Следователно,

, ,

Също така е възможно да се използват вместо допълнение теорема и формула Ойлер (1.7).

Дисплей w = Годен Z