Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Примери за конформни съпоставяния

Нека функцията дефинирана в околност на Z 0.

1. Определение Показва наречен конформна на Z 0 ако има свойствата на консервиране и продължителност ъгли разтягане на Z 0.

Нека функцията F (Z) с един пороен в ограничен район E.

2. Определение Показва Той призова конформна в E, ако е конформна до всяка точка в областта.

Очевидно е, че линейна функция (B и ¹ 0 - комплексни числа) е конформна картографиране на целия комплекс Z-равнина върху сложната W-равнина. За по-голяма яснота, тези самолети са съвместими, така че в началото и осите са изравнени. След това, по-специално W = Z + Z 0 се премине цялата равнина на вектор Z = 0, (A - реално) - завъртане на самолета за произхода на ъгъл а, и W = KZ (к> 0) - подобие на трансформация, к - коефициент на сходство. Писане под формата на линейна функция Ние виждаме, че тя може да бъде представена като продукт на операцията на смени, ротация и мащабиране. Т. к. Когато тези операции спести свойствата на ъгли и постоянство навяхвания очевидни, че това картографиране е конформна.

Ъгълът между правите линии, минаващи през точката на безкрайност се нарича ъгълът между образите на тези криви при картографирането в т = 0.

Например, една декартова координатна система оси се пресичат под ъгъл от нула Тъй като предоставяме комплексна равнина безкрайно далечно една точка, осите се пресичат и точката, в безкрайността Когато координатни оси се показват в себе си (равнината на Z и W са изравнени), и следователно, точката, в безкрайност, тъй като те се пресичат под ъгъл

Определение 2 се отнася за всяка област на разширена комплексна равнина. Ако се разшири определението за линейна функция, вярвайки при можем да видим, че тя очертава продължителен сложен самолет Z на разширена комплексна равнина W.

Забележка свойствата на F на функция (Z), които тя трябва да има, за да картографиране разбрах, че е съобразена.

Теорема 1. Ако F на функция (Z) с един пороен в област Е на разширена комплексна равнина и аналитични навсякъде с изключение може би на едно място в което но картографирането w = F (Z) поле E до G на стойностите на конформна (без доказателство).

Помислете за фракционна-линейна функция Когато а = 0, тя отива в един линеен, обсъдени по-горе, така че ще се постави ¹ 0. линейно-фракционна функция едновалентни The в целия комплекс равнина, т. За. Inverse функция недвусмислен. Тя аналитичната навсякъде освен точката В него тя отива до безкрайност,

но

Функцията отговаря Теорема 1 на целия комплекс равнина, следователно, е конформна за целия комплекс равнина. Разширяване на функцията чрез задаване при и при Можете да видите, че в този случай линейна функция на фракционна карти разширеното комплекс самолет Z на разширена комплексна равнина W.



Обратното също притежава ако функцията карти разширеното комплекс самолет Z на разширена комплексна равнина w, а след това тази функция е билинейна.

Право на разширеното комплексната равнина, ние предполагаме кръг на безкраен радиус. Тя може да бъде доказано, че всеки кръг на разширените сложни самолет билинейна функционални дисплеите на кръга, както и полу-равнина - в кръг. В същото време всеки фракционна линеен картографиране на половин плоскост Z> 0 и кръг външност

(1)

където Im Z 0> 0, а - реално.

Да разгледаме функцията

(2)

който се нарича функцията на Жуковски.

Функция (2) се определя и оценява на целия комплекс равнина (с изключение на точка Z = 0), но не и с един пороен върху него, т. За. Обратната функция двусмислен. точки са браншови точки.

Намираме област univalence. За да направите това, ние приемаме, че две различни точки Z 1 и Z 2 са показани в същото точка W. Тогава ние се

По този начин, всеки регион, който не съдържа двойка точки отговаря област univalence Жуковски ще функционира. Това условие е изпълнено, например, един кръг ½ Z ½ <1, или външния вид на кръг ½ Z ½> 1. В тези области, функцията (2) отговаря Теорема 1 и следователно показва областта конформна.

