КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Двойният интеграл. Изчисляване двойна неразделна




Изчисляване двоен интеграл се свежда до реинтеграция.

1. региона на интеграция оградена от лявата и дясната вертикални линии и И горната и долната - непрекъснато криви и Всяка от които се пресича вертикалната линия само в една точка (вж. Фигура 9).

За този регион на двойно интеграл изчислява по формулата

,

Фиг. 9 Фиг. 10

2. региона на интеграция ограничена по-горе и по-долу хоризонталните линии и И наляво и надясно непрекъснати криви и Всяка от които се пресича хоризонталната линия на само една точка (виж Фиг.10).

В този случай, за двойна интеграл се изчислява по формулата

,

3. Площта на интеграция е ограничен в затворена крива (Sm.ris.11).

Изчисляване двойна неразделна над тази област е намалена или на случай 1, ако границата на дъгата разделена на и ; или с делото 2, когато разбити граници в дъгата и

,

Фиг. 11 Фиг. 12

Пример.

Изчислете Ако областта ограничен кръг (Вж. Фигура 12).

При първия метод ние позволи изчисляване уравнение на окръжност по отношение на , Намери получената дъга уравнението и дъга ,

След двойния интеграл може да бъде написана под формата на повторно

,

Изчисляване на вътрешната интеграл, получаваме

,

Чрез интегрирането на тази функция в променливата , Ние се намери стойността на двоен интеграл

,

Сега ние промените реда на интеграция и напиши двойно неразделна под формата на следната ре

,

Вътрешният интеграл е равен на нула, така че можем да заключим, че двойното интеграл е равен на нула ,

Сравнение на два метода за изчисление показва полза на втори, защото тук интегрирането се извършва само веднъж.

4. Интеграцията на граничен район се състои от три или повече дъги.

Тази област на вертикални и хоризонтални линии е разделен на части, подходящ за случаите, 1 и 2. Пример за такава повреда е показано на Фигура 13. Двойният интеграл за областта се изчислява по формулата

,

Фиг. 13 Фиг. 14

Пример.

Изчислете региона е показано на Фигура 14.

Ние разделяме областта на интеграцията на части и и изчисляване двойни интеграли за всяка от тези области според случая 1.

намиране

,

,

,

Прилаганият метод за изчисляване на тази област не е рационално, като площта директно под съответния тип 2. Ето защо, на интеграцията на най-добрите продукти по следния начин

,

Освен правоъгълни координати и двоен интеграл за изчисляване полярни координати могат да бъдат използвани и , Правоъгълни и полярни координати са свързани с: , , Конвертиране на двоен интеграл на правоъгълника да полярни координати по следната формула

Ако областта на интеграцията ограничени лъчи , и криви , където и - Ясна функция в и R 1, двойният интеграл изчислява по формулата



,

Преходът към полярни координати се използва, ако региона на интеграция е даден в полярни координати, или ако опростява подинтегрален.

Фиг. 15

Пример.

Изчислете региона е показано на Фиг.15.

Границите на областта на интеграционните определени криви в полярни координати, така че двойно интеграл също вярват в полярни координати

Пример.

Изчислете Ако областта ограничен кръг ,

В този пример, той е удобен за полярни координати, тъй като това опростява подинтегрален и освен това прави по-лесно границите на интеграция. След прехода към полярни координати на двойно интеграл може да се запише като

,

Изчисляване на вътрешната интеграл, получаваме

,

След интегриране на над намиране на стойността на двоен интеграл

,

Най-общо, превръщането на двойния интеграл на правоъгълни координати и криволинеен и Свързани един с друг чрез отношения , , Извършена в съответствие с формулата

,

където

(Jacobian).

Записано формула е валидна, ако функцията и к имат непрекъснати частни производни, и да се създаде кореспонденция един-към-един между точките на региона и и, освен това, ако Jacobian постоянен знак в ,

Пример.

Изчислете за района, ограничен от елипса Двойният интеграл ,

За да се опрости подинтегрален и региона на интеграция преминем към криволинейни координати и Свързани с правоъгълни отношения: , , , , В новата координатна система, обхвата на интеграция се превръща в правоъгълна площ: , ,

The Jacobian на преобразуването координира е

,

Чрез провеждане на координатна трансформация и интегриране, ние получаваме следния резултат