Намираме района, който съпоставя функцията на Жуковски кръг ½ Z ½ <1. Нека Замествайки в (2) и отделяне на реални и въображаеми ф о част, ние получаваме

(3)

Уравнение (3) е уравнение на елипса с полуоси

(4)

По този начин, всеки кръг показва в елипса. От (4) следва, че за R ®1 на ®1, б ®0, т. Д. граница кръга ½ Z ½ <1 се появява два пъти в тече през интервал ½ ф ½ £ 1 реална ос на w-равнина. Когато R ®0 и Ето защо, от порядъка на ½ Z ½ <1 се показва на разширена комплексна равнина w с изрязан от точка Z = -1 до точката Z = 1 (виж. Фигура 6 ¢).

По същия начин може да се гарантира, че външната повърхност на кръг Уг Z Уг> 1 функция Жуковски се показва на разширеното комплексната равнина със същата разреза. По този начин, функцията на Жуковски показва разширена комплексна равнина върху повърхността на Риман, състояща се от две равнини, залепени по протежение на участъка от реалната ос от точка Z = -1 до точка Z = 1.

Основният проблем на теорията на конформни съпоставяне е да се намери функция, която показва определен район в друг предварително определен район. Достатъчно е прост алгоритъм, за да се реши този проблем не съществува, така че на практика, трябва да се ръководи от общите условия на съществуването на конформна картографиране и общи принципи. Тук са най-важните от тях. На първо място, не могат да се размножават картирани conformally върху просто свързан област, и от друга страна, не може да бъде целият комплекс равнина conformally преобразуват в краен домейн. Въпреки това, две произволни просто свързани региони, границите на които се състоят от повече от една точка, винаги може да се conformally нанесени един върху друг.

Теорема 2 (принципа на границата кореспонденция). Ако функцията W = F (Z) очертава една област в друга, това е едно към едно картографиране и границите на тези области (без доказателство).

Имаме Converse теорема. Ако функцията w = F (Z), аналитична в E, и непрекъснато върху нейните граници, ясно показва, че границата на крива D, а след това на функцията F (Z) карти на региона Е в региона G, чиято граница е крива F.

Пример. Намерете конформна картографиране на горната половина равнина с нарязани по протежение на въображаема ос от точка Z = 0 до точка Z = I (вж. Фиг. 7а) на единичната окръжност до точката Тя се появява в центъра на този кръг.

Solution. Изгладете първия рязани. защото на отрязаните точки са р / 2 аргумента, тогава ние използваме функцията w 1 = Z 2, тъй като тя се удвоява на точката за аргумент. Тази функция е аналитична и едновалентен в горната половина, и следователно карти определената зона на w-равнина с нарязани [-1, ¥) (вж. Фиг. Б).

Според принципа на съответствието на границите ABCDA прекъсната линия ще се появи в раздела на ABCDA самолет w 1. Наименованията за съответните точки по картата съхранява на фигурите. Буквата А означава точката, в безкрайността на Z-равнина (както и на самолетите W 1, W 2 и W 3).

Сега осъзнавам преминаването на комплексната равнина w 1, така че точка C дойде на произхода. За това ние използваме линеен картографиране w 2 = w 1 + 1 (вж. Фиг. C).

След това, комплексната равнина w 2 с нарязани [0, ¥) се показва в горната половина. За това ние използваме уникалната клон на функцията Тя карти самолета w 2 с нарязани [0, ¥) в горната половина на самолета w 3 (вж. Фиг. 2).

И накрая, на полу-равнина w 3 conformally нанася върху единичната окръжност w ½ 4 ½ <1 с помощта на фракционна-линейна функция (вж. Фиг. D).

От центъра на кръга трябва да бъде в точка E, който е 3 w самолет има координати (0,1), функцията за билинейна следното (виж (1).)

Така, функцията реализиране на конформна картографиране на определена област на определен кръг единица има формата

§6. Интеграл от функция на комплексна променлива

Нека равнинна крива даден параметрично Мултиплициране за и добавяне на получаваме уравнението на кривата в комплекс формата Нека дъга лежи на тази крива, точка А на дъгата съответства на стойността на параметъра и точка Б -

Под интеграла на функцията дъга имаме предвид броя определя от следния израз

(1)

От (1) се вижда, че на интеграл от функция на комплексна променлива се определя от два криволинейни интеграли от втори вид. Ето защо, ако са налице линия интеграли от втори вид, тогава там е интеграл от функцията на комплексна променлива. Всички свойствата на линия интеграл от втори вид също са валидни за неразделна (1). По-специално, в зависимост от посоката на движение по протежение на дъга ,

Ако дъгата гладка, тогава неразделна (1) може лесно да се намали до известна

(2)

Пример 1. Намерете интеграла на функцията

а) на отсечката, свързваща произхода до точката (1, 1);

б) върху сегмента на параболата минаваща през тези точки.

Solution. Ние пишем уравнение на парабола и една права линия в комплекс формата:

Използвайки (2) получаваме:

Пример 2. Изчисли където C - окръжност с радиус R в центъра която управлява в положителната посока веднъж, N- цяло число.

Solution. Пишем уравнението на кръга в комплекс формата

Според (2), имаме

Имайте предвид, че на интеграл не зависи нито от окръжност с радиус R, или от гледна точка на

Теорема 1 (Коши). Да предположим, че в една просто-E се дава аналитична функция F (Z). Тогава интеграла на функцията върху всяка затворена контур C лежи изцяло в областта на Е е равно на нула, т.е.. Д.

(3)

Доказателство. Ние използваме Green формула

(4)

(Вж. §8 Ch.9, стр.1). От (3) и (4)

защото при условията на Ойлер, на Alembert integrands двойни интеграли изчезват. е зоната, ограничена от C. Това доказва теоремата.

Забележка. теорема Cauchy на държи в случая, когато контур C съвпада с границата на Е ако допълнителното изискване на непрекъснатост на F (Z) в затворената зона

Нека затворен контур C лежи в просто-E, в която F функцията (Z) е аналитичен. нека фиксирана точка, а Z - текущата точка на контура C (виж фигура 8 ..).

След това, в зависимост от свойствата на интеграл и теорема 1,

или (5)

е Това означава дъга дъга и дъга Уравнение (5) показва, че стойността на интеграла не зависи от пътя на интеграция, но само от първоначалната и окончателното интеграционни точки:

(6)

Можете да бъдете сигурни, че функцията Това е една примитивна функция на функцията и интеграла (6) отговаря на всички свойства на интеграла с променлива горна граница на действителните функции.

Пример 3. Намерете интеграл

Solution. функция аналитична в комплексната равнина (Z), с изключение на г = 0. В самолет с нарязани по отрицателен реален ос е просто свързан домейн при които функцията аналитична. След това, съгласно (6), получаваме където LNZ - ​​един от клоновете на мулти-ценен функция LNZ.

Теорема 2. Нека функцията аналитична в размножават-свързан домейн E, ограничена от и нека F (Z) е непрекъсната в след това

(7)

където външната граница на Е, вътрешни вериги, които ограничават обхвата на Е. Всички контурите на разходите с времето.

Доказателство. Свържете външен контур вътрешните контури на кривите След това умножете района E ще бъде просто свързан (вж. Фиг. 9). Според teoreme1 и отбеляза за нея, ние имаме

(8)

Цялата границата на просто свързан област премества в положителна посока, т.е. така че регионът е в ляво (външния контур обратна на часовниковата стрелка, часовниковата стрелка). криви преминава два пъти в различни посоки, така че сумата на интегралите над тези криви е нула. Чрез промяна на посоката на вътрешните вериги верига, ние получаваме (7). Това доказва теоремата.

Теорема 3. Нека функцията аналитична в просто свързан домейн и непрекъсната в E след това (9)

където (Без доказателство).

Формула (9) се нарича интегрална формула Коши е.

Следствие. В условията на Теорема 3, имаме формулата

(10)

От (10) следва, че аналитичната функция е диференцируема произволен брой пъти. Имайте предвид, че (10) може да се получи от официално диференциация на (9) на параметъра

Пример 4. Изчисли ако

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| Примери за конформни съпоставяния

; Дата: 01.11.2014; ; Прегледи: 1586; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



ailback.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.26
Page генерирана за: 0.057 сек.